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福建省福州八中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)


福建省福州八中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)为了解 72 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 8 的样本, 则分段的间隔为() A.9 B. 8 C.10 D.7 2. (5 分)掷一枚均匀的硬币两次,事件 M:一次正面朝上,一次反面朝上;事件 N:至少一 次正面朝上,则下列结果正确的是() A.P(M)= ,P(N)= (N)= D. B.P(M)= ,P(N)= C. P(M)= ,P P(M)= ,P(N)=

3. (5 分)已知 x,y 的取值如表所示,若 y 与 x 线性相关,且 =0.85x+a,则 a=() x0 1 3 4 y2.43.95.66.1 A.2.2 B.2.6
5

C.2.8
4

D.2.9

4. (5 分)用秦九韶算法求多项式 f(x)=4x ﹣3x +6x﹣9,当 x=﹣3 时的值时,需要乘法运 算和加法运算的次数分别为() A.4,2 B.5,3 C.5,5 D.5,4 5. (5 分)双曲线方程为 x ﹣3y =1,则它的右焦点坐标为() A.(0,2) B. ( ,0) C. ( ,0) D.( ,0)
2 2

6. (5 分)准线为 x=2 的抛物线的标准方程是() 2 2 2 A.y =﹣4x B.y =﹣8x C.y =4x

D.y =8x

2

7. (5 分)甲:A1、A2 是互斥事件;乙:A1、A2 是对立事件,那么() A.甲是乙的充分但不必要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

8. (5 分)如图给出的是计算

的值的一个程序框图,其中判断框中应填入的

是() A.i>100 B.i≤100 C.i>50 D.i≤50

9. (5 分)直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆 圆的离心率为() A. B. C.

的一个焦点和一个顶点,则该椭

D.

10. (5 分)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小 组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为() A. B. C. D.

二、填空题: (共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11. (4 分)执行如图程序,当输入 39,24 时,输出的结果是.

12. (4 分)已知 F1、F2 为椭圆 C: 则|PF1|?|PF2|=.

=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,∠F1PF2=60°,

13. (4 分)若 2014(5)化为六进制数为 abcd(6) ,则 a+b+c+d=.

14. (4 分)为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师,调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数,结果用 茎叶图表示(如图所示) ,据此可估计该校上学期 200 名教师中,使用多媒体辅助教学的次数 在[15,25)内的人数为.

三、解答题: (共 3 小题,共 34 分) 2 15. (10 分)已知条件 p:函数 y=lg(﹣x +8x+20)的定义域;条件 q:{x|1﹣m≤x≤1+m,m >0},若¬p 是¬q 充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 16. (12 分)某校从 2014-2015 学年高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本,将他们的 期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六组:[40,50) ,[50, 60) ,[90,100)后得到如图的频率分布直方图.

(Ⅰ)求图中实数 a 的值; (Ⅱ)若该校 2014-2015 学年高一年级共有学生 500 人,试估计该校 2014-2015 学年高一年级 在考试中成绩不低于 60 分的人数; (Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生, 试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.

17. (12 分) 椭圆 C:

=1 (a>b>0) 的两个焦点 F1、 F2, 点 P 在椭圆 C 上, 且 PF1⊥F1F2,

|PF1|= ,|PF2|=



(1)求椭圆 C 的方程; 2 2 (2)若直线 l 过圆(x+2) +(y﹣1) =5 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程.

一、选择题: (共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 18. (5 分)下列命题错误的是() 2 2 A.命题“?x∈R 使得 x +x+1<0”的否定是:“?x∈R 均有 x +x+1≥0” B. 若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 C. 若 a,b∈[0,1],则不等式 a +b <
2 2

成立的概率是 <0”

D.“平面向量 与 的夹角是钝角”的必要不充分条件是“
x x

19. (5 分)已知命题 p:“对?x∈R,?m∈R,使 4 +m?2 +1=0”.若命题?p 是假命题,则实数 m 的取值范围是() A.﹣2≤m≤2 B.m≥2 C.m≤﹣2 D.m≤﹣2 或 m≥2

二、填空题: (共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分) 20. (4 分)如图,已知|AB|=10,图中的一系列圆是圆心分别为 A、B 的两组同心圆,每组同 心圆的半径分别是 1,2,3,…,n,….利用这两组同心圆可以画出以 A、B 为焦点的椭圆或 双曲线.若其中经过点 M、N 的椭圆的离心率分别是 eM,eN,经过点 P,Q 的双曲线的离心 率分别是 eP,eQ,则它们的大小关系是(用“<”连接) .

