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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第二节一元二次不等式及其解法 文


第二节 一元二次不等式及其解法 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 知识梳理 一、一元二次不等式的概念 1.我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不 等式. 2.使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等 式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的解集. 二、二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系 第 1 页 共 6 页 三、求解一元二次不等式的程序框图 四、一元二次不等式的解法 一元二次不等式 ax2+bx+c<0(a≠0)的解集的确定受 a 的符号和 b2-4ac 的符号的影响, 且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系,可结合相应的函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象,求得不等式的解集. 若一元二次不等式经过不等式的同解变形后,化为 ax2+bx+c>0(或<0)(其中 a>0)的 形式,其对应的方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根 x1,x2(x1<x2),此时 Δ=b2-4ac>0,则 可根据“大于取两边,小于夹中间”求得解集. 五、高次不等式与分式不等式的解法 第 2 页 共 6 页 1.高次不等式的解法:先将最高次项的系数化为正数,然后分解因式,将相应方程的 所有根画在数轴上,采取“数轴标根”法(或称穿针引线法)得出不等式的解集. 数轴标根法的操作过程: (1)把不等式变形为一边是一次因式的积,另一边是 0 的形式; (2)各因式中 x 的系数全部变为 1,约去偶次因式; (3)把各个根从小到大依次排好标出,从数轴最左端向右端依次取根判断,并“引线”; (4)严格检查因式的根(特别是约去的偶次因式的根)是否在解集内. 2.分式不等式的解法:将分式不等式转化为整式不等式,通过“穿针引线”法得出不 等式的解集. f?x? >0(<0)可转化为 f(x)g(x)> 0(<0); g?x? ? ?f?x?g?x?≥0?≤0?, f?x? ≥0(≤0)可以转化为? g?x? ?g?x?≠0. ? 基础自测 1.不等式 x2>x 的解集是( A.(-∞,0) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) ) 解析:由 x2>x 得 x(x-1)>0,所以解集为(-∞,0)∪(1,+∞).故选 D. 答案:D 2.(2013· 广州一模)“m<2”是“一元二次不等式 x2+mx+1>0 的解集为 R”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ) 解析:一元二次不等式 x2+mx+1>0 的解集为 R 等价于:Δ=m2-4<0,即-2<m< 2.故选 B. 第 3 页 共 6 页 答案:B x 3.(2013· 上海卷)不等式 <0 的解为________________. 2x-1 1 解析:原不等式等价于 x(2x-1)<0,所以 0<x< . 2 1 答案:(0, ) 2 4.(2012· 江西卷)若全集 U={x∈R|x2≤4},则集合 A={x∈R||x+1|≤1}的补集?UA 为 __________. 解 析 : 因 为 全 集 U = {x∈R| - 2≤x≤2} , A = {x∈R| - 2≤x≤0} , 所 以 ? UA = {x∈R|0<x≤2}. 答案:{x|0<x≤2} 第

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