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高中数学必修4导学案[1]


1.1.1 任意角
课前预习学案 一、预习目标 1、认识角扩充的必要性,了解任意角的概念,与过去学习过的一些容易混淆的概念相 区分; 2、能用集合和数学符号表示终边相同的角,体会终边相同角的周期性; 3、能用集合和数学符号表示象限角; 4、能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角. 二、预习内容 1.回忆:初中是任何定义角的? 一条射线由原来的位置 OA,绕着它的端点 O 按逆时针方向旋转到终止位置 OB,就形成 角α 。旋转开始时的射线 OA 叫做角的始边,OB 叫终边,射线的端点 O 叫做叫α 的顶点。 o o 在体操比赛中我们经常听到这样的术语: “转体 720 ” (即转体 2 周)“转体 1080 ” , (即转体 3 周) ;再如时钟快了 5 分钟,现要校正,需将分针怎样旋转?如果慢了 5 分钟, 又该如何校正? 2.角的概念的推广:? 3.正角、负角、零角概念

4.象限角

思考三个问题: 1.定义中说:角的始边与 x 轴的非负半轴重合,如果改为与 x 轴的正半轴重合行不行, 为什么? 2.定义中有个小括号,内容是:除端点外,请问课本为什么要加这四个字? 3.是不是任意角都可以归结为是象限角,为什么?

4.已知角的顶点与坐标系原点重合,始边落在 x 轴的非负半轴上,作出下列各角,并指 出它们是哪个象限的角? 0 0 0 0 (1)420 ; (2)-75 ; (3)855 ; (4)-510 .

5.终边相同的角的表示

课内探究学案 一、学习目标 (1)推广角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义; (2)理解任意角以及象限角的概念; (3)掌握所有与角 a 终边相同的角(包括角 a)的表示方法; 学习重难点: 重点:理解正角、负角和零角和象限角的定义,掌握终边相同角的表示方法及判断。 难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。 二、学习过程 例 1. 例 1 在 0 ? 360 范围内,找出与 -950?12' 角终边相同的角,并判定它是第几 象限角.(注: 0 -360 是指 0 ? ? ? 360 )
? ?
? ?

?

?

例 2.写出终边在 y 轴上的角的集合.

例 3.写出终边直线在 y ? x 上的角的集合 S ,并把 S 中适合不等式 ?360 ? ?
?

? 720? 的元素 ? 写出来.

(三) 【回顾小结】 1.尝试练习 (1)教材 P6 第 3、4、5 题. (2) 补充: 时针经过 3 小时 20 分, 则时针转过的角度为 , 分针转过的角度为 。 注意: (1) k ? Z ; (2)? 是任意角(正角、负角、零角)(3)终边相同的角不一定 ; 相等;但相等的角,终边一定相同;终边相同的角有无数多个,它们相差 360 的整数倍. 2.学习小结 (1) 你知道角是如何推广的吗?
?

(2) 象限角是如何定义的呢? (3)你熟练掌握具有相同终边角 a 的表示了吗?

(四)当堂检测 1.设 E ? {小于90 的角} F ? {锐角},G= 第一象限的角} , {
o

,那么有( ) . A. 2.用集合表示: (1)各象限的角组成的集合. (2)终边落在 轴右侧的角的集合. B. C. ( ) D.

3.在 (1)



间,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角 ; (2) ; (3) .

3.解:(1)∵
∴与 (2)∵ ∴与 终边相同的角是 ,它是第四象限的角; 角终边相同的角是 角,它是第三象限的角;

(3)

所以与

角终边相同的角是
课后练习与提高

,它是第二象限角.

1. 若时针走过 2 小时 40 分,则分针走过的角是多少? 2. 下列命题正确的是: ( ) (A)终边相同的角一定相等。 (B)第一象限的角都是锐角。 (C)锐角都是第一象限的角。 (D)小于 900 的角都是锐角。 3. 若 a 是第一象限的角,则 ? a 是第
2

象限角。

4.一角为

,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_
o

_.

5.集合 M={α =k ? 90 ,k∈Z}中,各角的终边都在( ) A. 轴正半轴上, C. 6.设 C={α |α = k180 +45 ,k∈Z} ,
o o

B.

轴正半轴上, 轴正半轴或 , 轴正半轴上

轴或

轴上,

D.

则相等的角集合为_

_. 参考答案

1. 解:2 小时 40 分= 8 小时,? ?180 '? 8 ? ?480
3
3

故分针走过的角为 480 2. C 3. 一或三 4.



5. C 6. _B=D,C=E

1.1.2 弧度制
课前预习学案 一、预习目标: 1.了解弧度制的表示方法; 2.知道弧长公式和扇形面积公式. 二、预习内容

初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒,它们是 60 进制,角是否可以用其它 单位度量,是否可以采用 10 进制? 自学课本第 7、8 页.通过自学回答以下问题: 1、 角的弧度制是如何引入的? 2、 为什么要引入弧度制?好处是什么? 3、 弧度是如何定义的? 4、 角度制与弧度制的区别与联系? 三、提出疑惑 1、平角、周角的弧度数? 2、角的弧度制与角的大小有关,与角所在圆的半径的大小是否有关? 3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系?

课内探究学案 一、学习目标 1.理解弧度制的意义; 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算; 3.记住公式 | ? |?

l ( l 为以. ? 作为圆心角时所对圆弧的长, r 为圆半径) ; r

4.熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。 二、重点、难点 弧度与角度之间的换算; 弧长公式、扇形面积公式的应用。 三、学习过程 (一)复习:初中时所学的角度制,是怎么规定 1 角的?角度制的单位有哪些,是多少 进制的? (二)为了使用方便,我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。 <我们规定> 叫做 1 弧度的角,用符号 表示, 读作 。 练习:圆的半径为 r ,圆弧长为 2r 、 3r 、
?

r 的弧所对的圆心角分别为多少? 2

<思考>:圆心角的弧度数与半径的大小有关吗?
由上可知:如果半径为 r 的园的圆心角 ? 所对的弧长为 l ,那么,角 ? 的弧度数的绝对值是: , ? 的正负由 ,负角的弧度数是一个 决定。 ,零角的弧度数

正角的弧度数是一个 是 。

<说明>:我们用弧度制表示角的时候, “弧度”或 rad 经常省略,即只写一实数表

示角的度量。 例如:当弧长 l ? 4? r 且所对的圆心角表示负角时,这个圆心角的弧度数是

l 4? r ? | ? |? ? ? ? ? ?4? . r r

(三)角度与弧度的换算

360? ? 2? rad

1? ?

?

180

rad ? 0.01745 rad

180? ? ? rad 180 1 rad = ( )? ? 57?18?

?

归纳:把角从弧度化为度的方法是: 把角从度化为弧度的方法是:

<试一试>:一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整
30° 0 90° 120° 150° 270°

? 4

? 3

3? 4

?

2?

例 1、把下列各角从度化为弧度: (1) 252
0

(2) 11 15

0

/

(3) 30

0

(4) 67?30'

变式练习:把下列各角从度化为弧度: (1)22 ?30′ (2)—210?

(3)1200?

例 2、把下列各角从弧度化为度: (1) ?

3 5

(2) 3.5

(3) 2

(4)

? 4

变式练习:把下列各角从弧度化为度: (1)

? 12

(2)—

4? 3

(3)

3? 10

(四)弧度数表示弧长与半径的比,是一个实数,这样在角集合与实数集之间就建立了一 个一一对应关系.

正角 零角 负角

正实数 零 负实数

(五) 弧度下的弧长公式和扇形面积公式 弧长公式:
r

l ?| ? | ?r

(1) l ? ? R
2

? ? 因为 | ? |? l (其中 l 表示 ? 所对的弧长) (2) S ? ,所以,弧长公式为 lR | ?
扇形面积公

(1)S ?

说明:以上公式中的 ? 必须为弧度单位.

1 ?R 2; 2

1 2 1 (3) lR (2) S ? 2

| ?r .

式: .

例 3、知扇形的周长为 8 cm ,圆心角 ? 为 2rad, ,求该扇形的面积。

变式练习 的弧度数。

1、半径为 120mm 的圆上,有一条弧的长是 144mm,求该弧所对的圆心角

2、半径变为原来的

1 ,而弧长不变,则该弧所对的圆心角是原来的 2

倍。

3 、 若 2 弧 度 的 圆 心 角 所 对 的 弧 长 是 4cm , 则 这 个 圆 心 角 所 在 的 扇 形 面 积 是 .

4、以原点为圆心,半径为1的圆中,一条弦 AB 的长度为 3 , AB 所对的圆心角 ? 的弧度数为 . (六) 课堂小结: 1、弧度制的定义; 2、弧度制与角度制的转换与区别; 3、牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式,并灵活运用; (七)作业布置 习题 1.1A 组第 7,8,9 题。

课后练习与提高 1.在 ?ABC 中,若 ?A : ?B : ?C ? 3: 5: 7 ,求 A,B,C 弧度数。

2.直径为 20cm 的滑轮,每秒钟旋转 45 ,则滑轮上一点经过 5 秒钟转过的弧长是 多少?

?

3.选做题 如图,扇形 OAB 的面积是 4cm ,它的周长是 8cm ,求扇形的中心角及弦 AB 的 长。
2

B

A O

1.21 任意角的三角函数
课前预习学案 一、预习目标: 1.了解三角函数的两种定义方法; 2.知道三角函数线的基本做法. 二、预习内容: 根据课本本节内容,完成预习目标,完成以下各个概念的填空.

课内探究学案 一、学习目标 (1)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在 各象限的符号) ; (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法; (3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段,将任意角α 的正弦、余弦、正切函数值分 别用正弦线、余弦线、正切线表示出来; (4)掌握并能初步运用公式一; (5)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 二、重点、难点 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一). 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号) ;三角函数线的正确理解. 三、学习过程 (一)复习: 1、初中锐角的三角函数______________________________________________________ 2、在 Rt△ABC 中,设 A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,锐角 A 的正弦、余弦、正 切依次为_______________________________________________ (二)新课: 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设α 是一个任意角,α 终边上任意一点 P (除了原点)的坐标为

( x, y) ,它与原点的距离为 r (r ? | x |2 ? | y |2 ? x 2 ? y 2 ? 0) ,那么
(1)比值_______叫做α 的正弦,记作_______,即________ (2)比值_______叫做α 的余弦,记作_______,即_________ (3)比值_______叫做α 的正切,记作_______,即_________; 2.三角函数的定义域、值域 函 数 定 义 域 值 域

y ? sin ?

y ? cos?
3.三角函数的符 号 由三角函数的定义,以及各象限内点的坐标的符号,我们可以得知: ①正弦值

y ? tan ?

( y ? 0, r ? 0 ) ; ②余弦值

y 对于第一、二象限为_____( y ? 0, r ? 0 ) ,对于第三、四象限为____ r

( x ? 0, r ? 0 ) ; ③正切值 异号) .

x 对于第一、四象限为_____( x ? 0, r ? 0 ) ,对于第二、三象限为____ r

y 对于第一、 三象限为_______ x, y 同号) 对于第二、 ( , 四象限为______ x, y ( x

4.诱导公式 由三角函数的定义,就可知道:__________________________ 即有:_________________________ _________________________ _________________________ 5.当角的终边上一点 P( x, y ) 的坐标满足_______________时,有三角函数 正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 设任意角 ? 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P ( x, y) 过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ;过点 A(1,0) 作单位圆的切线,它与角 ? 的终边或 其反向延长线交与点 T .

y P
M

y

T

P

o

A

x

o

A
M
(Ⅰ)

x

y

(Ⅱ)

T

T

y

M

o

A

x

o

M A

x

P
(Ⅲ)

P T
(Ⅳ)

由四个图看出: 当角 ? 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM ? x, MP ? y ,于是有

sin ? ?

y y x x ,________ ? ? y ?,_______ MP cos ? ? ? ? x ? OM r 1 r 1 y MP AT tan ? ? ? ? ?._________ AT x OM OA 我们就分别称有向线段 MP, OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。

(三)例题 例 1.已知角α 的终边经过点 P(2, ?3) ,求α 的三个函数制值。

0 变式训练 1:已知角 ? 的终边过点 P (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值.

例 2.求下列各角的三个三角函数值: (1) 0 ; (2) ? ; (3)

3? . 2

变式训练 2:求 3 的正弦、余弦和正切值.

5?

例 3.已知角α 的终边过点 (a, 2a)(a ? 0) ,求α 的三个三角函数值。

变式训练 3: 求函数 y ? cos x ? tan x 的值域

cos x

tan x

例 4..利用三角函数线比较下列各组数的大小:

2? 4? 1. sin 与 sin 3 5

2. tan

2? 4? 与 tan 3 5

(四) 、小结

课后练习与提高 一、选择题

1. 为(

? 是第二象限角,P( x , 5 )为其终边上一点,且


cos? ?

2 x 4 ,则 sin ? 的值

A.

10 4

B.

6 4

C.

2 4 ? ? cos

D.

?

10 4

2.

? 是第二象限角,且

cos

?
2

?

? 2 ,则 2 是(
C. 第三象限角

) D. 第四象限角

A. 第一象限角

B. 第二象限角

? ? ??? , 2 那么下列各式中正确的是( 3、如果 4 ) A. cos ? ? tan ? ? sin ? B. sin ? ? cos ? ? tan ? C. tan ? ? sin ? ? cos ? D. cos ? ? sin ? ? tan ?