21. (4 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)与抛物线 y =8x 有一个公共的焦点 F,且两

2

曲线的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线方程为.

三、解答题: (共 3 小题,共 32 分) 2 22. (10 分)已知命题 p:关于 x 的不等式 x +2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立;命题 q:函数 f x (x)=﹣(5﹣2a) 是减函数,若 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

23. (10 分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的 小球 1 个,标号为 2 的小球 n 个,已知从袋子随机抽取 1 个小球,取到标号为 2 的小球的概 率是 . (Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)从袋子中不放回地随机抽取 2 个球,记第一次取出的小球标号为 a,第二次取出的小球 标号为 b. ①记“a+b=2”为事件 A,求事件 A 的概率; 2 2 2 ②在区间[0,2]内任取 2 个实数 x,y,求事件“x +y >(a﹣b) 恒成立”的概率. 24. (12 分)已知焦点在 y 轴,顶点在原点的抛物线 C1 经过点 P(2,2) ,以 C1 上一点 C2 为 圆心的圆过定点 A(0,1) ,记 M、N 为圆 C2 与 x 轴的两个交点. (1)求抛物线 C1 的方程; (2)当圆心 C2 在抛物线上运动时,试判断|MN|是否为一定值?请证明你的结论.

福建省福州八中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. (5 分)为了解 72 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 8 的样本, 则分段的间隔为() A.9 B. 8 C.10 D.7 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样的定义,即可得到结论. 解答: 解:从 72 人,从中抽取容量为 8 的样本,则分段的间隔为 72÷8=9, 故选:A 点评: 本题主要考查系统抽样的应用,比较基础. 2. (5 分)掷一枚均匀的硬币两次,事件 M:一次正面朝上,一次反面朝上;事件 N:至少一 次正面朝上,则下列结果正确的是() A.P(M)= ,P(N)= (N)= D. B.P(M)= ,P(N)= C. P(M)= ,P P(M)= ,P(N)=

考点: 古典概型及其概率计算公式.

专题: 计算题. 分析: 分别列举出满足条件的所有的事件总数,再列出事件 M 的所有的基本事件,和事件 N 的所有基本事件,分别代入古典概型公式即可得到答案. 解答: 解:记掷一枚均匀的硬币两次,所得的结果为事件 I,则 I={(正,正) 、 (正,反) 、 (反,正) 、 (反,反)}, 则事件 M:一次正面朝上,一次反面朝上; ∴M={(正,反) 、 (反,正)}, 事件 N:至少一次正面朝上, ∴N={(正,正) 、 (正,反) 、 (反,正)}, ∴P(M)= ,P(N)= . 故选 D 点评: 本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式,其中根列举出基本事件总数,及 事件 M,N 的基本事件个数,是解答本题的关键. 3. (5 分)已知 x,y 的取值如表所示,若 y 与 x 线性相关,且 =0.85x+a,则 a=() x0 1 3 4 y2.43.95.66.1 A.2.2 B.2.6 C.2.8 D.2.9

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 求出样本中心,代入回归直线方程,即可求出 a. 解答: 解:由题意可知 = =2, = =4.5.

