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2019高三人教A版数学一轮复习练习:第二章 函数、导数及其应用 第13节 第二课时

第二章 第 13 节 第二课时 1 1.(导学号 14577231)(文科)(2018· 贵阳市一模)设 f(x)=xex,g(x)= x2+x. 2 (1)令 F(x)=f(x)+g(x),求 F(x)的最小值; (2)若任意 x1,x2∈[-1,+∞)且 x1>x2 有 m[f(x1)-f(x2)]>g(x1)-g(x2)恒成立,求实数 m 的取值范围. 1 解:(1)F(x)=f(x)+g(x)=xex+ x2+x, 2 F′(x)=(x+1)(ex+1), 令 F′(x)>0,解得 x>-1;令 F′(x)<0,解得 x<-1, 故 F(x)在(-∞,-1)递减,在(-1,+∞)递增, 1 1 故 F(x)min=F(-1)=- - . 2 e (2)若任意 x1,x2∈[-1,+∞)且 x1>x2 有 m[f(x1)-f(x2)]>g(x1)-g(x2)恒成立, 则任意 x1,x2∈[-1,+∞)且 x1>x2 有 mf(x1)-g(x1)>mf(x2)-g(x2)>0 恒成立. 1 令 h(x)=mf(x)-g(x)=mxex- x2-x,x∈[-1,+∞), 2 即只需 h(x)在[-1,+∞)递增即可, 故 h′(x)=(x+1)(mex-1)≥0 在[-1,+∞)恒成立, 1 1 故 m≥ x,而 x≤e, e e 故 m≥e. 1 1.(导学号 14577232)(理科)(2018· 贵阳市一模)设 f(x)=ln x,g(x)= x|x|. 2 (1)求 g(x)在 x=-1 处的切线方程; (2)令 F(x)=x· f(x)-g(x),求 F(x)的单调区间; (3)若任意 x1,x2∈[1,+∞)且 x1>x2,都有 m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,求 实数 m 的取值范围. 1 解:(1)x<0 时,g(x)=- x2,g′(x)=-x, 2 1 故 g(-1)=- ,g′(-1)=1, 2 1 1 故切线方程是 y+ =(x+1),即 x-y+ =0. 2 2 1 1 (2)F(x)=xln x- x|x|=xln x- x2,(x>0), 2 2 1 1 F′(x)=ln x-x+1,F″(x)= -1. x 令 F″(x)>0,解得 0<x<1;令 F″(x)<0,解得 x>1, 故 F′(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减, 故 F′(x)≤F′(1)=0, 故 F(x)在(0,+∞)递减. (3)已知可转化为 x1>x2≥1 时,mg(x1)-x1f(x1)≥mg(x2)-x2f(x2)恒成立. m 令 h(x)=mg(x)-xf(x)= x2-xln x,则 h(x)为单调递增的函数, 2 ln x+1 故 h′(x)=mx-ln x-1≥0 恒成立,即 m≥ 恒成立. x ln x+1 ln x 令 m(x)= ,则 m′(x)=- 2 , x x ∴当 x∈[1,+∞)时,m′(x)≤0,m(x)单调递减, m(x)≤m(1)=1,故 m≥1. 2.(导学号 14577233)(理科)(2018· 桂林市、北海市、崇左市一模)已知函数 f(x)=ax+xln x(a∈R) (1)若函数 f(x)在区间[e,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围; (2)当 a=1 且 k∈Z 时,不等式 k(x-1)<f(x)在 x∈(1,+∞)上恒成立,求 k 的最大值. 解:(1)∵f(x)=ax+xln x, ∴f′(x)=a+1+ln x,又函数 f(x)在区间[e,+∞)上为增函数, ∴当 x≥e 时,a+1+ln x≥0 恒成立, ∴a≥(-1-ln x)max=-1-ln e=-2,即 a 的取值范围为[-2,+∞); (2)当 x>1 时,x-1>0,故不等式 k(x-1)<f(x)?k< x+xln x 即 k< 对任意 x>1 恒成立. x-1 x+xln x x-ln x-2 令 g(x)= ,则 g′(x)= , x-1 ?x-1?2 令 h(x)=x-ln x-2(x>1), 1 x-1 则 h′(x)=1- = >0?h(x)在(1,+∞)上单增. x x ∵h(3)=1-ln 3<0,h(4)=2-ln 4>0, ∴存在 x0∈(3,4)使 h(x0)=0, 即当 1<x<x0 时,h(x)<0,即 g′(x)<0, 当 x>x0 时,h(x)>0,即 g′(x)>0,∴g(x)在(1,x0)上单减,在(x0,+∞)上单增. f?x? , x-1 2 x0?1+ln x0? x0?1+x0-2? 令 h(x0)=x0-ln x0-2=0,即 ln x0=x0-2,g(x)min=g(x0)= = = x0-1 x0-1 x0∈(3,4), ∴k<g(x)min=x0 且 k∈Z, 即 kmax=3. e 1 2.(导学号 14577234)(文科)(2018· 潍坊市一模)设 f(x)=ax2-a+ x,g(x)= +ln x. e 2 ex-ex (1)设 h(x)=f(x)-g(x)+ ,讨论 y=h(x)的单调性; xex 1? (2)证明:对任意 a∈? ?-∞,2?,?x∈(1,+∞),使 f(x)<g(x)成立. 解析:(1)h(x)=f(x)-g(x)+ ex-ex =ax2-ln x-a, xex 2 1 2a -1 则 h′(x)=2ax- = . x x ① a≤0 时,h(x)在(0,+∞)递减; ②a>0 时,令 h′(x)>0,解得 x> 令 h′(x)<0,解得 0<x< 故 h(x)在?0, 1 , 2a 1 ? ,+∞ 递增. 2a ? 1 , 2a ? 1? 递减,在? 2a? ? e 1 (2)证明:由题意得:ax2-a+ x< +ln x, e x 1 e ?x∈(1,+∞),ax2-a-ln x< - x. x e ex-ex 设 k(x)=


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