二、填空题 4. 已知 ? 的终边过 3a ? 9,a ? 2 ) c s ( 且o 5. 函数 y ? sin x ? tan x 的定义域为 6. sin 2 ? cos3 ? tan 4 的值为 三、解答题 7.已知角α 的终边上一点 P 的坐标为( ? 3, y ) y ? 0 ) ( ,且

? ? 0 ,sin? ? 0 , ? 的取值范围是 则




(正数,负数,0,不存在)

sin ? ?

2 y 4 ,求

cos?和 tan ?

1.2.2 同角的三角函数的基本关系
课前预习学案 预习目标: 通过复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线, 为本节所要学习的同角三角函数 的基本关系式做好铺垫。 预习内容: 复习回顾三角函数定义和单位圆中的三角函数线: 。 提出疑惑: 与初中学习锐角三角函数一样, 我们能不能研究同角三角函数之间关系, 弄清同角各不 同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化呢? 。 课内探究学案 学习目标:

⒈掌握同角三角函数的基本关系式,理解同角公式都是恒等式的特定意义; 2 通过运用公式的训练过程,培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题 技能,提高运用公式的灵活性; 3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题;在解决三角函数化简问题过程中,注 意培养学生思维的灵活性及思维的深化; 在恒等式证明的教学过程中, 注意培养学生分析问 题的能力,从而提高逻辑推理能力. 学习过程: 【创设情境】 与初中学习锐角三角函数一样, 本节课我们来研究同角三角函数之间关系, 弄清同角各 不同三角函数之间的联系,实现不同函数值之间的互相转化. 【探究新知】 y 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从 P 圆的几何性质出发,讨论一
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

下同一个角不同三角函数之间的关系吗? 如图:以正弦线 MP ,余弦线 OM 和半径 OP 三者的长构 成直角三角形,而且 OP ? 1 .由勾股定理由 MP ? OM ? 1 ,
2 2

1 M O A(1, 0) x

因此 x ? y ? 1 ,即
2 2

.

根据三角函数的定义,当 a ? k? ?

?
2

(k ? Z ) 时,有

.

这就是说,同一个角 ? 的正弦、余弦的平方等于 1,商等于角 ? 的正切. 【例题讲评】 例 1 化简: 1 ? sin 440
2 ?

例 2 已知 ?是第三象限角,化简

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? 1 ? sin ?

例 3 求证:

cos? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos?

例 4 已知方程 2 x ? ( 3 ? 1) x ? m ? 0 的两根分别是 sin ? , ? , cos
2



sin ? cos? ? 的值。 1 ? cot? 1 ? tan?

例 5 已知 sin ? ? 2 cos? , 求

sin ? ? 4 cos? 及 sin 2 ? ? 2 sin ? cos?的值。 5 sin ? ? 2 cos?

【课堂练习】 化简下列各式

1.

1 ? cos? 1 ? cos? ? 1 ? cos? 1 ? cos? sin x tan x ? sin x ? 1 ? cos x tan x ? sin x
sin?

? ? ? ( ,? )
2

2.

1 ? cos2 ? ? 3. cos? 1 ? sin 2 ?

1.3.1 三角函数的诱导公式(一)
课前预习学案 预习目标: 回顾记忆各特殊锐角三角函数值,在单位圆中正确识别三种三角函数线。 预习内容: 1、背诵 30 度、45 度、60 度角的正弦、余弦、正切值; 2、在平面直角坐标系中做出单位圆,并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。 提出疑惑: 我们知道,任一角 ? 都可以转化为终边在 [0,2? ) 内的角,如何进一步求出它的三角函 数值?

) 范围内的角的三角函数值是熟悉的,那么若能把 [ ,2? ) 内的角 ? 的三角函 2 2 数值转化为求锐角 ? 的三角函数值,则问题将得到解决。那么如何实现这种转化呢?
我们对 [0, 课内探究学案 一、学习目标: (1).借助单位圆,推导出正弦、余弦和正切的诱导公式,能正确运用诱导公式将任意 角的三角函数化为锐角的三角函数,并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题 (2).通过公式的应用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程,培养学生的化归思 想,以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。 二、重点与难点: 重点:四组诱导公式的记忆、理解、运用。 难点:四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断; 三、学习过程: (一)研探新知 1. 诱导公式的推导 由三角函数定义可以知道:终边相同的角的同一三角函数值相等,即有公式一:

?

?

sin(? ? 2k? ) ? sin ? cos(? ? 2k? ) ? cos ? tan(? ? 2k? ) ? tan ?

(k ? Z ) (k ? Z ) (k ? Z )
(公式一)

诱导公式(一)的作用:把任意角的正弦、余弦、正切化为 [0,2? ) 之间角的正弦、余弦、 正切。 【注意】 :运用公式时,注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用,如写成

sin(80? ? 2k? ) ? sin 80? , cos(

?
3

? k ? 360 ? ) ? cos

?
3

是不对的

【讨论】 :利用诱导公式(一) ,将任意范围内的角的三角函数值转化到 [0,2? ) 角后,又 如何将 [0,2? ) 角间的角转化到 [0,

) 角呢? 2 除此之外还有一些角,它们的终边具有某种特殊关系,如关于坐标轴对称、关于原点 对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢?

?

若角 ? 的终边与角 ? 的终边关于 x 轴对称,那么 ? 与 ? 的三角函数值之间有什么关 系?特别地,角 ? ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,由单位圆性质可以推得: (公式二) 特别地,角 ? ? ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,故有 (公式三) 特别地,角 ? ? ? 与角 ? 的终边关于原点 O 对称,故有 (公式四) 所以, 我们只需研究 ? ? ? , ? ? ? ,2? ? ? 的同名三角函数的关系即研究了 ? 与? 的关系 了。 【说明】 :①公式中的 ? 指任意角;②在角度制和弧度制下,公式都成立; ③记忆方法: “函数名不变,符号看象限” ; 【方法小结】 :用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般方向是: ① ; ② ; ③ 。 可概括为: “ ” (有时也直接化到锐角求值) 。 (二) 、例题分析:

43? ). 6 ? ? ? ? 分析:先将不是 ?0 ,360 ? 范围内角的三角函数,转化为 ?0 ,360 ? 范围内的角的三角 ? ?
例 1 求下列三角函数值: (1) sin 960 ; (2) cos(?
?

函数 (利用诱导公式一) 或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到 ? 0 ,90 ? 范围内 ? ? 角的三角函数的值。
? ?

例 2 化简

cot ? ? cos(? ? ? ) ? sin 2 (3? ? ? ) . tan ? ? cos3 (?? ? ? )

(三) 课堂练习: (1) .若 sin(

?
2

? ? ) ? cos( ? ? ) ,则 ? 的取值集合为 ?
?
4 k ? Z}
B. {? | ? ? 2k? ?





A. {? | ? ? 2k? ?

?
4

k ? Z}

C. {? | ? ? k? (2) .已知 tan(? ( A. )
|a| 1? a
2

k ? Z}

D. {? | ? ? k? ? ? 2

k ? Z}

14 ? ) ? a, 那么 sin1992 ? ? 15
B.
a 1? a
2

C. ?

a 1? a
2

D. ?

1 1? a2

(3) .设角 ? ? ?

35 ? , 则 2 sin(?2 ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 的值等于 6 1 ? sin ? ? sin(? ? ? ) ? cos2 (? ? ? )
B.-





A.

3 3

3 3

C. 3

D.- 3 ( D.与 ? 取值有关 )

(4) .当 k ? Z 时, A.-1

sin(k? ? ? ) ? cos(k? ? ? ) 的值为 sin[(k ? 1)? ? ? ] cos[(k ? 1)? ? ? ]

B.1

C.±1

? ( 5 ) 设 f ( x) ? a sin(?x ? ? ) ? b cos( x ? ? ) ? 4 .
f (2000 ) ? 5,
那么 f (2004 ) ? A.1 B.3 C.5

(a, b,? , ? 为 常 数 ) 且 ,

D.7 .





(6) .已知 sin? ? 3 cos? ? 0, 则

sin ? ? cos? ? sin ? ? cos?
课后练习与提高

一、选择题

3 3? ,则 sin( ) ? ? ) 值为( 4 2 4 3 3 1 1 A. B. — C. D. — 2 2 2 2 1 3 π 2.cos ( ? +α )= — , <α < 2? ,sin( 2? -α ) 值为( ) 2 2 3 3 3 1 A. B. C. ? D. — 2 2 2 2 ? 3.化简: 1 ? 2 sin(? ? 2) ? cos( ? 2) 得( ) A. sin 2 ? cos 2 B. cos 2 ? sin 2 C. sin 2 ? cos 2
1.已知 sin(

?

??) ?

D.± cos 2 ? sin 2 )

4.已知 tan ? ?

3 ,? ? ? ?

3? ,那么 cos? ? sin? 的值是( 2

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A

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?

1? 3 2

B

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C

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1? 3 2
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二、填空题 5.如果 tan? sin ? ? 0, 且 0 ? sin ? ? cos? ? 1, 那么 ? 的终边在第 6.求值:2sin(-1110?) -sin960?+ 2 cos(?225 ?) ? cos(?210 ?) = 三、解答题 7.设 f (? ) ?

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2 cos3 ? ? sin 2 (? ? ? ) ? 2 cos(?? ? ? ) ? 1 ? ,求 f ( ) 的值. 2 2 ? 2 cos (7? ? ? ) ? cos(?? ) 3

8.已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?),求

sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值。 3? 2 sin( ? ? ) ? sin(?? ) 2

1.3.2 三角函数诱导公式(二)

课前预习学案

一、预习目标 熟记正弦、 余弦和正切的诱导公式, 理解公式的由来并能正确地运用这些公式进行任意 角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简 二、复习与预习 1.利用单位圆表示任意角 ? 的正弦值和余弦值;____________________ 2.诱导公式一及其用途: ______________________________ ______________________________ ______________________________ 3、 对于任何一个 ?0? ,360? 内的角 ? , 以下四种情况有且只有一种成立 (其中 ? 为锐角) : ?

?

?? , 当? ? ?0? ,90? ? ? ? ?180? ? ? , 当? ? ?90? ,180? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?180 ? ? , 当? ? ?180 , 270 ? ? ? ? ? ? ?360 ? ? , 当? ? ? 270 ,360 ? ? ?

4、 诱导公式二: 5、诱导公式三: 6、诱导公式四:

7、诱导公式五:

8、诱导公式六: 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1.通过本节内容的教学,使学生进一步理解和掌握四组正弦、余弦和正切的诱导公式, 并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、 余弦和正切值的求解、 简单三角函数式的化简 与三角恒等式的证明; 2.通过公式的应用,培养学生的化归思想,运算推理能力、分析问题和解决问题的能 力; 学习重难点:

重点:诱导公式及诱导公式的综合运用.

难点:公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透.
二、学习过程 创设情境: 问题 1:请同学们回顾一下前一节我们学习的 系。 与 、 、 的三角函数关

问题 2: 如果两个点关于直线 y=x 对称,它们的坐标之间有什么关系呢?若两个点关于 y 轴对称呢? 探究新知: 问题 1:如图:设 的终边与单位圆相交于点 P,则 P 点坐标为 ,点 P 关于直线 y=x 的轴对称点为 M,则 M 点坐标为 , 点 M 关于 y 轴的对称点 N,则 N 的坐标为 , ∠XON 的大小与 的关系是什么呢?点 N 的坐标又可以怎么表示呢?

问题 2:观察点 N 的坐标,你从中发现什么规律了?

例 1 利用上面所学公式求下列各式的值:

(1)

(2)

(3)

(4)

变式训练 1: 将下列三角函数化为 (1) (2)

到 (3)

之间的三角函数:

思考:我们学习了

的诱导公式,还知道

的诱导公式,那么对于



又有怎样的诱导公式呢? 例 2 已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?),求

sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值 3? 2 sin( ? ? ) ? sin(?? ) 2

变式训练 2:已知

,求

的值。

课堂练习 1.利用上面所学公式求下列各式的值: (1) (2) 到 之间的三角函数:

2.将下列三角函数化为 (1) 归纳总结: (2)

课后练习与提高

3 3? ,则 sin( ) ? ? ) 值为( 4 2 4 3 3 1 1 A. B. — C. D. — 2 2 2 2 1 3 π 2.cos ( ? +α )= — , <α < 2? ,sin( 2? -α ) 值为( 2 2
1.已知 sin(

?

??) ?



3 3 1 C. ? D. — 2 2 2 ? 3.化简: 1 ? 2 sin(? ? 2) ? cos( ? 2) 得( ) A. sin 2 ? cos 2 B. cos 2 ? sin 2 C. sin 2 ? cos 2
A. B. 4.已知 tan ? ?

3 2

D.± cos 2 ? sin 2

3 ,? ? ? ?

3? ,那么 cos? ? sin? 的值是 2
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5.如果 tan? sin ? ? 0, 且 0 ? sin ? ? cos? ? 1, 那么 ? 的终边在第 6.求值:2sin(-1110?) -sin960?+ 2 cos(?225 ?) ? cos(?210 ?) = 7.已知方程 sin(? ? 3?) = 2cos(? ? 4?),求

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sin(? ? ? ) ? 5 cos(2? ? ? ) 的值。 3? 2 sin( ? ? ) ? sin(?? ) 2

1.4.1 正弦函数,余弦函数的图象
课前预习学案 一、预习目标 理解并掌握作正弦函数图象的方法,会用五点法作正余弦函数简图. 二、复习与预习 1.正、余弦函数定义:____________________ 2.正弦线、余弦线:______________________________ 3. 1 .正弦函数 y=sinx, x∈[0, ]的图象中, 2π 五个关键点是: 、 20.作 y ? cos x 在 [0, 2? ] 上的图象时,五个关键点是
、 、 、
0

、 、





.