因为回归直线方程经过样本中心,所以 4.5=0.85×2+a,解得 a=2.8. 故选:C. 点评: 本题考查回归直线方程的应用,基本知识的考查. 4. (5 分)用秦九韶算法求多项式 f(x)=4x ﹣3x +6x﹣9,当 x=﹣3 时的值时,需要乘法运 算和加法运算的次数分别为() A.4,2 B.5,3 C.5,5 D.5,4 考点: 秦九韶算法. 专题: 计算题;算法和程序框图. 分析: 由秦九韶算法可得 f(x)=( ( ( (4x﹣3)x)x)x+6)x﹣9,即可得出. 解答: 解:f(x)=( ( ( (4x﹣3)x)x)x+6)x﹣9, ∴当 x=﹣3 时的值时,需要进行的乘法运算和加法运算的次数分别为 5,3. 故选:B. 点评: 本题考查了秦九韶算法的应用,属于基础题. 5. (5 分)双曲线方程为 x ﹣3y =1,则它的右焦点坐标为()
2 2 5 4

A.(0,2)

B. (

,0)

C. (

,0)

D.(

,0)

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据双曲线的几何性质,求解即可. 解答: 解:∵双曲线方程为 x ﹣3y =1, ∴a =1,b = , ∵c =b +a = , ∴它的右焦点坐标为( ,0) ,
2 2 2 2 2 2 2

故选:C 点评: 本题考查了双曲线的几何性质,属于简单题目. 6. (5 分)准线为 x=2 的抛物线的标准方程是() A.y =﹣4x 考点: 专题: 分析: 解答: ∴﹣ =2 p=﹣4 2 ∴抛物线方程为 y =﹣8x 故选 B 点评: 本题主要考查了抛物线的标准方程.属基础题. 7. (5 分)甲:A1、A2 是互斥事件;乙:A1、A2 是对立事件,那么() A.甲是乙的充分但不必要条件 B. 甲是乙的必要但不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;互斥事件与对立事件. 分析: 明确互斥事件与对立事件的定义,以及它们的区别和联系. 解答: 解:两个事件是对立事件,则它们一定互斥,反之不成立.甲推不出乙;但是乙能 推出甲. 因而 A、C、D 都是不正确的. 故选 B 点评: 互斥事件和对立事件的区别与联系,充要条件的判定.
2

B.y =﹣8x

2

C.y =4x

2

D.y =8x

2

抛物线的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 根据准线方程求得 p,则抛物线方程可得. 解:∵准线方程为 x=2

8. (5 分)如图给出的是计算

的值的一个程序框图,其中判断框中应填入的

是() A.i>100 B.i≤100 C.i>50 D.i≤50

考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据程序框图,模拟运行,依次计算 S 和 i 的值,直到输出 S= 此时的 i 不满足判断框中的条件,即可得到答案. 解答: 解:程序运行过程中,各变量值如下表所示: 第一圈:S=0+ ,i=4, 第二圈:S= + ,i=6, 第三圈:S= + + ,i=8,… 依此类推,第 50 圈:S= ,i=102, ,

退出循环, 其中判断框内应填入的条件是:i≤100, 故选:B 点评: 本题考查了程序框图,主要是根据运行的结果,求解判断框中的条件,解题的关键 是根据程序框图中的运算,按顺序求解,判断 I 的成立条件和不成立条件.属于基础题.

9. (5 分)直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆 圆的离心率为() A. B. C.

的一个焦点和一个顶点,则该椭

D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题.

分析: 直线 x﹣2y+2=0 与坐标轴的交点为(﹣2,0) , (0,1) ,依题意得 . 解答: 直线 x﹣2y+2=0 与坐标轴的交点为(﹣2,0) , (0,1) , 直线 x﹣2y+2=0 经过椭圆 的一个焦点和一个顶点;





故选 A. 点评: 本题考查了椭圆的基本性质,只需根据已知条件求出 a,b,c 即可,属于基础题型. 10. (5 分)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小 组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是 3×3 种结果,满足条件的事件是这 两位同学参加同一个兴趣小组有 3 种结果,根据古典概型概率公式得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件数是 3×3=9 种结果, 满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组, 由于共有三个小组,则有 3 种结果, 根据古典概型概率公式得到 P= ,

故选 A. 点评: 本题考查古典概型概率公式,是一个基础题,题目使用列举法来得到试验发生包含 的事件数和满足条件的事件数,出现这种问题一定是一个必得分题目. 二、填空题: (共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 11. (4 分)执行如图程序,当输入 39,24 时,输出的结果是 15.

考点: 伪代码. 专题: 算法和程序框图.

