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高中数学必修三《1.3算法案例》课件_图文

算 法 案 例 复习引入: 1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 ( )和( )。 2、两个数21672,8127的最大公约数是 ( ) A、2709 B、2606 C、2703 D、2706 新课讲解: 怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时的值呢? 计算多项式f(x) =x5+x4+x3+x2+x+1 当x = 5的值的算法: 算法1: 因为f(x) =x5+x4+x3+x2+x+1 所以f(5)=55+54+53+52+5+1 =3125+625+125+25+5+1 = 3906 算法2: f(5)=55+54+53+52+5+1 =5×(54+53+52+5+1 ) +1 =5×(5×(53+52+5 +1 )+1 ) +1 =5×(5×(5×(52+5 +1) +1 ) +1 ) +1 =5×(5×(5×(5 ×(5 +1) +1 )+1)+1) +1 算法1: 因为f(x) =x5+x4+x3+x2+x+1 所以f(5)=55+54+53+52+5+1 =3125+625+125+25+5+1 = 3906 共做了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算。 算法2: f(5)=55+54+53+52+5+1 =5×(54+53+52+5+1 ) +1 =5×(5×(53+52+5 +1 )+1 ) +1 =5×(5×(5×(52+5 +1) +1 ) +1 ) +1 =5×(5×(5×(5 ×(5 +1) +1 )+1)+1) +1 共做了4次乘法运算,5次加法运算。 《数书九章》——秦九韶算法 设 f ( x) 是一个n 次的多项式 n n ?1 这是怎样的 f ( x) ? an x ? an?1 x ? ? ? a1 x ? a0 一种改写方 对该多项式按下面的方式进行改写: 式?最后的 结果是什么? n n ?1 f ( x) ? an x ? an?1 x ? ? ? a1 x ? a0 ? (an x n?1 ? an?1 x n?2 ? ? ? a1 ) x ? a0 ? ?? ? (( an x n?2 ? an?1 x n ?3 ? ? ? a2 ) x ? a1 ) x ? a0 ? (?(an x ? an?1 ) x ? an?2 ) x ? ? ? a1 ) x ? a0 f ( x) ? (?(an x ? an?1 ) x ? an?2 ) x ? ? ? a1 ) x ? a0 要求多项式的值,应该先算最内层的一次多项式的值,即 然后,由内到外逐层计算一次多项式的值,即 v1 ? an x ? an?1 v2 ? v1 x ? an?2 ?? v3 ? v2 x ? an?3 vn ? vn?1 x ? a0 最后的一 项是什么? 这种将求一个n次多项式f(x)的值转化成求n个一 次多项式的值的方法,称为秦九韶算法。 秦九韶算法的特点: 通过一次式的反复计算,逐步得出高次多 项式的值,对于一个n次多项式,只需做n次乘 法和n次加法即可。 例: 已知一个五次多项式为 5 4 3 f ( x) ? 5x ? 2 x ? 3.5x ? 2.6 x ? 1.7 x ? 0.8 2 用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。 解: 将多项式变形: f ( x) ? ((((5 x ? 2) x ? 3.5) x ? 2.6) x ? 1.7) x ? 0.8 按由里到外的顺序,依此计算一次多项式当


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