.

步骤:_____________,_______________,____________________. 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 (1)利用单位圆中的三角函数线作出 y ? sin x, x ? R 的图象,明确图象的形状; (2)根据关系 cos x ? sin(x ? ? ) ,作出 y ? cos x, x ? R 的图象;
2

(3)用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图象解决一些有关问题; 学习重难点:

重点:“五点法”画长度为一个周期的闭区间上的正弦函数图象; : 难点:运用几何法画正弦函数图象。

二、学习过程 1.创设情境: 问题 1:三角函数的定义及实质?三角函数线的作法和作用?

问题 2:根据以往学习函数的经验,你准备采取什么方法作出正弦函数的图象?作图过 程中有什么困难?

2.探究新知: 问题一:如何 作出

的图像呢?

问题二:如何得到

的图象?

问题三:这个方法作图象,虽然比较精确,但不太实用,如何快捷地画出正弦函数的图 象呢?

组织学生描出这五个点,并用光滑的曲线连接起来,很自然得到函数的简图,称为“五 点法”作图。 “五点法”作图可由师生共同完成 小结作图步骤: 思考:如何快速做出余弦函数图像? 例 1、画出下列函数的简图:y=1+sinx ,x∈〔0,2π 〕 解析:利用五点作图法按照如下步骤处理 1、列表 2、描点 3、连线

变式训练:y=-cosx ,x∈〔0,2π 〕

三、反思总结 1、数学知识: 2、数学思想方法: 四、当堂检测 画出下列函数的简图:(1) y=|sinx|, (2)y=sin|x|

思考:可用什么方法得到

的图像? 课后练习与提高

1. 用五点法作 y ? 2sinx, x ? [0,2? ] 的图象.

2.

结合图象,判断方程 sinx ? x 的实数解的个数.

3.分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的 x 的集合:

1 (1)sin x ? ; 2

1 5? (2) cos x ? , (0 ? x ? ). 2 2

1.4.2 正弦函数余弦函数的性质
课前预习学案 一、预习目标 探究正弦函数、余弦函数的周期性,周期,最小正周期;会比较三角函数值的大小,会 求三角函数的单调区间. 二、预习内容

1. _____________________________________________________________________ 叫做周期函数,___________________________________________叫这个函数的周期. 2. _____________________________________叫做函数的最小正周期. 3.正弦函数, 余弦函数都是周期函数, 周期是____________, 最小正周期是________.
4. 由 诱 导 公 式 _________________________ 可 知 正 弦 函 数 是 奇 函 数 . 由 诱 导 公 式 _________________________可知,余弦函数是偶函数. 5.正弦函数图象关于____________________对称, 正弦函数是_____________.余弦函数 图象关于________________对称,余弦函数是_____________________. 6.正弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数, 其值从-1 增大到 1; 在 每一个闭区间_________________上都是减函数,其值从 1 减少到-1. 7.余弦函数在每一个闭区间_________________上都是增函数, 其值从-1 增大到 1; 在

每一个闭区间______________上都是减函数,其值从 1 减少到-1. 8.正弦函数当且仅当 x=___________时, 取得最大值 1,当且仅当 x=_________________ 时取得最小值-1. 9.余弦函数当且仅当 x=______________时取得最大值 1;当且仅当 x=__________时 取得最小值-1.

10.正弦函数 y ? 3sinx 的周期是___________________________. 11.余弦函数 y ? cos2x 的周期是___________________________. 12.函数 y=sinx+1 的最大值是__________,最小值是_____________,y=-3cos2x 的最 大值是_____________,最小值是_________________. 13.y=-3cos2x 取得最大值时的自变量 x 的集合是_________________. 14.把下列三角函数值从小到大排列起来为:_____________________________
4 sin ? , 5

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

5 ? cos ? , 4

sin

32 ?, 5

cos

5 ? 12

课内探究学案 一、 学习目标: 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质; 会求含有 sin x, cos x 的 三 角 式 的 性 质 ; 会 应 用 正 、 余 弦 的 值 域 来 求 函 数 y ? a sin x ? b(a ? 0) 和 函 数
2 y ? a c o s x ? b c o s ? c (a ? 0) 的值域 x

学习重难点:正弦函数和余弦函数的性质及简单应用。 二、学习过程 例 1、求函数 y=sin(2x+ )的单调增区间. 解:
? 3

变式训练 1. 求函数 y=sin(-2x+ 解:

? )的单调增区间 3

例 2:判断函数 f ( x) ? sin( x ? 解:

3 4

3? ) 的奇偶性 2

变式训练 2. f ( x) ? lg(sin x ? 1 ? sin x )
2

解:

例 3. 比较 sin2500、sin2600 的大小 解:

变式训练 3. cos 解:

15? 14? 、cos 8 9

三、反思总结

1、数学知识: 2、数学思想方法: 四、当堂检测 一、选择题

1.函数 y ? 2 sin 2 x 的奇偶数性为( A. 奇函数

).

B. 偶函数 D. 非奇非偶函数


C.既奇又偶函数
2.下列函数在 [ A. y=sinx C. y=sin2x 3.下列四个函数中,既是 ? 0, A. y ? sin x C. y ? cos x 二、填空题

?
2

, ? ] 上是增函数的是(

B. y=cosx D. y=cos2x

? ?

??

? 上的增函数,又是以 ? 为周期的偶函数的是( 2?
B. y ? sin 2 x D. y ? cos 2 x

).

4.把下列各等式成立的序号写在后面的横线上。 ① cos x ? 2 ② 2sin x ? 3 ③ sin 2 x ? 5sin x ? 6 ? 0 ④ cos2 x ? 0.5

__________________________________________________________ 5.不等式 sin x ≥ ?
三、解答题 6.求出数 y ? sin x ?
2 的解集是______________________. 2

?? 1 ? ? x ? , x ? ? ?2? , 2? ? 的单调递增区间. ?3 2 ?

课后练习与提高 一、选择题 π 1.y=sin(x- )的单调增区间是( 3 π 5π A. [kπ- ,kπ+ ] (k∈Z) 6 6 ) π 5π B. [2kπ- ,2kπ+ ](k∈Z) 6 6

7π π C. [kπ- , kπ- ] (k∈Z) 6 6

7π π D. [2kπ- ,2kπ- ] (k∈Z) 6 6

2.下列函数中是奇函数的是( ) A. y=-|sinx| B. y=sin(-|x|) C. y=sin|x| D. y=xsin|x| 3.在 (0,2π) 内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围是( ) π π 5π A .( , )∪( π, ) 4 2 4 C. ( π 5π , ) 4 4 B. ( D.( π ,π) 4 π 5π 3π ,π)∪( , ) 4 4 2

二、填空题 4.Cos1,cos2,cos3 的大小关系是______________________. π 5.y=sin(3x- )的周期是__________________. 2 三、解答题 6.求函数 y=cos2x - 4cosx + 3 的最值

1.4.3 正切函数的图像与性质
课前预习学案 一、预习目标 利用单位圆内的正切线画正切曲线,并根据正切函数图象掌握正切函数的性质 二、预习内容 1.画出下列各角的正切线:

2.类比正弦函数 我们用几何法做出正 切 函 数 y ? tan x 图 象:

3.把上述图象向左、右扩展,得到正切函数 y ? tan x

x ? R ,且 x ?

?
2

? k? ?k ? z ? 的

图象, “正切曲线” 称 4.观察正切曲线,回答正切函数的性质: 定义域: 值域: 最值: 渐近线: 周期性: 奇偶性 单调性: 图像特征: 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标:会用单位圆内的正切线画正切曲线,并根据正切函数图象掌握正切函 数的性质,用数形结合的思想理解和处理问题。 学习重难点:正切函数的图象及其主要性质。 二、学习过程 例 1.讨论函数 y ? tan? x ?

? ?

??

? 的性质 4?

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变式训练 1. 求函数 y=tan2x 的定义域、值域和周期

例 2.求函数 y=

2 的定义域 tan x-1

1 变式训练 2. y= tan x+

例 3. 比较 tan

2? 10 ? 与 tan 的大小 7 7

变式训练 3. tan

6? 13? 与 tan (- ) 5 5

三、反思总结 1、数学知识: 2、数学思想方法: 四、当堂检测 一、选择题 1. 函数 y ? 2 tan(3x ? (A)

?
4

) 的周期是

( (C)

)

2? 3

(B)

2.函数 y ? tan( (A) {x | x ? (C)

?
4

? 2

? 3

(D)

? 6
( )

? x) 的定义域为
(B) {x | x ? ?

?
4

, x ? R}

?
4

, x ? R} 3? , x ? R, k ? Z } 4

{x | x ? k? ?

?
4

, x ? R, k ? Z } (D) {x | x ? k? ?

3.下列函数中,同时满足(1)在(0, (A) y ? tan x

? )上递增,(2)以 2 ? 为周期,(3)是奇函数的是 2
(C) y ? tan 1 x 2

(

)

(B) y ? cos x

(D) y ? ? tan x

二、填空题 4.tan1,tan2,tan3 的大小关系是_______________________. 5.给出下列命题:

(1)函数 y=sin|x|不是周期函数; (2)函数 y=|cos2x+1/2|的周期是π /2; (3)函数 y=tanx 在定义域内是增函数; (4)函数 y=sin(5π /2+x)是偶函数; (5)函数 y=tan(2x+π /6)图象的一个对称中心为(π /6,0) 其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上) 三、解答题 6.求函数 y=lg(1-tanx)的定义域

课后练习与提高
一、选择题 1、 y ? tan x( x ? k? ?

?
2

, k ? Z ) 在定义域上的单调性为(

).

A.在整个定义域上为增函数 B.在整个定义域上为减函数 C.在每一个开区间 (? D.在每一个开区间 (?

?

?

2

? k? ,

?
2

? k? )(k ? Z ) 上为增函数 ? 2k? )(k ? Z ) 上为增函数 13 17 ? ) ? tan(? ? ) 4 5

2

? 2k? ,
).

?
2

2、下列各式正确的是( A. tan(?

13 17 ? ) ? tan(? ? ) 4 5 13 17 C. tan(? ? ) ? tan(? ? ) 4 5 3、若 tan x ? 0 ,则( ).
A. 2k? ? C. k? ?

B. tan(?

D.大小关系不确定

?

?

2

? x ? 2k? , k ? Z

B. 2k? ? D. k? ?

?
2

? x ? (2k ? 1)? , k ? Z

2

? x ? k? , k ? Z

?
2

? x ? k? , k ? Z

二、填空题 4、函数 f ( x) ?

tan 2 x 的定义域为 tan x

. .

5、函数 y ? sin x ? tan x 的定义域为 三、解答题 6、 函数 y ? tan(

?
4

? x) 的定义域是(

).

1.5 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象
课前预习学案 一、预习目标

预习图像变换的过程,初步了解图像的平移。 二、预习内容 1.函数 y ? sin x ? ? ) , x ? R (其中 ? ? 0 )的图象,可以看作是正弦曲线上所有的 ( 点_________(当 ? >0 时)或______________(当 ? <0 时)平行移动 ? 个单位长度而得 到. 2.函数 y ? sin ?x, x ? R(其中 ? >0 且 ? ? 1 )的图象,可以看作是把正弦曲线 上 所有点的横坐标______________(当 ? >1 时)或______________(当 0< ? <1 时)到原 来的 倍(纵坐标不变)而得到. 3.函数 y ? A sin x, x ? R( A >0 且 A ? 1)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有点的纵 坐标___________(当 A>1 时)或__________(当 0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不变) 而得到的, 函数 y=Asinx 的值域为______________.最大值为______________, 最小值为 ______________. 4. 函数 y ? A sin(?x ? ? ), x ? R 其中的(A>0, ? >0)的图象,可以看作用下面的方法 得到:先把正弦曲线上所有的点___________(当 ? >0 时)或___________(当 ? <0 时) 平行移动 ? 个单位长度, 再把所得各点的横坐标 ____________ (当 ? >1 时)或 ____________(当 0< ? <1)到原来的1 倍(纵坐标不变) ,再把所得各点的纵横坐标
?
1 ?

____________(当 A>1 时)或_________(当 0<A<1 时到原来的 A 倍(横坐标不变)而 得到.
课内探究学案 一、学习目标

1.会用 “五点法” 作出函数 y ? Asm(wx ? ? ) 以及函数 y ? A cos(wx ? ? ) 的图象的图象。 2.能说出 ?、W、A 对函数 y ? A sin wx ? ? ) 的图象的影响. ( 3.能够将 y ? sin x 的图象变换到 y ? A sin(wx ? ? ) 的图象,并会根据条件求解析式.
学习重难点:

重点:由正弦曲线变换得到函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象。 难点: ω ? 1 时, 当 函数 y1 ? A sin(ωx ? φ1 ) 与函数 y 2 ? A sin(ωx ? φ2 ) 的关系。
二、学习过程

1、复习巩固; 作业评讲——作出函数 y ? sin x 在一个周期内的简图并回顾作图方法?

2、自主探究;
问题一、函数图象的左右平移 ? 变 ? 换 如在同一坐标系下,作出函 y ? sin( x ? ) 数 y ? sin( x ? ) 和的简图,并指出 它们与 y ? sin x 图象之间的关系。

3

4

问题二、函数图象的纵向伸缩变换 如 在 同 一 坐 标 系 中 作 出 y ? 2 si nx 及 y ? sin x 的关系。

y?

