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人教A版高中数学必修四 第一章 三角函数 《三角函数的图像与性质》 学习过程

1.4 三角函数的图像与性质 学习过程 知识点 1:正弦函数余弦函数的图象 (1)函数 y=sinx 的图象 第一步:在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单位圆,从这个圆与 x 轴的交点 A 起 把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 n(这里 n=12)等份.(预备:取自变量 x 值—弧度制下角与实数的对应). 第二步:在单位圆中画出对应于角 0, ? 6 , ? ? , ,?,2π 的正弦线正弦线(等价于“列表” 3 2 ). 把角 x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合 ,则正弦线的终点就 是正弦函数图象上的点(等价于“描点” ). 第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ] 的图象. 根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动 的距离为 2π ,就得到 y=sinx,x∈R 的图象. 把角 x ( x ? R) 的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合,则正弦线的终点 的轨迹就是正弦函数 y=sinx 的图象. (2)余弦函数 y=cosx 的图象 用几何法作余弦函数的图象,可以用“反射法”将角 x 的余弦线“竖立”[把坐标轴向下平 移,过 O1 作与 x 轴的正半轴成 ? 角的直线,又过余弦线 O1 A 的终点 A 作 x 轴的垂线,它与前面所 4 作的直线交于 A′,那么 O1 A 与 AA′长度相等且 方向同时为正,我们就把余弦线 O1 A“竖立”起 来成为 AA′,用同样的方法,将其它的余弦线也 都“竖立”起来.再将它们平 移,使起点与 x 轴 上相应的点 x 重合,则终点就是余弦函数图象上 的点.] 也可以用“旋转法”把角 的余弦线“竖立”(把角 x 的余弦线 O1M 按逆时针 方向旋转 置,则 O1M1 与 O1M 长度相等,方向相同.)根据诱导公式 cos x ? sin( x ? x=sinx 的图象 向左平移 (1) ? 2 ? 2 到 O 1M 1 位 ) ,还可以把正弦函数 ? 2 单位即得余弦函数 y =cosx 的图象. 正切函数 y=tanx 的图像: 知识点 2:五点法作图 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法): 正弦函数 y=sinx,x∈[0,2π ]的图象中,五个关键点是: ? 3? (0,0) ( ,1) (?,0) ( ,-1) (2 ?,0) 2 2 余弦函数 y=cosx x ?[0,2 ?]的五个点关键是 ? 3? 2 (0,1) ( ,0) (?,-1) ( 2 ,0) (2 ?,1) y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 y=sinx ? 2? 3? 4? 5? 6? x y=cosx ? 2? 3? 4? 5? 6? x 只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函 数和余弦函数的简图,要求熟练掌握. 知识点 3:奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形,说出函数图象有怎样的对称性?其特点是什么? (1)余弦函数 当自变量取一对相反数时,函数 y 取同一值。 例如: ? 1 ? 1 f(- 3 )= 2 ,f( 3 )= 2 ? ? ,即 f(- 3 )=f( 3 );?? 由于 cos(-x)=cosx ∴f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是:如果点(x,y)是函数 y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于 y 轴 的对称点(-x,y )也在函数 y=cosx 的图象上,这时,我们说函数 y=cosx 是偶函数。 定义:一般地, 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= f(x),那么函数 f(x)就叫 做偶函数。 例如:函数 f(x)=x2+1, f(x)=x4-2 等都是偶函数。 (2)正弦函数 观察函数 y=sinx 的图象,当自变量取一对相反数时,它们对应的函数值有什么关系? 这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关于原点对称。 也就 是说,如果点(x,y)是函数 y=sinx 的图象上任一点,那么与它关于原点对称的点(-x,-y) 也在函数 y=sinx 的图象上,这时,我们说函数 y=sinx 是奇函数。 定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域 内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数 f(x) 就叫做奇函数。 1 例如:函数 y=x, y= x 都是奇函数。 如果函数 f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f(x)具有奇 偶性。 注意:从函数奇偶 性的定义可以看出,具有奇偶性的函数: (1)其定义域关于原点对称; (2)f(-x)= f(x)或 f(-x)=- f(x)必有一成立。因此,判断某一函数的奇偶性时。 首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算 f(-x),看是等于 f(x)还是等于- f(x),然后 下结论;若定义 域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。 知识点 4:.单调性 ? 3? 从 y=sinx,x∈[- 2 , 2 ]的图象上可看出: ? ? 当 x∈[- 2 , 2 ]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1. ? 当 x∈[ 2 3? , 2 ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1. 结合上述周期性可知: ? ? 正弦函数在每一个闭区间[- 2 +2kπ , 2 ? 3? +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增大到 1; 在每一个闭区 间[ 2 +2kπ , 2 +2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 余弦函数在每一个闭


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