分析: 执行程序,写出每次循环得到的 c,a,b 的值,当 b=9 时满足条件 b<10,退出循环, 输出 a 的值为 15. 解答: 解:执行程序,有 a=39,b=24, c=15,a=24,b=15; c=9,a=15,b=9; 满足条件 b<10,退出循环,输出 a 的值为 15. 故答案为:15. 点评: 本题主要考察了程序和算法,属于基础题.

12. (4 分)已知 F1、F2 为椭圆 C: 则|PF1|?|PF2|= .

=1 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,∠F1PF2=60°,

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用余弦定理及椭圆的定义,解方程求|PF1|?|PF2|的值. 解答: 解:∵椭圆方程为 =1,

∴a=2,b=1,c= . 设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=4①, 2 2 2 2 由余弦定理得,12=m +n ﹣2mncos60°=m +n ﹣mn②, ① ﹣②,可得|PF1|?|PF2|=mn= , 故答案为: . 点评: 本题主要考查椭圆定义、几何性质、余弦定理,考查转化的数学思想,查考生的综 合运用能力及运算能力. 13. (4 分)若 2014(5)化为六进制数为 abcd(6) ,则 a+b+c+d=4. 考点: 进位制. 专题: 计算题. 分析: 先将 2014(5)转化为“十进制”数,再转化为 6 进制数是 1111(6) ,从而可求. 3 2 1 解答: 解:五进制”数为 2014(5)转化为“十进制”数为:2×5 +0×5 +1×5 +4=259. 将十进制数 259 转化为 6 进制数: 259÷6=43…1 43÷6=7…1, 7÷6=1…1, 1÷6=0…1, ∴将十进制 259 化为 6 进制数是 1111(6) , 则 a+b+c+d=4, 故答案为:4.
2

点评: 本题考查进位制,本题解题的关键是理解进位制之间的转化原则,注意数字的运算 不要出错,本题是一个基础题. 14. (4 分)为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师,调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数,结果用 茎叶图表示(如图所示) ,据此可估计该校上学期 200 名教师中,使用多媒体辅助教学的次数 在[15,25)内的人数为 80.

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 利用茎叶图的性质求解. 解答: 解:由茎叶图知, 从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师中, 使用多媒体辅助教学的次数在[15,25)内的人数为 8 人, 由此估算估计该校上学期 200 名教师中, 使用多媒体辅助教学的次数在[15,25)内的人数为 80 人. 故答案为:80. 点评: 本题考查满足条件的教师人数的估计,是基础题,解题时要注意茎叶图的合理运用. 三、解答题: (共 3 小题,共 34 分) 15. (10 分)已知条件 p:函数 y=lg(﹣x +8x+20)的定义域;条件 q:{x|1﹣m≤x≤1+m,m >0},若¬p 是¬q 充分不必要条件,求实数 m 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 求出函数的定义域,得到 p,转化命题的否定命题,利用充分不必要条件列出关系式 即可求解 m 的范围. 2 解答: 解:由﹣x +8x+20>0 可得 p:A={﹣2<x<10} 因为若¬p 是¬q 充分不必要条件,所以 q 是 p 的充分不必要条件 由于 q:B={x|1﹣m≤x≤1+m,m>0}
2

所以 B?A,由

解得 0<m<3. 点评: 本题考查充要条件以及命题真假的应用,考查基本知识的应用以及转化思想.

16. (12 分)某校从 2014-2015 学年高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为样本,将他们的 期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分成六组:[40,50) ,[50, 60) ,[90,100)后得到如图的频率分布直方图.