1 sin x 2 的简图,并指出它们的图象与

问题三、函数图象的横向伸缩变换

1 y ? sin x 2 的简图,并指出它们与 y ? sin x 图象间的关系。 如作函数 y ? sin2 x 及

问题四、作出函数 y ? 2 sin( x ?

1 3

?
6

) 的图象

问题五、作函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象主要有以下两种方法: (1)用“五点法”作图

(2)由函数 y ? sin x 的图象通过变换得到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,有两种主要途 径: “先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” 。

(三)规律总结

①由正弦曲线变换到函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象需要进行三种变换, 顺序可 任意改变;先平移变换后周期变换时平移 ? 个单位,先周期变换后平移变换时 平移 ? 个单位。
?

②常用变换顺序——先平移变换再周期变换后振幅变换 (平移的量只与 ? 有 关) 。 (四)当堂检测

1、请准确叙述由正弦曲线变换得到下列函数图象的过程? ① y ? 1 sin(4 x ? ? )
2 3

② y ? 2 sin(1 x ? ? )
3 6

2、已知函数 y ? 1 sin(4 x ? 2? ) 的图象为C,为了得到函数 y ? 2 sin(4 x ? 2? ) 的图
5 3

3

象,只需把C的所有点(

) B、横坐标缩短到原

A、横坐标伸长到原来的10倍,纵坐标不变。 来的 1 倍,纵坐标不变。
10

C、纵坐标伸长到原来的10倍,横坐标不变。 来的 1 倍,横坐标不变。
10

D、纵坐标缩短到原

3、已知函数 y ? 1 sin(4 x ? 2? ) 的图象为C,为了得到函数 y ? 1 sin(x ? 2? ) 的图象,
5 3

5

3

只需把C的所有点(

) B、横坐标缩短到原来

A、横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变。 的 1 倍,纵坐标不变。
4

C、纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变。 的 1 倍,横坐标不变。
4

D、纵坐标缩短到原来

4、已知函数 y ? 1 sin(4 x ? 2? ) 的图象为C,为了得到函数 y ? 1 sin 4 x 的图象,只
5 3

5

需把C的所有点(
6

) B、向右平移 ? 个单位
6

A、向左平移 ? 个单位长度 长度 C、向左平移 2? 个单位长度
3

D、向右平移 2? 个单位
3

长度 5、将正弦曲线上各点向左平移 ? 个单位,再把横坐标伸长到原来的2倍,纵
3

坐标不变,则所得图象解析式为(
x ? A、 ? sin( ? ) y 2 3
x ? B、 ? sin( ? ) y 2 6


x ? C、 ? sin( ? ) y 2 3

? D、 ? sin(2 x ? ) y 3

课后练习与提高

一、选择题

1、已知函数 y ? f(x),将f(x) 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍, 然后把所得的图形沿着 x 轴向左平移
? 1 个单位, 这样得到的曲线与 y ? sinx 的图象 2 2

相同,那么已知函数 y ? f(x) 的解析式为( A. f(x) ?

).

1 x ? sin( - ) 2 2 2
2 2 2

1 ? B. f(x) ? sin(2x ? ) 2 2 1 ? D. f(x) ? sin(2x - ) 2 2

1 x ? C. f(x) ? sin( ? )

2、把函数 y ? sinx 的图象向右平移 到的函数的解析式为( 1 ? A. y ? sin( x - )
2 8

? 后,再把各点横坐标伸长到原来的 2 倍,所得 8

).
1 ? B. y ? sin( x ? ) 2 8

? C. y ? sin(2x - )
8

? D. y ? sin(2x - )
4

? 3、函数 y ? 3sin(2x ? ) 的图象,可由函数 y ? sinx 的图象经过下述________变换而
3

得到(

).
1 ? 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 2 3 1 ? 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍 2 3

A.向右平移 B.向左平移

C. 向右平移 D.向左平移

? 1 个单位,横坐标扩大到原来的 2 倍,纵坐标缩小到原来的 6 3

1 ? 1 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标缩小到原来的 2 6 3 2 4

1 ? 4 、 函 数 y ? 3sin( x - ) 的 周 期 是 _________ , 振 幅 是 __________ , 当

x=____________________时, y m ax ? __________;当 x=____________________时,
y m in __________. ?

? 5、已知函数 y ? Asin(?x ? ? )(A>0,? >0,0< ? ? ? )的两个邻近的最值点为( , ) 2
6

和(

2? ,2) ? ,则这个函数的解析式为____________________. 3 2? ,最小值是-2, 3

6、已知函数 y ? Asin(? ? ? ) (A>O, ? >0, ? < ? )的最小正周期是 且图象经过点(
5? ,) 0 ,求这个函数的解析式. 9

1.6 三角函数模型的简单应用

课前预习学案 一、预习目标 预习三角函数模型的简单问题,初步了解三角函数模型的简单应用 二、预习内容 1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型. 2、 y ?| sin x | 是以____________为周期的波浪型曲线. 课内探究学案 一、学习目标 1、会用三角函数解决一些简单的问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数

模型. 2 通过对三角函数的应用,发展数学应用意识,求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进 行思考和作出判断. 学习重难点: 重点:精确模型的应用——由图象求解析式,由解析式研究图象及性质 难点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型 二、学习过程

自主探究;
问 题 一 、 如 图 , 某 地 一 天 从 6 ~ 14 时 的 温 度 变 化 曲 线 近 似 满 足 函 数

y ? A sin(?x ? ? ) ? b .
(1)求这一天 6~14 时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式
T / ?C

30

20 10
O

6

8 10 12 14 t / h

问题二、画出函数 y ? sin x 的图象并观察其周期.

问题三、如图,设地球表面某地正午太阳高度角为 ? ,? 为此时太阳直射纬度,? 为该 地的纬度值,那么这三个量之间的关系是 ? ? 90 ? ? ? ? .当地夏半年 ? 取正值,冬半年
?

? 取负值.

φ-δ θ φ δ
太阳光

如果在北京地区(纬度数约为北纬 40 )的一幢高为 h0 的楼房北面盖一新楼, 要使新楼一 层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡,两楼的距离不应小于多少?

?

三、当堂检测 1、以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现:该商品 的出厂价格是在 6 元基础上按月份随正弦曲线波动的,已知 3 月份出厂价格最高为 8 元,7 月份出厂价格最低为 4 元, 而该商品在商店的销售价格是在 8 元基础上按月随正弦曲线波动 的,并已知 5 月份销售价最高为 10 元,9 月份销售价最低为 6 元,假设某商店每月购进这 种商品 m 件,且当月售完,请估计哪个月盈利最大?并说明理由.

课后练习与提高 1、设 y ? f (t ) 是某港口水的深度关于时间 t(时)的函数,其中 0 ? t ? 24 ,下表是该港口 某一天从 0 至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系. t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

经长期观察,函数 y ? f (t ) 的图象可以近似地看成函数 y ? k ? A sin(?t ? ? ) 的图象.

根据上述数据,函数 y ? f (t ) 的解析式为( A. y ? 12 ? 3sin



?t

6 ?t C. y ? 12 ? 3sin , t ? [0, 24] 12

, t ? [0, 24]

? ? ), t ? [0, 24] 6 ?t ? D. y ? 12 ? 3sin( ? ), t ? [0, 24] 12 2
B. y ? 12 ? 3sin(
?

?t

2、 从高出海面 hm 的小岛 A 处看正东方向有一只船 B, 俯角为 30 看正南方向的一船 C 的俯角为 45 ,则此时两船间的距离为( A. 2hm B. 2hm C. 3hm
?

). D. 2 2hm

3、如图表示电流 I 与时间 t 的函数关系式: I = Asin(?t ? ?) 在同一周期内的图象。 (1)根据图象写出 I = Asin(?t ? ?) 的解析式;

1 (2)为了使 I = Asin(?t ? ?) 中 t 在任意-段 100 秒的时
间内电流 I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数 ? 的最小 值是多少? 答案: 预习内容:1、周期 自主探究:

2、 ?

问题二、

y 1
? 2?

??

?

? 2

o
?1

? 2

?

2? x

问题三、解:A、B、C 分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼 顶在地面上的投影点。 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 应取太阳直射南 回归线的情况考虑,此时的太阳直射纬度为-23° 26′,依题意,两楼的间距不小于 MC,根 据太阳高度的定义,有: ∠C=90° -|40° -(-23° 26′)|=26° 34′ MC=

h0 h0 =2h0 ? tan C tan 26?34'

即盖楼时,为命使后楼不被前楼遮挡,要留出当于楼高两倍的间距。 当堂检测:由条件可得:出厂价格函数为 y 1 ? 2 sin(

?
4

x ?

?
4

)? 6,

销售价格函数为 y 2 ? 2 sin(

?
4

x ?

3? ) ? 8, 4

则利润函数为:

? 3? ? ? ? y ? m( y 2 ? y1 ) ? m[2 sin( x ? ) ? 8 ? 2 sin( x ? ) ? 6] ? m(2 ? 2 2 sin x) 4 4 4 4 4
所以,当 x=6 时,Y=(2+ 2 2 )m,即 6 月份盈利最大. 课后练习与提高 1、A 2、A

3、解: (1)由图知 A=300,

t1 ? ?

1 1 t3 ? 300 , 150

1 1 1 ? T ? 2( t 3 ? t 1 ) ? 2( ? )? 150 300 50 2? ?? ? ? 100? T
由 ?t 1 ? ? ? 0 得

? ? ??t 1 ?

?
3

? I ? 300 sin(100?t ?

?
3

)

T 1 T 1 ? ? (2)问题等价于 2 100 ,即 ? 100

?? ? 100? ,∴正整数 ? 的最小值为 314。

2.1 平面向量的实际背景及基本概念
课前预习学案 一、预习目标 通过阅读教材初步了解向量的实际背景, 理解平面向量的概念和向量的几何表示; 掌握 向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念;并会区分平行向量、 相等向量和共线向量. 二、预习内容 (一) 、情景设置: 如图,老鼠由 A 向西北逃窜,猫在 B 处向东追去,设问:猫能否 追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 分析: 老鼠逃窜的路线 AC、 猫追逐的路线 BD 实际上都是有方向、 有长短的量. 引言:请同学指出哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向? (二) 、新课预习: 1、向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量 2、请同学阅读课本后回答:(可制作成幻灯片) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 数量与向量有何区别? 如何表示向量? 有向线段和线段有何区别和联系?分别可以表示向量的什么? 长度为零的向量叫什么向量?长度为 1 的向量叫什么向量? 满足什么条件的两个向量是相等向量?单位向量是相等向量吗? 有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系? 如果把一组平行向量的起点全部移到一点 O,这是它们是不是平行向量?这时各

C A B D

向量的终点之间有什么关系? 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1、通过对向量的学习,使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2、通过学生对向量与数量的识别能力的训练,培养学生认识客观事物的数学本质的能 力.

二、学习过程 1、数量与向量的区别?

2.向量的表示方法? ① ② ③ ④向量 AB 的大小――长度称为向量的模,记作 3.有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,三个要素: 向量与有向线段的区别: (1) (2) 4、零向量、单位向量概念: ① 叫零向量,记作 0. 0 的方向是任意的. 注意 0 与 0 的含义与书写区别. ② 叫单位向量. 。 。 。 。 a
A(起点) B (终点)

说明:零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. 5、平行向量定义: ① 叫平行向量; ②我们规定 0 与 平行.

说明:(1)综合①、②才是平行向量的完整定义;(2)向量a、b、c平行,记作a ∥b∥c. 6、 相等向量定义: 叫相等向量。

说明:(1)向量a与b相等,记作a=b;(2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有 .. 向线段的起点无关. ........ 7、共线向量与平行向量关系: 平行向量就是共线向量,这是因为 关). .. 说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系;(2)共线向 量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 三、理解和巩固: 例 1 书本 86 页例 1. 例 2 判断: (与有向线段的起点无 .........

(1)平行向量是否一定方向相同?

(2)不相等的向量是否一定不平行?

(3)与零向量相等的向量必定是什么向量?

(4)与任意向量都平行的向量是什么向量?

(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?

(6)两个非零向量相等的当且仅当什么?

(7)共线向量一定在同一直线上吗?

例 3 下列命题正确的是(

)?

A.a与b共线,b与c共线,则a与 c 也共线? B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形 的四顶点? C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量? D.有相同起点的两个非零向量不平行

例 4 如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别写出图中与向量 OA 、OB 、OC 相等的向量.

变式一:与向量长度相等的向量有多少个?

变式二:是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?

变式三:与向量共线的向量有哪些?

课堂练习: 1.判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.?

①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上;? ②单位向量都相等;? ③任一向量与它的相反向量不相等;? ④四边形 ABCD 是平行四边形当且仅当 AB = DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为 0;? ⑥共线的向量,若起点不同,则终点一定不同.

2.书本 88 页练习

课后练习与提高 1.下列各量中不是向量的是( ? A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 2.下列说法中错误的是( ) .. )

A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为 0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 3. 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是 ( ) A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 ? D.一个单位圆 4.已知非零向量 a // b ,若非零向量 c // a ,则 c 与 b 必定 .

