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指数函数及其性质教学设计


2.1.2 指数函数及其 性质 (第一课时) 教学设计

2.1.2 指数函数及其性质(第一课时) 教学设计
一、 教材分析 指数函数是高中学生接触的第一个基本初等函数, 是在初中学习 了一次函数、二次函数、正(反)比例函数以后对函数学习的推进和 加深, 是前面学习了函数的集合定义及函数性质以后对函数更深入的 第一个实例,指数函数与后面将要学习的两种函数都是高考的热点。 二、 学情分析 学生已有了对函数的概念及性质的认识, 能够从理性的层面来理 解指数函数,学生理解的难点是底数 a 对函数图像及性质的影响,应 用的难点在于指数函数与其他函数的综合运用。 三、 教学目标 1、知识与技能:了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概 念和意义,掌握指数函数的图像、性质及简单应用。 2、过程与方法:借助于几何画板画出具体指数函数,通过自主探索, 培养学生观察、分析、归纳等抽象思维能力,体会数形结合和分类讨 论思想以及从特殊到一般的抽象概括的方法 。 3、情感态度与价值观:通过画指数函数的图像,体会指数函数图像 的重要性,同时体现图形的对称美,激发学习兴趣,努力探究问题。 四、 教学重、难点 重点:指数函数的概念、图像及其性质,底数 a 对函数的影响。 难点:指数函数的图像及性质,底数 a 对函数的影响。

五、 教学学法 教法:启发诱导和合作探究相结合,引导学生主动观察与思考,合作 交流、共同探索来完成本节课的教学。 学法:从学生原有的函数概念、性质等知识出发,组织、引导学生独 立思考,通过合作交流、共同探索来寻求用从具体到一般的思想解决 问题的方法。 六、 教学过程 (一)创设情境 有一位大学毕业生到一家私营企业工作,试用期 过后,老板对 这位大学生很欣赏,有意留下他,就让 这位大学生提出待遇方面的 要求,这位学生提出了两 种方案让老板选择,其一:工作一年,月 薪 5000;其二 :工作一年,第一个月工资 20 元,以后每个月的工 资是上个月的 2 倍,如果你是老板,你会如何选择呢? 设计意图:从一个跟指数函数知识相关的有趣例子进行导入,激发学 生的兴趣。 (二)引入新课 问题 1、有一条一米长的细绳,第一次剪去一半,第 二次剪去 剩下的一半,第三次再剪去剩下 的一半……这样剪了 x 次后剩余的 绳子长 y 与 x 的函数关系是? 问题 2、某种细胞分裂时,由一个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个, 4 个分裂成 8 个……这样的细胞分裂 x 次后, 细胞个数 y 与 x 的函数 关系式为:____ 若一个细胞一次分裂成 3 个呢?4 个呢?……它们的

函数关系式什么样呢? 学情预设:引导学生思考具体的问题。 设计意图: 用函数的观点来分析问题, 为引出指数函数的模型 y ? a x (a>0 且 a≠1)做准备, 以利于学生体会指数函数的概念来自于生活, 并且服务于生活。 (三)探究新知 1、思考: y ? ( ) x y ? 2 x y ? 4 x 这类解析式有何共同 y ? 3 x 特征? 学生:1、函数解析式都是指数形式。 2、底数都是正的常数。 3、自变量 x 都在指数的位置。 老师:如果可以用字母 a 代替其中的底数,那么上述两式就可以表示 成 y ? a x 的形式,自变量在指数位置,我们把具有这种形式的函数叫 做指数函数。 设计意图 :引导学生从具体问题、实际问题中抽象出指数函数的模 型, 由学生归纳出指数函数的概念,培养学生观察、分析、归纳等抽 象思维能力。 2、自主预习 (1)指数函数的概念: 一般地, 函数__________叫做指数函数 (其中____________), 即 将 a 的取值范围分为______和______,x 是自变量,函数的定义域为 ________。 (2)指数函数的图像和性质
1 2

①用描点法作图的基本步骤为(1)____(2)____(3)_____; ②指数函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图像经过定点_____; ③在同一直角坐标系中画出 y ? 2 x y ? ( ) x y ? 3 x y ? ( ) x 的图像; ④函数 y ? a x 与 y ? ( ) x 图像关于______对称。 老师:找学生回答。 设计意图:自主预习是课前同学们预习教材的一个框架,一方面通过 提前做好图像等为上课研究指数函数的图像和性质做好充分的准备, 节约了上课的时间;另一方面有助于上课时有针对性的学习和听课。 3、自主预习第一部分:指数函数的概念 探究与思考: ①为什么规定 a ? 0且a ? 1呢? ②指数函数的解析式 y ? a x 有什么特点? 学生:通过交流合作、教师引导,可以得出如下结论: ①关于底数 a 范围的说明: a ? 0且a ? 1 (1)当 a=1 时,对于 x∈R 都有 a x =1 是一个常量,没有研究的必要。 (2)当 a=0 时,x≤0 时, a x 没有意义。 (3)当 a<0 时,对于 x 的某些值,可使 a x 无意义。例如:a=-2,x= ②总结:根据指数函数的定义:形如: y ? a x ( a ? 0且a ? 1) 1、底数要大于 0 且不等于 1 2、幂指数是自变量 x 3、系数为 1 设计意图:
1 2 1 2 1 3

1 a

1、讨论出 a ? 0且a ? 1,为下面研究性质是对底数的分类做准备。 2、通过对指数函数形式的具体分析,使学生进一步掌握指数函数一 般形式,强调它是形式定义。 练习:下列函数中,哪些是指数函数? (1)y=3x (5)y=(-3)x (2)y=x3 (6)y=3x-1 (3)y=3-x (7)y=3x2 (4)y=2×3x (8)y=-3x

