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安徽省安庆一中2015-2016学年高二数学新课标人教A版必修二同步课件2.3.4平面与平面垂直的性质_图文

2.3.4 平面与平面垂直的性质

墙角线与地面有何位置关系?

迷宫的所有面都是与地面垂直的,每个拐角 所在直线与地面什么关系?

1.理解平面与平面垂直的性质定理.(重点) 2.能运用性质定理解决一些简单问题.(难点) 3.了解垂直关系间的相互转化关系.

思考1 黑板所在的平面与地面所在的平面垂直, 你能否在黑板上画出一条直线与地面垂直?

思考2 如图,在长方体中,α⊥β,

(1)α里的直线都和β垂直吗?

不一定

(2)什么情况下α里的直线和β垂直? 与AD垂直

F
A1

D1
α

C1 B1

D
E
A

β

C

B

思考3 ? ? ? ,? ? ? CD, AB ? ? ,

AB ? CD,

垂足为B,那么直线AB与平面β 的位置关系如何?

为什么?

垂直 Eβ

D

α

B

A

C

证明:在平面 β内作BE⊥CD,
垂足为B.

则∠ABE就是二面角α- CD -β

的平面角.
因为 ? ?,?所以AB⊥BE.

又由题意知AB⊥CD,

且BE CD=B,

α

所以AB⊥? .

Eβ D

B

A

C

平面与平面垂直的性质定理

两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线

与另一个平面垂直.

符号表示:

α ⊥β ?

α∩β = CD AB ? α

? ????

AB ⊥β

AB ⊥ CD ? ?
AB∩CD = B??

?

A

C?

BD

【提升总结】
?
关键点:①线在平面内.
②线垂直于交线. C?

A BD

作用: ①它能判定线面垂直.

② 它能在一个平面内作与这个平面垂

直的垂线.

面面垂直

线面垂直

(线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线)

思考交流
如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB 上任取一
点 E,作 EF⊥A1B1 于 F,则 EF 与平面 A1B1C1D1 的关系是( D )

A.平行 C.相交但不垂直

B.EF?平面 A1B1C1D1 D.垂直

【解析】选D.因为平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1, EF?平面ABB1A1,平面ABB1A1∩平面A1B1C1D1=A1B EF⊥A1B1,所以EF⊥平面A1B1C1D1.

? 思考4 设平面 ⊥平面 ,点P在平面 内,过 ??
点P作平面 ? 的垂线a,直线a与平面 ? 具有什么
位置关系?
直线a在平面 ?内

α

α

aP
β

a P
β

结论 两个平面垂直,则过某个平面内一点垂直于另一个 平面的直线在该平面内.

思考5 已知平面α ⊥β ,α ∩β = AB,直线a ∥α , a ⊥ AB,试判断直线a与β 的位置关系. 垂直
α
bB a l
β A

例 如图,已知平面?,?,? ? ?,直线a满足a ? ?, a ? ?,试判断直线a与平面?的位置关系.
分析:寻找平面α 内与a平行的直线.

α

b

a

l

β

A

解:在α内作垂直于 ?与交?

线的直线b,

因为 ? ? ?所,以 b ? ?,

因为 a ? ?,

所以a∥b.

又因为 a ??,

β

所以a∥α .

即直线a与平面α 平行.

α

b

a

l

A

结论:垂直于同一平面(β)的直线(l)和平面(α)平行
( a ?)?.

变式训练
已知平面α ,β ,γ ,满足α ⊥γ ,β ⊥γ ,α∩β = l, 求证:l ⊥γ .
分析:作出图形.

(证法一)
l aα
βb

(证法二)
l α
β

n γm

an γ mb A

α∩γ证=法n,β1∩:γ设= m,

在α内作直线a ⊥n

l

在β内作直线b⊥m ? a⊥γ ? 同理b⊥γ??

βb



n γm

? b//a?

?a ?bα//α???

b ?b α?β ????

α∩β=

l

? ?

? b //l ?

b⊥γ

? ?

?

l

⊥γ.

α∩β=

l

? ?

α∩γ证= 法n,β2∩:γ设= m,

在γ内任取一点A(不在m,n上),

l

α

在γ内过A点作直线 a ⊥n,

β

在γ内过A点作直线 b⊥m,

an

γ mb A

α⊥γ ?

?

α∩γ=

n

? ?

a⊥n ??

a ??
l ??

a?l 同理 b ? l ? l ? ? .

a b?A

?

结论 如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那 么这两个平面的交线垂直于这个平面.

如图:

l α

β γ

判断线面垂直的两种方法: ①线线垂直→线面垂直; ②面面垂直→线面垂直.

1.设两个平面互相垂直,则( B )
A.一个平面内的任何一条直线垂直于另一个平面 B.过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一 平面上 C.过交线上一点垂直于交线的直线,必垂直于 另一个平面 D.分别在两个平面内的两条直线互相垂直

2.下列命题中,正确的是( C ) A.过平面外一点,可作无数条直线和这个平面垂直 B.若a,b异面,过a一定可作一个平面与b垂直 C.过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直 D.a,b异面,过不在a,b上的点M,一定可以作一个平面 和a,b都垂直.

3.(2012·浙江高考) 设 l 是直线,α ,β 是两个不同的平面,则
下列说法正确的是 ( B )
A. 若 l ∥α , l ∥β ,则α ∥β B. 若 l ∥α , l ⊥β ,则α ⊥β C. 若α ⊥β , l ⊥α ,则 l ⊥β D. 若α ⊥β , l ∥α ,则 l ⊥β

【解析】利用排除法可得选项 B 是正确的,因为 l ∥α, l ⊥ β,则α⊥β.如选项 A:l ∥α,l ∥β时,α∥β或α与β 相交;选项 C:若α⊥β, l ⊥α,则 l ∥β或 l ? ? ;选项 D: 若α⊥β, l ∥α,则 l ∥β或 l 与β相交或 l 在β内.

4.如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC, 求证:BC⊥平面PAB.
P

A

C

B

证明:过点A作AE⊥PB,垂足为E,

因为平面PAB⊥平面PBC, P

平面PAB∩平面PBC=PB,

所以AE⊥平面PBC.

因为BC?平面PBC,所以AE⊥BCA.

C

因为PA⊥平面ABC,B?C 平面ABC,

所以PA⊥BC,又因为PA∩AE=A,

B

故BC⊥平面PAB.

5.如图所示,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧面 SDC⊥底面 ABCD, 求证:平面 SCD⊥平面 SBC.
【分析】转化为证明BC⊥平面SCD.

【证明】因为底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD. 又平面SDC⊥平面ABCD, 平面SDC∩平面ABCD=CD,BC?平面ABCD, 所以BC⊥平面SCD. 又因为BC?平面SBC, 所以平面SCD⊥平面SBC.

线线垂直



B

αa

线面垂直

面面垂直

线线平行 面面平行



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