5.已知 a 、 b 是两非零向量,且 a 与 b 不共线,若非零向量 c 与 a 共线,则 c 与 b 必 定 . 6.设在平面上给定了一个四边形 ABCD,点 K、L、M、N 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点, 则 | KL |? _______,KL ? ________

2.2.1

向量的加法运算及其几何意义
课前预习学案

预习目标: 通过复习提问回顾向量定义及有关概念; 利用问题情景提出向量加法运算、 给出实际背 景。 预习内容: 1、 复习:提问向量的定义以及有关概念。

强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研 究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提 下,移到任何位置 2、情景设置: (1)某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C, 则两次的位移和: 。 A B C

(2)若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C, 则两次的位移和: (3)某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C, 则两次的位移和: (4)船速为 AB ,水速为 BC ,则两速度和: 。 。 A B C 。 C A B C

A

B

3、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 学习目标

1、掌握向量的加法运算,并理解其几何意义; 2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结合 解决问题的能力; 3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和 结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法; 学习过程: 1、向量的加法: 2、三角形法则( “ 如图,已 a 在平面内任取 = a , BC = b 叫做 a 与b的 即 a + b 。 ; ,且| a + b | | a |+| b |; a b a A b a C a A + a b b b a+b b B a+b b, 则向量 AC 和, 记作 a+b, 一点 A , AB 作 ” ) a 知向量 a、b. 叫做向量的加法.

? AB ? BC ? AC ,规定:
探究: (1)两相向量的和仍是 (2)当向量 a 与 b 不共线时, a + b 的方向 (3)当 a 与 b 同向时,则 a + b 、 a 、 b 且| a + b | | a |+| b |, a 与 b 反向时, a |>| b |, 当 若| | a |-| b |;若 | b |-| a |. b a

O

则 a + b 的方向与 a 相同,且| a + b |

| a |<| b |,则 a + b 的方向与 b 相同,且| a +b|

B

(4) “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 n 个向量连加 3.例 1、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b

作法:

4.加法的交换律和平行四边形法则 问题:上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同?

从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应) 2)向量加法的交换律: 5.向量加法的结合律: 证:

6、应用举例: 例二(P94—95)

练习:P95

课后练习与提高

1、一艘船从 A 点出发以 2 3km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,船的实际航行的 速度的大小为 4km/ h ,求水流的速度. 2、一艘船距对岸 4 3km ,以 2 3km/ h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时, 船的实际航程为 8km,求河水的流速. 3、一艘船从 A 点出发以 v1 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 v 2 ,船 的实际航行的速度的大小为 4km/ h ,方向与水流间的夹角是 60? ,求 v1 和 v 2 . 4、一艘船以 5km/h 的速度在行驶,同时河水的流速为 2km/h,则船的实际航行速度大小 最大是 km/h,最小是 km/h

5、 已知两个力 F1,F2 的夹角是直角, 且已知它们的合力 F 与 F1 的夹角是 60 ? ,|F|=10N 求 F1 和 F2 的大小. 6、用向量加法证明:两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

参考答案:略

2.2.2

向量的减法运算及其几何意义
课前预习学案

预习目标: 复习回顾向量的加法法则及其运算律,为本节新授内容做好铺垫。 预习内容: 向量加法的法则: 向量加法的运算定律: 例:在四边形中,CB+BA+BC= . 解:CB+BA+BC=CB+BA+AD=CD . 。 。 D C

提出疑惑:向量有加法运算,那么它有减法吗?

A

B

课内探究学案

学习目标: 1、 了解相反向量的概念; 2、掌握向量的减法,会作两个向量的减向量,并理解其几何意义; 3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算,使学生理解事物之间可以相 互转化的辩证思想. 学习过程: 一、提出课题:向量的减法 1. 用“相反向量”定义向量的减法 (1) “ 义: (2) 相 反 向 量 ” 。 .-(-a) = a. .a + (-a) = 0 a+b=0 法 . 的 定 的 定

规定:零向量的相反向量仍是

任一向量与它的相反向量的和是

如果 a、b 互为相反向量,则 a = -b, b = -a, ( 义: 即: 3 ) 向 量 减

求两个向量差的运算叫做向量的减法.

2. 用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算: 若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 求作差向量:已知向量 a、b,求作向量 ∵(a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法:



注意:1? AB 表示 a -b.强调:差向量“箭头”指向 2? 用 “ 相 反 向 量 ” 定 义 法 作 差 向 量 , a -b = 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一.



3. 探究: 1)如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量,那么所得向量是 a O b a b O a?b A ?b ? B B O a?b A a?b B A B’ O B a?b A



2)若 a∥b, 如何作出 a - b 二、例题:

例 1、 (P97 例三)已知向量 a、b、c、d,求作向量 a-b、c-d.

例 2、平行四边形 ABCD 中, AB ? a, AD ? b, 用 a、b 表示向量 AC 、 DB .

变式一:当 a, b 满足什么条件时,a+b 与 a?b 垂直?(|a| = |b|)

变式二:当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a?b|?(a, b 互相垂直)

变式三:a+b 与 a?b 可能是相当向量吗?(不可能,∵

对角线方向不同)

课后练习与提高 1.在△ABC 中, BC =a, CA =b,则 AB 等于( A.a+b ? B.-a+(-b)? )? D.b-a ?

C.a-b ?

2.O 为平行四边形 ABCD 平面上的点,设 OA =a, OB =b, OC =c, OD =d,则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 ? C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0

3.如图,在四边形 ABCD 中,根据图示填空:? a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .?

4、如图所示,O 是四边形 ABCD 内任一点,试根据图中给出的向量,确定 a、b、c、 d 的方向(用箭头表示),使 a+b= AB , c-d= DC ,并画出 b-c 和 a+d.

参考答案: 1、D 2、D 3、f,e,f,0 4、略

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课前预习学案 预习目标: 通过对比物理中的一些向量与数量之间的运算关系,引入向量与数量之间的乘法运算, 同时也为该运算赋予其物理意义。 预习内容: 引入:位移、力、速度、加速度等都是向量,而时间、质量等都是数量,这些向量与数 量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系 F = m a ,位移与速度的关系

?

?

? ? s = v t 。这些公式都是实数与向量间的关系。
师: 我们已经学习了向量的加法, 请同学们作出 a + a + a 和 (- a) + (- a) + (- a) 向量,

?

?

?

?

?

?

并请同学们指出相加后,和的长度与方向有什么变化?这些变化与哪些因素有关? 生:

师:很好!本节课我们就来讨论实数与向量的乘积问题, (板书课题:实数与向量的乘 积) 课内探究学案 学习目标: 1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律,会利用实数与向量 的积的运算律进行有关的计算; 2.理解两个向量平行的充要条件,能根据条件判断两个向量是否平行; 3.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了 解事物运动变化的辩证思想。 学习过程: 1、探索研究 1)定义:请大家根据上述问题并作一下类比,看看怎样定义实数与向量的积?(可结 合教材思考) 可根据小学算术中 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 5 的解释,类比规定:实数 λ 与向量 a 的积就 是 λa ,它还是一个向量,但要对实数 λ 与向量 a 相乘的含义作一番解释才行。 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa . 它的长度和方向规定如下: (1) (2) 2)运算律: 问:求作向量 2(3a ) 和 6a( a 为非零向量)并进行比较,向量 2(a + b) 与向量 2a + 2b 相等吗?(引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较) 生: 师:设 a 、 b 为任意向量, λ 、 μ 为任意实数,则有: (1) ( λ + μ)a = λa + μa ; (2) λ( μa) = ( λμa) ; (3) λ(a + b) = λa + λb . . . .

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通常将(2)称为结合律, (3)称为分配律。 (1) 小练习 1: 计算: (1) (- 3) 4a ;

?

(2) 3(a + b) - 2(a - b) - a ;

?

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(3) (2a + 3b - c) - (3a - 2b + c) .

?

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3)向量平行的充要条件: 请同学们观察 a = m - n , b = - 2m + 2n ,回答 a 、 b 有何关系? 生: .

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?

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引导:若 a 、 b 是平行向量,能否得出 b = λa ?为什么?可得出 a = λb 吗?为什么? 生: .

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师:由此可得向量平行的充要条件:向量 b 与非零向量 a 平行的充要条件是有且仅有一 个实数 λ ,使得 b = λa . 对此定理的证明,是两层来说明的: 其一,若存在实数 λ ,使 b = λa ,则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知 λb 与 a 平 行,即 b 与 a 平行.

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? ? ? ? ? ? ? |b| 其二,若 b 与 a 平行,且不妨令 a ? 0 ,设 ? = μ (这是实数概念) .接下来看 a 、 b |a|
方向如何:① a 、 b 同向,则 b = μa ,②若 a 、 b 反向,则记 b = - μa ,总而言之,存在 实数 λ ( λ = μ 或 λ = - μ )使 b = λa . 小练习 2:如图:已知 AD = 3 AB , DE = 3BC ,试判断 AC 与 AE 是否平行. 解:∵ AE = AD + DE = 3 AB + 3BC = 3( AB + BC ) = 3 AC ∴ AE 与 AC 平行.

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4)单位向量: 单位向量:模为 1 的向量. 向量 a ( a ? 0 )的单位向量:与 a 同方向的单位向量,记作 a0 . 思考: a0 如何用 a 来表示?

?

?

?

?

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?? ?

?

2.例题与练习: 题 1:如图,在 ΔABC 中, D 是 AB 的中点, E 是 BC 延长线上的点,且 BE = 2 BC ,是根据下列要求表示向量
D

A

??? ? DE :
B

? ??? ??? ? ? ??? ??? ? (1) 用 BA 、 BC 表示; (2)用 CA 、 CB 表示.

C

E

题1

题 2:如图,在 ΔABC 中,已知 M 、 N 分别是 AB 、 AC 的中点,用向量方法证明:

1 MN // BC 2
A
C1

N M
C B B1

C B

O

题 2

A

题 3

A1

OB = kOB1 , = kOC1 , OC 题 3: 如图, 已知 OA = kOA1 , 求证: ΔABC ∽ ΔA1 B1C1

??? ?

???? ??? ?

???? ????

???? ?

练习: P145 1、2、3、4

3.课堂小结: (1) λ 与 a 的积还是向量, λa 与 a 是共线的; (2)向量平行的充要条件的内容和证明思路,也是应用该结论解决问题的思路。该结 论主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题; (3)运算律暗示我们,化简向量代数式就像计算多项式一样去合并同类项。 4.作业布置:

?

?

?

练习部分

P88-89 习题 3 A 组 2、3、4、5. P89 习题 3 B 组 2、3.

5.拓展思考题: 设 a 、 b 是两个不共线向量,已知 AB = 2a + mb , CB = a + 3b ,若 A 、 B 、 C 三点共线,求 m 的值。

?

?

??? ?

?

?

??? ?

?

?

2.3.1 平面向量的基本定理

课前预习学案 一、预习目标:通过回顾复习向量的线性运算,提出新的疑惑.为新授内容做好铺垫. 二、预习内容 (一)复习回顾 1.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a

?

? ?
;λ

? =0 时λ a =

(1)|λ a |=

?

; (2)λ >0 时λ a 与 a 方向

?

?

;λ <0 时λ a 与 a 方向

?

2.运算定律 结合律:λ (μ a )=

?

;分配律:(λ +μ) a =

?

, λ ( a + b )=

? ?

.

3. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是: 有且只有一个非零实数λ , 使 . (二)阅读教材,提出疑惑: 如何通过向量的线性运算来表示出平面内的任意向量?

?

?

课内探究学案 一、学习目标 1、知道平面向量基本定理; 2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步应用向量解决 实际问题; 3、能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表示. 学习重难点:

1. 教学重点:平面向量基本定理 2. 教学难点:平面向量基本定理的理解与应用 二、学习过程 (一)定理探究: 平面向量基本定理:

探究: (1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的 (2) 基底不惟一,关键是 ; ;

(3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解; (4) 基底给定时,分解形式 (二)例题讲解 例 1 已知向量 e1 , e 2 求作向量?2.5 e1 +3 e 2 . . 即λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e 2 唯一确定的数量

?

例 2、 如图

ABCD 的两条对角线交于点 M, AB = a ,AD = b , a ,b 表示 MA , 且 用

?

?

?

?

MB , MC 和 MD

例 3 已知

ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任意一点,求证:

OA + OB + OC + OD =4 OE

例 4(1)如图, OA , OB 不共线, AP =t AB (t?R)用 OA , OB 表示 OP .

OB (2) OA、 不共线, P 在 O、 B 所在的平面内, OP ? (1 ? t )OA ? tOB(t ? R) . 设 点 A、 且
求证:A、B、P 三点共线.

??? ?? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

例 5 已知 a=2e1-3e2,b= 2e1+3e2,其中 e1,e2 不共线,向量 c=2e1-9e2,问是否存在这 样的实数 ?、? , 使d ? ? a ? ? b 与 c 共线.

? ?

?

?

(三)反思总结

课后练习与提高 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1、e2 一定平行 B.e1、e2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知向量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

3.已知向量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于 ( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 .

4.已知 a、b 不共线,且 c =λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若 c 与 b 共线,则 λ1=

5.已知 λ1>0,λ2>0,e1、e2 是一组基底,且 a =λ1e1+λ2e2,则 a 与 e1_____,a 与 e2_________(填共线或不共线).

2.3.2 平面向量正交分解及坐标表示

课前预习学案 一、复习回顾: 平面向量基本定理:

理解:(1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的 (2) 基底不惟一,关键是 ;

;

(3) 由定理可将任一向量 a 在给出基底e1、e2的条件下进行分解;

(4) 基底给定时,分解形式 二、提出疑惑:

. 即λ 1,λ 2 是被 a , e1 , e 2 唯一确定的数量

?

如果在平面直角坐标系中选定一组互相垂直的向量作为基低,向量分解情况又会如何 呢?