答案: (1) 、 (3)是,其他都不是 学情预设:学生可能会在(3)的判断上出现错误。指导:只要能化 成 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 一模一样的形式就是指数函数。 设计意图: 进一步加深学生对指数函数概念的理解, 使学生认识到 “指 数函数”的定义是形式定义。 4、自主预习第二部分:指数函数的图像和性质。 老师: 请同学们将课前完成的的图像拿出来, 并将其在多媒体上展示, 进一步强调作图的三个步骤:列表、描点、连线;同时在多媒体上画 出这四个图像。 思考 1:图像 y ? 2 x 与 y ? ( ) x 、 y ? 3 x 与 y ? ( ) x 有什么关系?为什么函 数 y ? a x 与 y ? ( ) x 图像关于 y 轴对称? 答案: 关于 y 轴对称。 因为点 ( x, y ) 与点 (? x, y ) 关于 y 轴对称, 所以 y ? a x 上任意一点 p( x, y ) 关于 y 轴的对称点 p1 (? x, y) 都在 y ? ( ) x 的图像上。 老师:在多媒体上用几何画板演示随着 a 的变化图形的变化规律,引 导学生观察图象,组织学生讨论,合作交流,得出 a ? 1 和 0 ? a ? 1 这两 种情况在图象上的特点。在此环节中,学生通过对具体的函数进行观
1 a 1 a 1 2 1 3

察归纳,合作交流,加之多媒体的演示,将具体化为抽象。 思考 2: (1)图像分布在哪些象限?说明什么? (2)图像与坐标轴的相交情况?说明什么? (3)猜想图像的上升、下降与底数 a 有怎样的关系? 学生:分小组讨论和探究,教师指导,得出如下结论: (1)第一、二象限 说明指数函数的值域为(0,+∞) 指数函数恒过(0,1)

(2)与 y 轴交于(0,1)

(3)当 a ? 1 时,图像上升,函数为增函数;当 0 ? a ? 1 时,图像下 降,函数为减函数。 设计意图: 1. 通过引导学生对具体的函数进行观察归纳,合作交流,更好 的让学生体会从具体到一般的思想方法。 2.提高学生的动手能力,将具体化为抽象,并感受了对底数的分 类讨论的思维方式,从而达到了突破重点的目的。 指数函数的图像和性质如下: 填表: a>1 图 像 0<a<1

定义域 性 值域

R (0,+∞)

质 过定点 单调性

(0,1) 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

设计意图: 通过观察图象的特点和函数性质的建构培养学生的数形结 合思想、分类讨论思想和抽象概括思想,同时表格的完成将会使学生 感受到本节课有很大的收获,思绪也进入到高潮。 (四)讲解例题: 类型一、指数函数的概念 ①已知函数 y= (a 2 ? 3a ? 3)a x 是指数函数,则 a=______; ②若指数函数 f(x)的图像经过点(2,9) ,求 f(x),f(1); 设计意图:这两道题相对来说比较容易,由师生共同完成,进一步加 深理解本节所学的指数函数的概念和性质,巩固相关知识点。 反馈练习: 已知指数函数 y ? a x ? (a ? 2)(a ? 3) 的图像经过点(2,4) ,求 a 的值。 类型二、比较大小 (1)1.72.5 , 1.73(2)0.8-0.1 , 0.8-0.2
1 0 .8 ( (3) 4 ) 1 1 .8 ( , 2 ) (4)1.70.3,

0.93.1

设计意图:利用指数函数的单调性判断大小,引导学生观察这些指数 值的特征,思考比较大小的方法。 归纳:底数相同,指数不同:构造指数函数,利用单调性比较大小; 底数不同,指数不同:借助于中间量比较大小。 反馈练习:1、比较大小 (1)3-1.8,3-2.5 (3) ( 7 )
8
- 0.3
-1.8 - 2 .5 (2)( ) ,( )

2 3

2 3

,( 8 )

7

0 .5

(4)6-0.8,70.7

2、比较 m、n 的大小 (1)2m<2n (2)0.2m<0.2n 七、课堂小结 1、本节课学了哪些知识? (1)指数函数的定义; (2)指数函数的图像与性质 2、记住两个基本图形 3、你学会了哪些数学思想方法? 数形结合思想、分类讨论思想、从特殊到一般的抽象概括的方法。 八、作业布置 P58 第 1 题,P59 第 7 题 九、板书设计 2.1.2 指数函数及其性质 一、探索新知: (1) 指数函数的概念: y ? a x (a ? 0且a ? 1) (2) 指数函数的图像和性质 二、例题讲解:类型一、类型二 三、课堂小结 四、作业布置 十、教学反思 1、本节课中涉及到两个课件:一个是讲课所用的幻灯片,一个是利 用几何画板画通过改变底数 a 的值以得到一系列指数函数的图象动 态图。 几何画板作图的引入对于学生们讨论和探究指数函数的性质时 起到了很好的引导作用, 尤其是改变 a 的值时图像的变化, 对底数 a 分 0 ? a ? 1和a ? 1 两种情况讨论做了很好的铺垫。在以后教学中应该将几 何画板更多地引入到教学中。 2、在整个的教学过程中,始终体现以学生为本的教育理念,同时在 学生已有的认知基础上进行设问和引导,关注学生的认知过程,重视 讨论、交流和合作。 3、在教学过程中,我发现,会出现不是很严谨的数学言语表达,但 (3)am>an

是老师说出来,学生却可以理解老师要说什么。以后在上课的时候要 尽力避免这类语言的出现。


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