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2018步步高文科数学大一轮9.8第三课时


§9.8 圆锥曲线的综合问题

第3课时 定点、定值、探索性问题

内容索引

题型分类 课时作业

深度剖析

题型分类

深度剖析

题型一 定点问题

x2 y2 例1 (2017· 长沙联考)已知椭圆 2+ 2 =1(a>0,b>0)过点(0,1),其长轴、 a b 焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交 → → 于点Q、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足PM = λ 1 MQ, → → PN=λ2NQ.
(1)求椭圆的标准方程; 解答 设椭圆的焦距为2c,由题意知b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2, 又a2=b2+c2,∴a2=3. x2 2 ∴椭圆的方程为 3 +y =1.

(2)若λ1+λ2=-3,试证明:直线l过定点并求此定点. 证明

几何画板展示

思维升华
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再

研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.
(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该

定点与变量无关.

跟踪训练1

(2016· 河北衡水中学调研)如图,已知椭 2 圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率e= ,F 2 是右焦点,A是右顶点,B是椭圆上一点,BF⊥x轴, |BF|= 2 . 2 (1)求椭圆C的方程; 解答

(2)设直线l:x=ty+λ是椭圆C的一条切线,点M(- 2 ,y1),点N( 2 , y2)是切线l上两个点,证明:当t,λ变化时,以MN为直径的圆过 x轴上 的定点,并求出定点坐标. 解答
几何画板展示

题型二 定值问题 例2 (2016· 广西柳州铁路一中月考 ) 如图,椭圆有
两顶点 A( - 1 , 0) , B(1,0) ,过其焦点 F(0,1) 的直线 l

与椭圆交于C,D两点,并与x轴交于点P.直线AC与
直线BD交于点Q.

3 (1)当|CD|=2 2时,求直线 l 的方程; 解答

→ → (2)当点 P 异于 A,B 两点时,求证:OP· OQ为定值.

证明

思维升华
圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代

入代数式、化简即可得出定值;
(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析

式,再利用题设条件化简、变形求得;
(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析

式进行化简、变形即可求得.

跟踪训练 2

x2 y2 (2017· 大庆质检)已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的离心率

1 是2,其左,右顶点分别为 A1,A2,B 为短轴的一个端点,△A1BA2 的 面积为 2 3.

(1)求椭圆C的方程; 解答
? c 1 ?e= = , a 2 ? 由已知,可得?ab=2 3, ? ?a2=b2+c2, ?

x2 y2 解得 a=2,b= 3.故所求椭圆方程为 4 + 3 =1.

(2)直线 l:x=2 2与 x 轴交于 D,P 是椭圆 C 上异于 A1,A2 的动点,直线 A1P,A2P 分别交直线 l 于 E,F 两点,求证:|DE|· |DF|为定值. 证明

题型三 探索性问题

例 3

x2 y2 2 (2015· 四川)如图,椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)的离心率是 2 ,

→ → 点 P(0,1)在短轴 CD 上,且PC· PD=-1.
(1)求椭圆E的方程; 解答

(2)设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A,B 两点.是否存 → → → → 在常数 λ,使得OA· OB+λPA· PB为定值?若存在,求 λ 的值;若不存 在,请说明理由. 解答

思维升华
解决探索性问题的注意事项 探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在, 若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论; (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件; (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取 另外合适的方法.

跟踪训练3

(2015· 湖北)一种作图工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,

短杆ON可绕O转动,长杆MN通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可
沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3,当栓子D在滑槽AB内作往复

运动时,带动N绕O转动一周(D不动时,N也不动),M处的笔尖画出的
曲线记为C,以O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直 角坐标系. (1) 求曲线C的方程;
解答
几何画板展示

(2) 设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q 两点.若直线l总与曲线C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面 积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.
解答
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思想与方法系列20

设而不求,整体代换

2 2 x y 典例 (12分)椭圆C: 2+ 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离 a b 3 心率为 ,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. 2 (1)求椭圆C的方程;

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1, PF2,设∠F1PF2 的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围; (3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一 1 个公共点,设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,若k2≠0,证明 + kk1 1 为定值,并求出这个定值. kk2
思想方法指导 规范解答
几何画板展示

课时作业

x y 2 1.(2016· 北京西城区模拟)已知椭圆 C: , 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= a b 2 短轴长为 2 2.
(1)求椭圆C的标准方程; 解答
由短轴长为 2 2,得 b= 2,
2 2 a - b c 2 由 e=a= a = 2 ,

2

2

x2 y 2 所以椭圆 C 的标准方程为 4 + 2 =1.
1 2 3 4

得a2=4,b2=2.

(2)如图,椭圆左顶点为A,过原点O的直线(与坐标轴 不重合)与椭圆C交于P,Q两点,直线PA,QA分别与 y轴交于M,N两点.试问以MN为直径的圆是否经过定 点(与直线PQ的斜率无关)?请证明你的结论. 解答

1

2

3

4

2 2 x y 2.(2016· 安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测)椭圆E: 2+ 2=1(a>b>0)的 a b 3 离心率为 ,点( 3, 2 )为椭圆上的一点. 3 (1)求椭圆E的标准方程; 解答

3 3 3 2 2 2 因为 e= 3 ,所以 c= 3 a,a =b +( 3 a) . 3 2 又椭圆过点( 3, 2),所以a2+b2=1.




由①②,解得a2=6,b2=4,
x2 y 2 所以椭圆 E 的标准方程为 6 + 4 =1.
1 2 3 4

(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1),且与椭圆E交于C,D两点,B为椭圆

E的下顶点,求证:对于任意的k,直线BC,BD的斜率之积为定值.
证明

1

2

3

4

x2 y2 x2 y2 3.(2016· 赣州一模)已知椭圆 C: a2+b2=1(a>b>0)与双曲线4-v+1-v= 1(1<v<4)有公共焦点,过椭圆 C 的右顶点 B 任意作直线 l,设直线 l 交 → → 抛物线 y =2x 于 P,Q 两点,且OP⊥OQ.
2

(1)求椭圆C的方程; 解答

1

2

3

4

(2)在椭圆C上,是否存在点R(m,n)使得直线l:mx+ny=1与圆O:x2 +y2=1相交于不同的两点M,N,且△OMN的面积最大?若存在,求 出点R的坐标及对应的△OMN的面积;若不存在,请说明理由.
解答

1

2

3

4

*4.已知椭圆C1、抛物线C2 的焦点均在 x轴上,C1的中心和C2的顶点均为

原点O,从每条曲线上各取两个点,将其坐标记录于下表中:
x y 3
-2 3

-2 0

4 4

2
2 2

(1)求C1,C2的标准方程; 解答

1

2

3

4

(2)是否存在直线 l 满足条件:①过 C2 的焦点 F;②与 C1 交于不同的两点 → → M,N,且满足OM⊥ON?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说 明理由. 解答

1

2

3

4

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本课结束


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