课内探究学案 一、探究学习 1.平面向量的坐标表示 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i 、 j 作为 基底.任作一个向量 a ,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 1 a ? xi ? yj ????○ 我们把 ( x, y ) 叫做 2 a ? ( x, y) ????○ 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标,2 式叫做 ○ 等的向量的坐标也为 ( x, y ) . ......... 特别地,i= , j= , 0= . 与a相 . . ,记作

如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA ? a ,则点 A 的位置由 a 唯一确定. 设 OA ? xi ? yj , 则向量 OA 的坐标 ( x, y ) 就是点 A 的坐标; 反过来, A 的坐标 ( x, y ) 点 也就是向量 OA 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数 唯一表示. 2.平面向量的坐标运算 (1) 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) , 则 a ? b = . ,

a ?b=

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

设基底为 i 、 j ,则 a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2 i ? y 2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y 2 ) j 即 a ? b= ,同理可得 a ? b = .

(2) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ?x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.

AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)=
(3)若 a ? ( x, y) 和实数 ? ,则 ?a ? (?x, ?y) .

.

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 设基底为 i 、 j , ?a ? ? ( xi ? yj) ? ?xi ? ?yj , ?a ? (?x, ?y) 则 即 二、讲解范例: 例 1 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),求 AB 的坐标.

??? ?

例 2 已知 a =(2,1), b =(-3,4),求 a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐标.

?

?

? ?

? ?

?

?

例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求点 D 的坐 标使这四点构成平行四边形四个顶点.

例 4 已知三个力 F1 (3, 4), F2 (2, ?5), F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 , F3 求 的坐标.

三、课堂练习: 1.若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP ?

1 MN , 求 P 点的坐标 2

2.若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) , 则 AB ?2 BC =

.

3.已知:四点 A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) , 求证:四边形 ABCD 是梯形. 五、小结(略) 六、课后作业(略) 七、板书设计(略)

课后练习与提高 1、在平面直角坐标系中,已知点 A 时坐标为(2,3) ,点 B 的坐标为(6,5) ,则

?? ? ??? OA =_______________, OB =__________________。
2 、 已 知 向 量 | a |? 4 , 的 方 向 与 x 轴 的 正 方 向 的 夹 角 是 30 ° , 则 a 的 坐 标 为 _____________。 3、下列各组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是( A. a ? (0,0),b ? (1,?2) B. a ? (?1,2),b ? (5,7) )

?

?

?

?

?

?

b C. a ? (3,5) ? (6,10)

?

?

b D. a ? (2,?3) ? (4,?6)
4、已知向量 a ? (?2,4) b ? (1,?2)则 a 与 b 的关系是(

?

?

?

?

?

?



A.不共线 B.相等 C.同向 D.反向 5、已知点 A(2,2) B(-2,2) C(4,6) D(-5,6) E(-2,-2) F(-5, -6) 在平面直角坐标系中,分别作出向量 AC BD EF 并求向量 AC BD EF 的坐标。

??? ??? ??? ?

??? ??? ??? ?

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2.3.3 平面向量的坐标运算

课前预习学案 一、预习目标:通过预习会初步的进行向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运 算 二、预习内容: 1、知识回顾:平面向量坐标表示 2.平面向量的坐标运算法则: 若 a =(x1, y1) , b =(x2, y2)则 a + b =____________________,

?

?

?

?

? ? ? a - b =________________________,λ a =_____________________.
三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标: 1.能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则,并能进行相关运 算,进一步培养学生的运算能力; 2.通过学习向量的坐标表示,使学生进一步了解数形结合思想,认识事物之间的相联 系,培养学生辨证思维能力. 二、学习内容 1. 平面向量的坐标运算法则: 思考 1:设 i、j 是与 x 轴、y 轴同向的两个单位向量,若 a =(x1, y1) , b =(x2, y2),则

?

?

? ? ? ? ? ? ? a =x1i+y1j, b =x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量 a + b , a - b ,λ a (λ
∈R)如何分别用基底 i、j 表示?

思考 2:根据向量的坐标表示,向量 a + b , a - b ,λ a 的坐标分别如何?

?

?

?

?

?

思考 3:已知点 A(x1, y1),B(x2, y2),那么向量 AB 的坐标如何?

平面向量的坐标运算法则: (1)两向量和的坐标等于_______________________; (2)两向量差的坐标等于_______________________; (3)实数与向量积的坐标等于__________________________; 思考 4: 一个向量平移后坐标不变, 但起点坐标和终点坐标发生了变化, 这是否矛盾呢?

2.典型例题 例 1 :已知 a =(2,1), b =(-3,4),求

?

?

? ? ? ? ? ? a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐标.

例 2:已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A、B、C 的坐标分别为(-2,1)(-1,3)(3, 、 、 4) ,求顶点 D 的坐标。

三、反思总结 (1)引进向量的坐标后,向量的基本运算转化为实数的基本运算,可以解方程,可以解不等式, 总之问题转化为我们熟知的领域之中。 (2)要把点坐标与向量坐标区分开来,两者不是一个概念。 四、当堂检测 1.下列说法正确的有( )个 (1)向量的坐标即此向量终点的坐标 (2)位置不同的向量其坐标可能相同 (3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标 (4)相等的向量坐标一定相同 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知 A(-1,5)和向量 a =(2,3),若 AB =3 a ,则点 B 的坐标为__________。

?

?

A.(7,4)

B.(5,4)

C.(7,14)

D.(5,14)

???? 1 ??? ???? ??? ??? ? ? ? ? 1 ??? 3.已知点 A(1,1) , B(?1,5) 及 AC ? AB , AD ? 2 AB , AE ? ? AB ,求点 C 、 D 、 E 2 2
的坐标。

课后练习与提高

? ? ? ? 1.已知 a ? (3, 2) , b ? (0, ?1) ,则 ?2a ? 4b 等于(
A. ( ?6,?8) C. (6,8) 2.已知平面向量 a A. ( ?2,?4) C. ( ?5,?10) B. ( ?3,?6) D. (6,?8)



? (1,2) , b ? (m, n) ,且 2 a ? b ,则 2a ? 3b 等于(
B. ( ?3,?6) D. ( ?4,?8)



3 已知 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ka ? b 与 a ? kb 平行,则 k 等于( A. 1 4.已知 a B. -1 C.1 或-1 D.2

?

?

? ?

?

?

) .

? (5,2) , a ? (?7,?2) ,则 4a ? 3b 的坐标为____________.

?

?

5.已知:点 A(2,3) 、B(5,4) 、C(7,10) ,若 AP=AB+λ AC(λ ∈R) , 则λ 为_______时,点 P 在一、三象限角平分线上. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 . 已知 a ? (2, ?4) ,b ? (?1,3) , c ? (6,5) , p ? a ? 2b ? c ,则以 a ,b ?? 为基底,求 p .

2.3.4 平面向量共线的坐标表示
课前预习学案 一、预习目标:通过预习会初步利用两向量共线时坐标表示的充要条件进行预算. 二、预习内容: 1、知识回顾:平面向量共线定理________________________________________. 2.平面向量共线的坐标表示: 设 a =(x1, y1)

? ?

? ? ? ? b =(x2, y2)( b ? 0 ) 其中 b ? a ,

则 a ∥ b ( b ? 0 ) ? _____________________. 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

?

?

课内探究学案 一、学习目标: 1.会推导并熟记两向量共线时坐标表示的充要条件; 2.能利用两向量共线的坐标表示解决有关综合问题。 3.通过学习向量共线的坐标表示,使学生认识事物之间的相互联系,培养学生辨证思 维能力. 二、学习内容 1.思考:共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ 使得 b =λ a ,那么这个条件是否也 能用坐标来表示呢? 设 a =(x1, y1), b =(x2, y2)( b ? 0 ) 其中 b ? a

?

?

? ?

?

?

? ?

由 a =λ b ,得___________________,即__________________________,消去λ 后得: __________________________________.这就是说,当且仅当___________________时,向量

?

? ? a 与 b 共线.
2.典型例题 例 1 已知 a ? (4, 2) , b ? (6, y ) ,且 a // b ,求 y .

?

?

? ?

例 2: 已知 A(?1, ?1) , B(1,3) , C (2,5) ,求证 A 、 B 、 C 三点共线.

例 3:设点 P 是线段 P1P2 上的一点, P1、P2 的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2). (1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标.

三、反思总结 1.平面向量共线充要条件的两种表达形式是什么? 2.如何用平面向量共线的充要条件的坐标形式证明三点共线和两直线平行? 3.判断两直线平行与两向量平行有什么异同?

四、当堂检测 1.已知 AB = a +5 b , BC =-2 a +8 b , CD =3( a - b ) ,则( A. C. A、B、D 三点共线 B、C、D 三点共线 B D. .A、B、C 三点共线 A、C、D 三点共线

?

?

?

?

?

?



2.若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,则 x 为________. 3.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) , ? ? (0, 2? ) ,且 a // b ,求角 ? .

?

?

?

3 2

?

1 3

? ?

课后练习与提高

1.若 a =(2,3), b =(4,-1+y),且 a ∥ b ,则 y=( A.6 B.5 C.7 D.8

?

?

?

?



2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3

)?

3.若 AB =i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中 i、j 的方向分别与 x、y 轴正方向相同且为单位 向量). AB 与 DC 共线,则 x、y 的值可能分别为( A.1,2 B.2,2 C.3,2 ) D.2,4 .

4.已知 a =(4,2), b =(6,y),且 a ∥ b ,则 y=

?
?

?
?

?
?

?

5.已知 a =(1,2), b =(x,1),若 a +2 b 与 2 a - b 平行,则 x 的值为 6.已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 AB 与 CD 平行吗?直线 AB 与平行于直线 CD 吗?

?

? ?

2.4.1 平面向量的数量积的物理背景及其含义
课前预习学案 一、预习目标: 预习平面向量的数量积及其几何意义;平面向量数量积的重要性质及运算律; 二、预习内容: 1.平面向量数量积(内积)的定义:

2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

3. “投影”的概念:作图 4.向量的数量积的几何意义: 5.两个向量的数量积的性质: 设 a 、 b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? e? b = b e =

2?

a ?b ?a ? b =

设 a 、 b 为两个非零向量,e 是 a 与同向的单位向量. e? a = a ?e =

a 3? 当 a 与 b 同向时, ? b =
| a |2 或 | a |?

a 当 a 与 b 反向时, ? b =

特别的 a ? a =

a?a

4? cos? = 5? | a ? b | ≤ | a || b |

三、提出疑惑: 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1 说出平面向量的数量积及其几何意义; 2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题; 学习重难点: 。平面向量的数量积及其几何意义 二、学习过程

创设问题情景,引出新课 1、提出问题 1:请同学们回顾一下,我们已经研究了向量的哪些运算?这些运算的结 果是什么?

2、提出问题 2:请同学们继续回忆,我们是怎么引入向量的加法运算的?我们又是按 照怎样的顺序研究了这种运算的?

3、新课引入:本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算:平面向 量数量积的物理背景及其含义 探究一: 数量积的概念 1、给出有关材料并提出问题 3: (1)如图所示,一物体在力 F 的作用下产生位移 S, 那么力 F 所做的功:W= (2)这个公式的有什么特点?请完成下列填空: ①W(功)是 ②F(力)是 ③S(位移)是 ④α 是 量, 量, 量, 。 α S F

(3)你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? 2、明晰数量积的定义 (1)数量积的定义: 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,我们把数量 ︱ a ︱?︱ b ︱cos ? 叫做

a 与 b 的数量积(或内积) ,记作: a ? b ,即: a ? b = ︱ a ︱?︱ b ︱cos ?
(2)定义说明: ①记法“ a ? b ”中间的“? ”不可以省略,也不可以用“ ? ”代替。 ② “规定” :零向量与任何向量的数量积为零。 (3)提出问题 4:向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同?影响数量积大小 的因素有哪些?

(4)学生讨论,并完成下表:

? 的范围
a ? b 的符号

0°≤ ? <90°

? =90°

0°< ? ≤180°

例 1 :已知| a |=3,| b |=6,当① a ∥ b ,② a ⊥ b ,③ a 与 b 的夹角 是 60°时,分别求 a ? b . 解:

变式: . 对于两个非零向量 a 、 b ,求使| a +t b |最小时的 t 值,并求此时 b 与 a +t b 的夹角.

探究二:研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念: 如图,我们把│ b │cos ? (│ a │cos ? ) 叫做向量 b 在 a 方向上( a 在 b 方向上)的投影, 记做:OB1=︱│ b │︱cos ? 2.提出问题 5:数量积的几何意义是什么?

3. 研究数量积的物理意义 请同学们用一句话来概括功的数学本质:

探究三:探究数量积的运算性质 1、提出问题 6:比较︱ a ? b ︱与︱ a ︱?︱ b ︱的大小,你有什么结论?

2、明晰:数量积的性质

设 a 和 b 都是非零向量,则 1、 a ⊥ b
a · b =0

2、当 a 与 b 同向时,︱ a · b ︱=︱ a ︱︱ b ︱;当 a 与 b 反向时, ︱ a · b ︱= -︱ a ︱︱ b ︱, 特别地, a · a =︱ a ︱2 或︱ a ︱= a ? a 3、︱ a · b ︱≤︱ a ︱×︱ b ︱
3.数量积的运算律 (1) 提出问题 7: 、 我们学过了实数乘法的哪些运算律?这些运算律对向量是否也用?