(Ⅰ)求图中实数 a 的值; (Ⅱ)若该校 2014-2015 学年高一年级共有学生 500 人,试估计该校 2014-2015 学年高一年级 在考试中成绩不低于 60 分的人数; (Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生, 试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率. 考点: 频率分布直方图;古典概型及其概率计算公式. 专题: 图表型;概率与统计. 分析: (I)根据频率=小矩形的高×组距,利用数据的频率之和为 1 求得 a 值; (II)由频率分布直方图求得数学成绩不低于 60 分的概率,利用频数=样本容量×频率计算; (III) 用列举法写出从第一组和第六组 6 名学生中选两名学生的所有结果, 从中找出数学成绩 之差的绝对值不大于 10 的结果,利用个数之比求概率. 解答: 解: (Ⅰ)根据数据的频率之和为 1,得 0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1, ∴a=0.03;

(Ⅱ)数学成绩不低于 60 分的概率为:0.2+0.3+0.25+0.1=0.85, ∴数学成绩不低于 60 分的人数为 500×0.85=425 人 (Ⅲ)数学成绩在[40,50)的学生人数:40×0.005×10=2 人, 数学成绩在[50,60)的学生人数:40×0.01×10=4 人, 设数学成绩在[40,50)的学生为 A,B;

数学成绩在[90,100)的学生为 a,b,c,d; 从 6 名学生中选两名学生的结果有:{A,B},{A,a},{A,b},{A,c},{A,d},{B,a}, {B,b},{B,c},{B,d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}.共 15 种; 其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的情况有:{A,B},{a,b},{a,c},{a, d},{b,c},{b,d},{c,d}共 7 种; ∴抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率为 .

点评: 本题主要是考查了直方图以及古典概型概率的计算,在频率分布直方图中频率=小矩 形的面积=小矩形的高×组距,用列举法写出所有基本事件是求古典概型概率的常用方法. .

17. (12 分) 椭圆 C:

=1 (a>b>0) 的两个焦点 F1、 F2, 点 P 在椭圆 C 上, 且 PF1⊥F1F2,

|PF1|= ,|PF2|=



(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过圆(x+2) +(y﹣1) =5 的圆心 M 交椭圆于 A、B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程.
2 2

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由椭圆的定义,可得 2a=6,a=3,再由勾股定理,即可得到 c,再由 a,b,c 的关系,解得 b,进而得到椭圆方程; (2)设出直线 l 的方程,联立椭圆方程,消去 y,得到 x 的方程,由中点坐标公式,即可得 到 k,检验判别式,即可得到直线方程. 解答: 解: (1)由于|PF1|+|PF2|=2a= 由 PF1⊥F1F2,则|PF2| ﹣|PF1| =|F1F2| =( 即有 2c=2 ,则 c=
2 2 2 2 2 2

=6,则 a=3, ) ﹣( ) =20,
2 2

,b =a ﹣c =9﹣5=4,即 b=2. =1;

故椭圆 C 方程为:

(2)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) , 2 2 由圆的方程(x+2) +(y﹣1) =5,可知圆心 M 为(﹣2,1) , 可设直线 l 的方程为:y=k(x+2)+1,代入椭圆 C 的方程,可得, 2 2 2 2 (4+9k )x +(36k +18k)x+36k +36k﹣27=0,

由于 A,B 关于点 M 对称,则
2 2 2 2

=﹣2,解得 k= ,

代入判别式△ =(36k +18k) ﹣4(4+9k ) (36k +36k﹣27)>0,则成立. 所以直线 l 的方程为 y= (x+2)+1,即 8x﹣9y+25=0. 点评: 本题考查椭圆的定义吧、方程和性质,考查联立直线方程和椭圆方程,消去未知数, 运用韦达定理,以及中点坐标公式,注意不要忘记判别式的检验,属于中档题和易错题. 一、选择题: (共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分) 18. (5 分)下列命题错误的是() A.命题“?x∈R 使得 x +x+1<0”的否定是:“?x∈R 均有 x +x+1≥0” B. 若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 C. 若 a,b∈[0,1],则不等式 a +b <
2 2 2 2

成立的概率是 <0”

D.“平面向量 与 的夹角是钝角”的必要不充分条件是“

考点: 复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据复合命题 p∧q 的真假与 p,q 真假关系选出答案. 解答: 解:∵当 p、q 中有一个是假命题则 p∧q 为假命题; 当 p、q 中两个都是真命题时则为真命题; ∴若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题是错误的. 故选 B. 点评: 本题考查复合命题的真假与构成其简单命题真假的关系,属于一道基础题. 19. (5 分)已知命题 p:“对?x∈R,?m∈R,使 4 +m?2 +1=0”.若命题?p 是假命题,则实数 m 的取值范围是() A.﹣2≤m≤2 B.m≥2 C.m≤﹣2 D.m≤﹣2 或 m≥2 考点: 专题: 分析: 解答:
x x x

