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数列


数列?等差数列
[知识要点]
1.等差数列的概念(1)一个数列 {an } :若满足 an ?1 ? an

? d (d 为常数) ,则数列 {an } 叫做等差数列

(2)等差数列的证明方法:定义法 an ?1 ? an ? d (d 为常数) 或 2an ? an ?1 ? an ?1 (n ? 2) 。

a?b 。 2 * 2.等差数列主要公式: (1)等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N ) ; n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d (2) 两项之间的关系式:an ? am ? (n ? m)d (3) 前 n 项和公式为:Sn ? 2 2
(3)等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ? 3.等差数列主要性质 (1)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 (2)当 m ? n ? p ? q 时,则有 a m ? a n

? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 am ? an ? 2a p
2

(3)若 {an } 是等差数列, Sn , S2 n ? Sn , S3n ? S2 n ,?也成等差数列,公差 D= n ( 4 )在等差数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时, S偶- S奇

d。


? nd ;项数为奇数 2n ? 1 时, S奇 ? S偶 ? a中 ,

S2 n ?1 ? (2n ? 1) ? a中 (这里 a中 即 an ) ; S 奇:S 偶 ? n : (n ? 1) 。 ( S 2 n ?1 ? ?2n ? 1?a n
( 5 ) 若 等 差 数 列

{an }



{bn }

的 前 n 和 分 别 为

An



Bn , 且

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f( 2 n? . 1) bn (2n ? 1)bn B2 n ?1
和的最小值是所有非正项之和。 法一: 由不等式组 ? (7)若 {an } 为等差数列,则数列 C
an

An ? f ( n) , 则 Bn

(6)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递增等差数列中,前 n 项

? ?( c ? 0, c ? 1) 为等比数列,公比为 C


? an ? 0 ? an ? 0 或? 确定出前多少项为非负 (或非正) ; ? an ?1 ? 0 ? an ?1 ? 0
d

[典型例题]
例 1. ?1? 在等差数列 {an } 中, a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 ,则 2a9 ? a10 ? (

A. 24

B. 22

C. 20

D. ? 8
a ?a 1 a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? a7 ? a8 2
D3? 2 2

(2)已知等比数列{ am }中,各项都是正数,且 a1 , A. 1 ? 2 B. 1 ? 2 C. 3 ? 2 2

(3)等差数列 ? an ? 中, S n 是其前 n 项和, a1 ? ?11, A.-11 B.11 C.10

S10 S8 ? ? 2 ,则 S11 = 10 8
D.-10





1

例 2. (1) 若两个等差数列 {a n }, {bn }的前n项和分别为An 和Bn , 且满足 ( )

a11 An 7n ? 1 的值是 ? (n ? N ? ) 则 b11 Bn 4n ? 27

A.

7 4

B.

3 2

C.

4 3

D.

78 71


(2)等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 ? ?6, S18 ? S15 ? 18, 则S18 ? ( A.36 B.18 C.72 D.9

( 3 )已知等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 , 若 a4 a6 ? 16 , a 2 ? a8 ? 10 , 则该数列的前 n 项和 S n 的最大值为 ( )txjy A.57 B.45 C.40 D.5
?

例 3. (1)在数列 {an } 中, a1 ? 1 ,并且对于任意 n ? N ,都有 an ?1 ?

an 1 . (I)证明数列 { } 为等差 2 an ? 1 an

数列,并求 {an } 的通项公式; (2)设数列 {an an ?1} 的前 n 项和为 Tn ,求使得 Tn ?

1000 的最小正整数 n 2011

(2)已知 {an } 是公差不为零的等差数列, a1 ? 1, 且 a1 , a3 , a9 成等比数列. 求数列 {an } 的通项; 求数列 2

? ? 的前 n 项和 S
an

n

2

例 4.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 4 ?

1 (n ? N * ) ,数列 {bn } 为等差数列,且 b1 ? a1 ,a2 (b2 ? b1 ) ? a1. n ?1 4

(I)求数列 {an }和{bn } 的通项公式; (II)设 cn ? anbn , 求数列{cn } 的前 n 项和 Tn .

[巩固练习]
1.若 {an } 为等差数列, S n 是其前 n 项和,且 S11 ? A. 3 B. ? 3 C. ? 3
22π ,则 tan a6 的值为( 3



D. ?

3 3

2.等差数列 {an }中, 若a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120, 则a9 ? A.14 B.15 C.16 D.17

1 a11 的值是( 3



3.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 A n 和 Bn ,且 数 n 的个数是( )A.2 B.3 C.4

An 7n ? 45 a ,则使得 n 为整数的正整 ? Bn n?3 bn
D.5

4. (2010 福建理)3.设等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 S n 取最小值时,n 等于 ( A.6 ) B.7 C.8 D.9 )

5.等差数列 ?a n ?中, a 4 ? a5 ? 15 ,其前 n 项和为 S n ,且 S 7 ? S 6 ? 15, 则a 2 ? ( A. ? 3 B.1 C. 0 D. 2

6.等差数列 {a n } 中, a1 ? 0 ,前 n 项和为 S n ,若 S10 ? S17 ,则数列 {S n } 中最项是( A. S14 B. S13 或 S14 C. S14 或 S15
?



D. S15 )

7.在 ? an ? 中, a1 ? 15 , 3an ?1 ? 3an ? 2 A. a21 和 a22 B. a22 和 a23

? n ? N ? ,则该数列中相邻两项的乘积是负数的项是(
D. a24 和 a 25

C. a23 和 a24

8.设 S n 是等差数列 ? an ? 的前 n 项和,已知 S6 ? 36 , Sn ? 324 , S n ?6 ? 144 ? n ? 6 ? ,则 n 等于( )
3

A.15

B.16

C.17

D.18

9. 两个等差数列 {a n } 和 {bn } ,其前 n 项和分别为 S n , Tn ,且

S n 7n ? 2 a ? a 20 ? ,则 2 等于 ( Tn n?3 b7 ? b15



A.

9 4

B.

37 8

C.

79 14

D.

149 24

10.等差数列 {a n } 中, a1 ? 0, a 2003 ? a 2004 ? 0, a 2003 ? a 2004 ? 0, 则使前 n 项和 S n ? 0 成立的最大自然数 n 为 A. 4005 ( ) B. 4006 C. 4007 D. 4008 )

11.已知等差数列{ a n }满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a101 ? 0, 则有(

A. a1 ? a101 ? 0

B. a2 ? a100 ? 0

C. a3 ? a99 ? 0

D. a51 ? 57

12.数列 ? an ? 中, a1 ? 1, a2 ? A. an ? (

2 n ) 3

1 1 2 2 ,且 n ? 2 时,有 = ,则( ) ? a n ?1 a n ?1 a n 3 2 n-1 2 2 B. an ? ( ) C. an ? D. an ? 3 n?2 n ?1

13.(2010 山东)已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求 an 及 S n ; (Ⅱ) bn ?

1 ? ( n ? N ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

4



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