(2) 、明晰:数量积的运算律:

已知向量 a 、 b 、 c 和实数λ,则: (1) a · b = b · a (2) (λ a ) b =λ( a · b )= a · · (λ b )

(3) a + b ) c = a · c + b · c ( ·
例 2、 (师 生共同 完成)已 知︱ a ︱ =6, ︱ b ︱ =4, a 与 b 的 夹角 为 60° , 求 ( a +2 b )( a -3 b ) ? ,并思考此运算过程类似于实数哪种运算? 解:
2 2 2 变式: (1)( a + b ) = a +2 a ? b + b

(2)( a + b )?( a - b )= a — b

2

2

(三)反思总结 (四)当堂检测

1 .已知| a |=5, | b |=4, a 与 b 的夹角 θ=120o,求 a · . b

2. 已知| a |=6, | b |=4, a 与 b 的夹角为 60o 求( a +2 b )·a -3 b ) ( . 3 .已知| a |=3, | b |=4, 且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量 a +k b 与 a -k b 互相垂直.

4.已知| a |=3,| b |=6,当① a ∥ b ,② a ⊥ b ,③ a 与 b 的夹角是 60° 时,分

b 别求 a · .

b 5.已知| a |=1,| b |= 2 ,(1)若 a ∥ b ,求 a · ;(2)若 a 、 b 的夹角为60° ,求| a + b |;
(3)若 a - b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角.

6.设 m、n 是两个单位向量,其夹角为60°,求向量 a =2m+n 与 b =2n-3m 的夹角.

课后练习与提高 1.已知| a |=1,| b |= 2 ,且( a - b )与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( A.60° B.30° C.135° D.45° )

2.已知| a |=2,| b |=1, a 与 b 之间的夹角为

? ,那么向量 m= a -4 b 的模为( 3
D.12 )



A.2

B.2 3

C.6

3.已知 a 、 b 是非零向量,则| a |=| b |是( a + b )与( a - b )垂直的(

A.充分但不必要条件 C.充要条件 4.已知向量 a 、 b 的夹角为

B.必要但不充分条件? D.既不充分也不必要条件

? ,| a |=2,| b |=1,则| a + b |·a - b |= | 3

.

5.已知 a + b =2i-8j, a - b =-8i+16j,其中 i、j 是直角坐标系中 x 轴、y 轴正方向上的单位

b 向量,那么 a · =

.


6.已知 a ⊥ b 、 与 a 、b 的夹角均为 60° 且| a |=1, b |=2, c , | |c|=3, a +2 b -c) =______. 则(

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课前预习学案 一、预习目标: 预习平面向量数量积的坐标表达式, 会进行数量积的运算。 了解向量的模、 夹角等公式。 二、预习内容: 1.平面向量数量积(内积)的坐标表示 2.引入向量的数量积的坐标表示,我们得到下面一些重要结论: (1)向量模的坐标表示: 能表示单位向量的模吗? (2)平面上两点间的距离公式:

向量 a 的起点和终点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2) AB=
(3)两向量的夹角公式 cos? = 3. 向量垂直的判定(坐标表示)

4.向量平行的判定(坐标表示)

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 学会用平面向量数量积的坐标表达式,会进行数量积的运算。掌握两个向量共线、垂直 的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题. 学习重难点:平面向量数量积及运算规律.平面向量数量积的应用 二、学习过程 (一)创设问题情景,引出新课 a 与 b 的数量积 的定义?⑵向量的运算有几种?应怎样计算?

(二)合作探究,精讲点拨 探究一:已知两个非零向量 a=(x1,x2),b=(x2,y2),怎样用 a 与 b 的坐标表示数量积 a?b 呢? 2 2 a?b=(x1,y1)?(x2,y2)=(x1i+y1j)?(x2i+y2j)=x1x2i +x1y2i?j+x2y1i?j+y1y2j =x1x2+y1y2

教师:巡视辅导学生,解决遇到的困难,估计学生对正交单位基向量 i,j 的运算可能有 2 2 困难,点拨学生:i =1,j =1,i?j=0 探究二:探索发现向量的模的坐标表达式

若 a=(x,y),如何计算向量的模|a|呢?

若 A(x1,x2),B(x2,y2),如何计算向量 AB 的模两点 A、B 间的距离呢?

例 1、 如图, 以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB, 使?B = 90?, 求点 B 和向量 AB 的坐标.

b 变式:已知 a+b=2i-8j,a ? b= ? 8i+16 j,则a ?

? ?

? ?? ?

?

?

? ?

探究三:向量夹角、垂直、坐标表示 设 a,b 都是非零向量, 1,y1),b(x2,y2),如何判定 a⊥b 或计算 a 与 b 的夹角<a,b>呢? a=(x

1、向量夹角的坐标表示

2、a⊥b<=>

<=>x1x2+y1y2=0

3、a∥b <=>X1y2-x2y1=0

例 2 在△ABC 中, AB =(2, 3), AC =(1, k), 且△ABC 的一个内角为直角, k 值. 求

, 变式:已知, a ? (1,2),b ? (?3,2) 当 k 为何值时, (1) ka ? b与a ? 3b 垂直?
(2) ka ? b与a ? 3b 平行吗?平行时它们是同向还是反向?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

?

(三)反思总结

(四)当堂检测 1.已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( A.60° )

B.30°

C.135°

D.45° )

2.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为

? ,那么向量 m=a-4b 的模为( 3
D.12

A.2

B.2 3

C.6

3、a=(5,-7),b=(-6,-4),求 a 与 b 的 数量积

4、设 a=(2,1),b=(1,3),求 a?b 及 a 与 b 的夹角

5、已知向量 a=(-2,-1),b=(λ ,1)若 a 与 b 的夹角为钝角,则λ 取值范围是多少?

课后练习与提高

? ? ?2 ? ? 1.已知 a ? (?4,3), b ? (5, 6) 则 3 a ? 4a ? b= (
A.23 B.57 C.63 D.83



2.已知 a ? 3,4 ? ,b= ? ?5,12 ? 则 a与 b 夹角的余弦为( A.

?

?

? ??



13 63 B. 65 C. D. 13 65 ? ? ? ? 5 ? ? 3. a= ? 2,3? ,b=( ? 2,4), 则 a+b ? a-b = __________。 ? ? ? ? 3 4.已知 a= ? 2,1? ,b= ? ?,? 且a ? b 则 ?=__________。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2a ? 3b ? a+2b = _______ 5. a=( ? 4,7);b=(5,2) 则 a ? b= _______ a =_____

?

?? ?

?

??

?

6.与 a= ? 3,4 ? 垂直的单位向量是__________

?

4 3 4 3 4 3 4 3 C.( , )或(- ,) ? B.(? ? ) 5, 5 5 5 5 5 5 5 4 3 4 3 ( D. , )或(- ,- ) 5 5 5 5 ? ? ? 7. a=(2,3),b=(-3,5) 则 a在 b 方向上的投影为_________
( A. , )
8.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以 ? ABC 为( A.直角三角形 C.钝角三角形 B.锐角三角形 D.不等边三角形 ) )

9.已知 A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形 ABCD 为( A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形

10.已知点 A(1,2) ,B(4,-1),问在 y 轴上找点 C,使∠ABC=90?若不能,说明理由; 若能,求 C 坐标。

2.5 平面向量应用举例
课前预习学案

一、预习目标 预习《平面向量应用举例》 ,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,建立 实际问题与向量的联系。 二、预习内容 阅读课本内容,整理例题,结合向量的运算,解决实际的几何问题、物理问题。另外, 在思考一下几个问题: 1. 例 1 如果不用向量的方法,还有其他证明方法吗? 2. 利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么? 3. 例 3 中,⑴ ? 为何值时,|F1|最小,最小值是多少? ⑵|F1|能等于|G|吗?为什么? 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习内容 1.运用向量的有关知识 (向量加减法与向量数量积的运算法则等) 解决平面几何和解析 几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题. 2.运用向量的有关知识解决简单的物理问题. 二、学习过程 ? ? ? ? ? ? 探究一: (1)向量运算与几何中的结论"若 a ? b ,则 | a |?| b | ,且 a, b 所在直线平行 或重合"相类比,你有什么体会? (2)举出几个具有线性运算的几何实例.

例 1.证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 已知:平行四边形 ABCD. 求证: AC ? BD ? AB ? BC ? CD ? DA .
2 2 2 2 2 2

试用几何方法解决这个问题

设 AB ? a, AC ? b. (1)证明 A、O、E 三点共线; (2)用 a, b. 表示向量 AO 。

??? ?

利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”? (1) 建立平面几何与向量的联系, (2) 通过向量运算,研究几何元素之间的关系, (3) 把运算结果“翻译”成几何关系。 变式训练: ?ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,BF 与 CD 交于点 O,

? ????

?

? ?

????

例 2,如图,平行四边形 ABCD 中,点 E、F 分别是 AD、DC 边的 中点,BE、BF 分别与 AC 交于 R、T 两点,你能发现 AR、RT、TC 之 间的关系吗?

探究二:两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越 小越省力. 这些力的问题是怎么回事?

例 3.在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹 角越大越费力;在单杠上作引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从 数学的角度解释这种现象吗?

请同学们结合刚才这个问题,思考下面的问题: ⑴ ? 为何值时,|F1|最小,最小值是多少? ⑵|F1|能等于|G|吗?为什么?

例 4 如图,一条河的两岸平行,河的宽度 d ? 500 m, 一艘船从 A 处出发到河对岸.已知船的速度|v1|=10km/h, 水流的速度|v2|=2km/h,问行驶航程最短时,所用的时间是 多少(精确到 0.1min)?

变式训练:两个粒子 A、B 从同一源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为

sA ? (4,3), sB ? (2,10) , (1)写出此时粒子 B 相对粒子 A 的位移 s; (2)计算 s 在 s A 方向上
的投影。

三、反思总结 结合图形特点,选定正交基底,用坐标表示向量进行运算解决几何问题,体现几何问题 代数化的特点, 数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。 向量作为桥梁工具使得运算简练标致, 又体现了数学的美。有关长方形、正方形、直角三角形等平行、垂直等问题常用此法。 本节主要研究了用向量知识解决平面几何问题和物理问题; 掌握向量法和坐标法, 以及 用向量解决实际问题的步骤。 四、当堂检测 1.已知 ?ABC中,a ? 2, b ? 3, C ? 60 ,求边长 c。
0

2.在平行四边形 ABCD 中,已知 AD=1,AB=2,对角线 BD=2,求对角线 AC 的长。

3. 在 平 面 上 的 三 个 力 F1 , F2 , F3 作 用 于 一 点 且 处 于 平 衡 状 态 ,

F1 ? 1N , F2 ?
的大小。

6? 2 N , F1与F2 的夹角为 45 o ,求: (1) F3 的大小; (2) F1 与 F3 夹角 2

课后练习与提高 一、选择题 1.给出下面四个结论: ① 若线段 AC=AB+BC,则向量 AC ? AB ? BC ; ② 若向量 AC ? AB ? BC ,则线段 AC=AB+BC; ③ 若向量 AB 与 BC 共线,则线段 AC=AB+BC; ④ 若向量 AB

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

与 BC 反向共线,则 AB ? BC ? AB ? BC . ) C.2 个 D.3 个

??? ?

其中正确的结论有 ( A. 0 个 B.1 个 2.河水的流速为 2 m

m s ,一艘小船想以垂直于河岸方向 10 s 的速度驶向对岸,则小
) C. 4 6 m D.12 m

船的静止速度大小为 ( A.10 m

s

B. 2 26 m

s

s

s


3.在 ?ABC 中,若 (CA ? CB) ? (CA ? CB) =0,则 ?ABC 为 ( A.正三角形 二、填空题 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定

4.已知 ?ABC 两边的向量 AB ? e1 , AC ? e2 ,则 BC 边上的中线向量 AM 用 e1 、e 2 表 示为 5.已知 OP ? OP2 ? OP3 ? 0 OP ? OP2 ? OP3 ? 1 ,则 OP 、 OP2 、 OP3 两两夹角 , 1 1 1



3.1.1 两角差的余弦公式

课前预习学案 一、预习目标 预习 《两角差的余弦公式》 体会两角差的余弦公式的推导过程 , , 尤其是向量法的运用。 二、预习内容 阅读课本相关内容, 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式, 进一步体会向量方 法作用,并回答以下问题: 1. 如何用任意角 ?,? 的正弦余弦值来表示 cos(? ? ? ) ;

2. 如何求出 cos15 的值;

0

3. 会求 sin 75 的值吗?

0

三、提出疑惑 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习内容 通过公式的简单应用, 使学生初步理解公式的结构及其功能, 并为建立其他和差公式打 好基础。 二、学习过程 探究一: (1)能不能不用计算器求值 : cos 45
0 0 0 0

0

, cos30

0

, cos15

0

(2) cos(45 ? 30 ) ? cos 45 ? cos30 是否成立?

探究二:两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法: 问:①怎样作出角 ? 、 ? 、 ? ? ? 的终边。 ②怎样作出角 ? ? ? 的余弦线 OM ③怎样利用几何直观寻找 OM 的表示式。

2.向量法: 问:①结合图形,明确应选哪几个向量,它们怎么表示? ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 ③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理,从而得到合理的科学结论。

例题整理 例1. 利用差角余弦公式求 cos15 的值
0

变式训练:利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式: (1) cos(

?
2

? ? ) ? sin ? ;

(2) cos(2? ? ? ) ? cos ?

例2.已知sinα=

4 π 5 ,α ? ( ,π),cosβ= ,β第三象限角,求cos(? ? ?)的值 5 2 13

变式训练:已知 sin ? ?