命题的否定;全称命题;命题的真假判断与应用. 计算题. 命题 p 是真命题,利用分离 m 结合基本不等式求解. 解:由已知,命题?p 是假命题,则命题 p 是真命题,
x

由 4 +m?2 +1=0 得 m=﹣

≤﹣

=﹣2,当且仅当 x=0 是取等号.

所以 m 的取值范围是 m≤﹣2 故选 C 点评: 本题考查复合命题真假的关系,参数取值范围,考查转化、逻辑推理、计算能力. 二、填空题: (共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分)

20. (4 分)如图,已知|AB|=10,图中的一系列圆是圆心分别为 A、B 的两组同心圆,每组同 心圆的半径分别是 1,2,3,…,n,….利用这两组同心圆可以画出以 A、B 为焦点的椭圆或 双曲线.若其中经过点 M、N 的椭圆的离心率分别是 eM,eN,经过点 P,Q 的双曲线的离心 率分别是 eP,eQ,则它们的大小关系是 eM<eN<eQ<eP(用“<”连接) .

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 首先根据椭圆和双曲线的定义得出 c=5,然后数格子,得出 2a=2,进而求出各自的 离心率,然后进行比较. 解答: 解:由题意可知:所有的双曲线的焦距一定为|AB|=10, 即 2c=10,∴c=5, 各点的对应表: (指经过该点的圆的半径) 以 A 为圆心的圆的半径 以 B 为圆心的圆的半径 M 3 10 N 5 7 P 7 3 Q 3 8 由椭圆的第一定义得到: 对过 M 点的椭圆:|PA|+|PB|=2a=3+10=13,∴a= ,eM= ;

对过 N 点的椭圆:|PA|+|PB|=2a=5+7=12,∴a=6,eN= ; 由双曲线的第一定义得到: 对过 P 点的双曲线:||PA|﹣|PB||=2a=|7﹣3|=4,∴a=2, = ;

对过 Q 点的双曲线:||PA|﹣|PB||=2a=|3﹣8|=5,∴a= ,eQ= =2. ∴eM<eN<eQ<eP; 故答案为:eM<eN<eQ<eP. 点评: 本题考查了椭圆和双曲线的定义以及简单性质, 根据格子确定 a 的值, 和真正懂得双 曲线的定义,是解题的关键,属于基础题.

21. (4 分)已知双曲线



=1(a>0,b>0)与抛物线 y =8x 有一个公共的焦点 F,且两

2

曲线的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线方程为 x ﹣

2

=1.

考点: 双曲线的简单性质;抛物线的简单性质;双曲线的标准方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)与抛物线 y =8x 有一个公共的焦点 F,可得双
2

曲线的右焦点坐标为 F(2, 0) ,双曲线的左焦点坐标为 F′(﹣2,0) ,利用|PF|=5,可求 P 的坐标,从而可求双曲线方程. 2 解答: 解:抛物线 y =8x 的焦点坐标为(2,0) ,准线方程为直线 x=﹣2 ∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)与抛物线 y =8x 有一个公共的焦点 F
2

∴双曲线的右焦点坐标为 F(2,0) , ∴双曲线的左焦点坐标为 F′(﹣2,0) ∵|PF|=5 ∴点 P 的横坐标为 3 代入抛物线 y =8x, 不妨设 P(3,2 ) ∴根据双曲线的定义,|PF'|﹣|PF|=2a 得出 ∴a=1, ∵c=2 ∴b= ∴双曲线方程为 x ﹣
2 2

=2a

=1

故答案为:x ﹣

2

=1

点评: 本题重点考查双曲线的标准方程,考查抛物线的定义,有一定的综合性. 三、解答题: (共 3 小题,共 32 分) 2 22. (10 分)已知命题 p:关于 x 的不等式 x +2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立;命题 q:函数 f x (x)=﹣(5﹣2a) 是减函数,若 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑.