15 ? ,? 是第二象限角,求 cos ? ? )的值 。 ( 17 3

三、反思总结 本 节 主 要 考 察 如 何 用 任 意 角 ?,? 的 正 弦 余 弦 值 来 表 示 cos(? ? ? ) , 回 顾 公 式

C ? ? ?) 的推导过程,观察公式的特征,注意符号区别以及公式中角 ? , ? 的任意性,特 (
别要注意公式既可正用、逆用,还可变用(即要活用).在求值的过程中,还要注意掌握“变 角”和“拆角”的思想方法解决问题. 四、当堂检测 1.利用两角和(差)的余弦公式,求 cos 75 ,cos105
0 0

2.求值

cos 750 cos300 ? sin 750 sin 300

3.化简 cos(?

? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ?

1 5 4.已知?,? 为锐角, ? ? , (? ? ?) cos sin ? 3 ,求cos? 7 14

课后练习与提高

一、选择题 1. cos50 cos 20 ? sin 50 sin 20 的值为
0 0 0 0





A.

1 2

B.
0

1 3

C.

3 2


D.

3 3

2. cos(?15 ) 的值为



A.

2? 6 B. 4

6? 2 C. 4

6? 2 6? 2 D ? . 4 4


3.已知 cos ? ?

12 ? ? ?? , ? ? ? 0, ? ,则 cos(? ? ) 的值等于( 13 4 ? 2?

A.

5 2 13

B.

17 2 C. 26

7 2 26

D.

7 2 13

二、填空题 4.化简 cos(? ? 30 ) cos ? ? sin(? ? 30 )sin ? =
0 0

5.若 a ? cos 60 ,sin 60
0

?

?

0

? , b ? (cos15 ,sin15 ) ,则 a ? b =
0 0

?

? ?

三、解答题、 6.已知 sin ? ? ?

2 ? 3? ,? ? ? ? , 3 2 ?

3 ? ? ?? ? cos ? ? , ? ? ? 0, ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 4 ? ? 2?

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
课前预习学案 一、预习目标 1.理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,初步运用公式求一些角的三角函数 值; 2.经历两角和与差的三角公式的探究过程, 提高发现问题、 分析问题、 解决问题的能力; 二、预习内容 1、在一般情况下 sin(α +β )≠sinα +sinβ ,cos(α +β )≠cosα +cosβ .

3 ? ? sin ? ? , 则sin(? ? ) ? _________; 若? 是第四象限角,则sin(? ? ) ? _________ . 5 4 4 tan? ? 2,?是第三象限角,求tan(? ? ) ? __________ . _ 6

?

注意角的变换及公式的灵活运用,如? ? (? ? ? ) ? ? ;2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ),
2、 ? ? ?

2

? (? ?

? ? ) ? ( ? ? )等。 2 2
2 , tan(? ? ? ) ? 5
C、

已知 tan(? ? ? ) ?

1 ? ,那么 tan(? ? )的值为( 4 5

)

A、-

3 18

B、

3 18

13 12

D、

3 22

3.在运用公式解题时,既要注意公式的正用,也要注意公式的反用和变式运用.如公式 tan(α ±β )=

tan? ? tan ? 可变形为:tanα ±tanβ =tan(α ±β )(1 ? tanα tanβ ); 1 ? tan? tan ?

±tanα tanβ =1-

tan? ? tan ? , tan(? ? ? )

tan 20 ? ? tan 40 ? ? 3 tan 20 ? tan 40 ? ? __________ . _
4、又如:asinα +bcosα = a ? b
2 2

(sinα cosφ +cosα sinφ )=

a 2 ? b 2 sin(α +

φ ),其中 tanφ =

b 等,有时能收到事半功倍之效. a
sin ? ? cos? ? __________ . _

sin ? ? cos? ? __________ ;
3 cos x ? sin x =_____________.

三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标 1. 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式,以及两角和与差的正弦、正切公式, 了解公式间的内在联系。 2.能应用公式解决比较简单的有关应用的问题。 学习重难点: 1. 教学重点:两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用; 2. 教学难点:两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 二、学习过程

(一)复习式导入:大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式:

动手完成两角和与差正弦和正切公式.

观察认识两角和与差正弦公式的特征,并思考两角和与差正切公式.

通过什么途径可以把上面的式子化成只含有 tan ? 、 tan ? 的形式呢?(分式分子、分 母同时除以 cos ? cos ? ,得到 tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

注意: ? ? ? ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z )

以上我们得到两角和的正切公式,我们能否推倒出两角差的正切公式呢?

tan ?? ? ? ? ? tan ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
注意: ? ? ? ? (二)例题讲解

1 ? tan ? tan ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? ? ?

?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k? , ? ?

?
2

? k? (k ? z ) .

例 1、已知 sin ? ? ? , ? 是第四象限角,求 sin ? 值.

3 5

?? ?? ? ?? ? ? ? ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? ? 的 4? ?4 ? ?4 ? ?

例 2、利用和(差)角公式计算下列各式的值:

ss ss 7 4 74 2 2 (1) n c c n 、 i2o o i2

?

?

?

?

?

s s ss 2 7 27 00 ; (2) c c n n 、 o o i0i0

?

?

?

?

?

; (3) 、

1 ? tan15? . 1 ? tan15?

例 3、化简 2 cos x ? 6 sin x

(三)反思总结

(四)当堂检测

1、 7? cos37? ? sin 83? sin 37?的值为 ( sin
(A) ?

)

3 2

(B) ?

1 2

(C)

1 2
)

(D)

3 2

1 ? tan 2 75? 2、 的值为 ( tan 75?
(A) 2 3

(B)

2 3 3 2 3 3

?C ? ? 2

3

(D) ?

3、 sin 2 x sin 3x ? cos 2 x cos3x, 则x的值是 ( 若
(A) (C)

)

?
? 5
10

? 6 ? (D) 4
(B)

1 ?? ? 3? ? ? 4、 cos? ? ,? ? ? ,2? ?, 则 sin?? ? ? ? ________. 若 5 3? ? 2 ? ?
3 ? tan15? 5、 ? _________ . 1 ? 3 tan15?

6、 ?? ? ? ?cos ? ? sin?? ? ? ?sin ? ? _________ cos .
参考答案 1、 ?

1 2

2、C

3、A

4、

?2 6 ? 3 10

5、1

6、 cos?

课后练习与提高 1. 已知 tan ?? ? ? ? ?

2 ?? 1 ?? ? ? , tan ? ? ? ? ? , 求 tan ? ? ? ? 的值. ) ( 5 4? 4 4? ? ?

2. 若 ? , ?均为锐角,且sin ? ? sin ? ? ? 3、函数 y ? cos

?
2

1 1 , cos? ? cos ? ? , 则 tan(? ? ? ) ? . 2 2

x ? cos ? ( x ? 1) 的最小正周期是___________________.
2

4、? 为第二象限角,sin ? ?

3 5 , ?为第一象限角, ? ? .求 tan(2? ? ?)的值。 cos 5 13

5.已知 sin(? ? 求 tan

?
2

)?

4 ? 12 ? ? , cos( ? ? ) ? ? , 且? ? 为第二象限角, ? ?为第三象限角, 5 2 13 2 2

???
2

.

3.1.3

二倍角的正弦、余弦和正切公式
课前预习学案

一、预习目标 复习回顾两角和正弦、余弦和正切公式,为推到二倍角的正弦、余弦和正切公式做好铺 垫。 二、预习内容 请大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式: ; ; 。 三、提出疑惑 我们由此能否得到 sin 2? ,cos 2? , tan 2? 的公式呢? (学生自己动手, 把上述公式中 ? 看成 ? 即可) 。 课内探究学案 一、公式推导:

sin 2? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 2sin ? cos ? ;

cos 2? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ;
思 考 :把 上述 关于 cos 2? 的 式子 能 否变 成只 含有 sin ? 或 cos? 形式 的 式子 呢?

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2sin 2 ? ;
cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? (1 ? cos 2 ? ) ? 2cos 2 ? ? 1 .

tan 2? ? tan ?? ? ? ? ?
注意: 2? ?

tan ? ? tan ? 2 tan ? . ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan 2 ?

?
2

? k? ,? ?

?
2

? k?

?k ? z?

二、例题讲解

例 1、已知 sin 2? ?

5 ? ? , ? ? ? , 求 sin 4? ,cos 4? , tan 4? 的值. 13 4 2

例2、已知 tan 2? ?

1 , 求 tan ? 的值. 3

三、课堂练习 1.sin22?30’cos22?30’=__________________;

? ? 1 ? _________________; 8 ? 2 ? 3. sin ? cos2 ? ____________________; 8 8
2. 2 cos
2

4. 8 sin 5. (sin

? ? ? ? cos cos cos ? __________________. 48 48 24 12

5? 5? 5? 5? ? cos )(sin ? cos ) ? __________________; 12 12 12 12 ? ? 4 6. cos ? sin 4 ? ____________________; 2 2 1 1 7. ? ? ___________________; 1 ? tan ? 1 ? tan ?
8. 1 ? 2 cos ? ? cos 2? ? ______________________.
2

课后练习与提高 1、已知 180°<2α <270°,化简 2 ? cos 2? ? sin ? =(
2



A、-3cosα 2、已知 ? ? (

B、 3 cosα

C、- 3 cosα

D、 3 sinα - 3 cosα )

5? ,3? ) ,化简 1? sin ? + 1? sin ? = ( 2

A、-2cos

? 2

B、2cos

3、已知 sin

4 ? 3 ? = ,cos =- ,则角 ? 是 5 2 5 2

? 2

C、-2sin

? 2

D、2sin (

? 2


A、第一象限角

B、第二象限角 C、第三象限角

D、第四象限角

4、若 tan ? = 3,求 sin2? ? cos2? 的值。

5、已知 sin ? ?

5 ? , ? ? ( , ?) ,求 sin2?,cos2?,tan2?的值。 13 2

6、已知 sin(

?

? 1 ? ? ? ) sin( ? ? ) ? , ? ? ( , ? ), 求 sin 4? 的值。 4 4 6 2

7、已知 tan(? ?

?
2

)?

1 ? 1 , tan(? ? ) ? ? ,求 tan(? ? ? ) 的值。 2 2 3

3.2 简单的三角恒等变换(导学案)
课前预习学案 一、预习目标:回顾复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式,预习简单 的三角恒等变换。 二、预习内容: 1、回顾复习以下公式并填空: Cos(α +β )= Cos(α -β )= sin(α +β )= sin(α -β )= tan(α +β )= tan(α -β )= sin2α = tan2α = cos2α = 2、阅看课本 P139---141 例 1、2、3。 三、提出疑惑: 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案 一、学习目标:会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明,会推导半角公式, 积化和差、和差化积公式(公式不要求记忆) ,进一步提高运用转化、换元、方程等数学思 想解决问题的能力。 学习重点:以已有公式为依据,以推导半角公式,积化和差、和差化积公式作为基本训 练,学习三角变换的内容、思路和方法,体会三角变换的特点,提高推理、运算能力。 学习难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提 高从整体上把握变换过程的能力。 二、学习过程: 探究一:半角公式的推导(例 1) 请同学们阅看例 1,思考以下问题,并进行小组讨论。 1、2α 与α 有什么关系?α 与α /2 有什么关系?进一步体会二倍角公式和半角公式的 应用。 2、半角公式中的符号如何确定? 3、二倍角公式和半角公式有什么联系? 4、代数变换与三角变换有什么不同?

探究二:半角公式的推导(例 2) 请同学们阅看例 2,思考以下问题,并进行小组讨论。

1、 两角和与差的正弦、 余弦公式两边有什么特点?它们与例 2 在结构形式上有什么联 系? 2、在例 2 证明过程中,如果不用(1)的结果,如何证明(2)? 3、在例 2 证明过程中,体现了什么数学思想方法? 探究三:三角函数式的变换(例 3) 请同学们阅看例 1,思考以下问题,并进行小组讨论。 1、例 3 的过程中应用了哪些公式? 2 、 如 何 将 形 如 y=asinx+bcosx 的 函 数 转 化 为 形如 y=Asin( ω x+ φ )的 函 数 ? 并 求 y=asinx+bcosx 的周期,最大值和最小值.

三、反思、总结、归纳: sinα /2= sinα cosβ = cosα cosβ = sinθ +sinφ = cosθ +cosφ = cosα /2= cosα sinβ = sinα sinβ = sinθ -sinφ = cosθ -cosφ = tanα /2=

四、当堂检测: 课本 p143 习题 3.2 A 组 1、 (7)2、 (3) (1)B 组 2

课后练习与提高 一、选择题:
1 1.已知 cos(α+β)cos(α-β)= ,则 cos2α-sin2β 的值为( ) 3

A.-

2 3

B.-

1 3

C.

1 3

D.

2 3

C 2.在△ABC 中,若 sinAsinB=cos2 2 ,则△ABC 是( )

A.等边三角形 C.不等边三角形

B.等腰三角形 D.直角三角形

3.sinα+sinβ=

3 (cosβ-cosα) ,且 α∈(0,π) ,β∈(0,π) ,则 α-β 等于( ) 3

A.-

2π 3

B.-

π 3

C.

π 3

D.

2π 3

二、填空题 4.sin20° cos70° +sin10° sin50° =_________. 5.已知 α-β= 三、解答题
5 sin x 1 2 ,x∈(0,π) 6.已知 f(x)=- + . 2 2 sin x 2

2π 1 ,且 cosα+cosβ= ,则 cos(α+β)等于_________. 3 3

(1)将 f(x)表示成 cosx 的多项式; (2)求 f(x)的最小值.



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