分析: 由关于 x 的不等式 x +2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立可得△ =4a ﹣16<0 可得 P;由函 x 数 f(x)=﹣(5﹣2a) 是减函数可得 5﹣2a>1 可得 q,若命题“p 且 q”为假命题,“p 或 q”为 真命题,则 p,q 中一个为真,一个为假,分情况求解 a 2 2 解答: 解:由关于 x 的不等式 x +2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立可得△ =4a ﹣16<0, ∴P:﹣2<a<2 x 由函数 f(x)=﹣(5﹣2a) 是减函数可得 5﹣2a>1, 则 a<2 q:a<2. 若命题“p 且 q”为假命题,“p 或 q”为真命题,则 p,q 中一个为真,一个为假 ①若 p 真 q 假,则 ,此时 a 不存在

2

2

②若 P 假 q 真,则

?a≤﹣2

故答案为: (﹣∞,﹣2]. 点评: 本题主要考查了 p 或 q 复合命题的真假的应用,解题的关键是利用二次函数的性质 及指数函数的单调性准确求出命题 p,q 为真时 a 的范围. 23. (10 分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的 小球 1 个,标号为 2 的小球 n 个,已知从袋子随机抽取 1 个小球,取到标号为 2 的小球的概 率是 . (Ⅰ)求 n 的值; (Ⅱ)从袋子中不放回地随机抽取 2 个球,记第一次取出的小球标号为 a,第二次取出的小球 标号为 b. ①记“a+b=2”为事件 A,求事件 A 的概率; 2 2 2 ②在区间[0,2]内任取 2 个实数 x,y,求事件“x +y >(a﹣b) 恒成立”的概率. 考点: 几何概型;古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题. 分析: (1)根据从袋子随机抽取 1 个小球,取到标号为 2 的小球的概率是 ,可求 n 的值; (2)①从袋子中不放回地随机抽取 2 个球,共有基本事件 12 个,其中“a+b=2”为事件 A 的基 本事件有 4 个,故可求概率; 2 2 2 2 2 ②记“x +y >(a﹣b) 恒成立”为事件 B,则事件 B 等价于“x +y >4 恒成立, (x,y)可以 看成平面中的点,确定全部结果所构成的区域,事件 B 构成的区域,即可求得结论. 解答: 解: (1)由题意,根据从袋子随机抽取 1 个小球,取到标号为 2 的小球的概率是 , 可得 ∴n=2 (2)①从袋子中不放回地随机抽取 2 个球,共有基本事件 12 个,其中“a+b=2”为事件 A 的基 本事件有 4 个

∴ ②记“x +y >(a﹣b) 恒成立”为事件 B,则事件 B 等价于“x +y >4 恒成立, (x,y)可以 看成平面中的点,则全部结果所构成的区域为 Ω={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2,x,y∈R},而事件 2 2 B 构成的区域 B={(x,y)|x +y >4, (x,y)∈Ω} ∴ 点评: 本题考查等可能事件的概率,考查几何概型,解题的关键是确定其测度,属于中档 题. 24. (12 分)已知焦点在 y 轴,顶点在原点的抛物线 C1 经过点 P(2,2) ,以 C1 上一点 C2 为 圆心的圆过定点 A(0,1) ,记 M、N 为圆 C2 与 x 轴的两个交点. (1)求抛物线 C1 的方程; (2)当圆心 C2 在抛物线上运动时,试判断|MN|是否为一定值?请证明你的结论. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)设出抛物线方程,代入 P,即可求出抛物线的方程; (2)表示出圆被 x 轴截得的弦长,利用圆心在抛物线上,即可得出结论 2 解答: 解: (1)由已知,设抛物线方程为 x =2py,则 代入 P(2,2) ,可得 p=1, 2 ∴抛物线 C1 的方程为 x =2y; (2)设圆的圆心 M(a,b) ,则圆的半径为 ∴圆被 x 轴截得的弦长为|MN|=2
2 2 2 2 2 2

, =2 ,

=2

∵a =2b, ∴|MN|=2; ∴|MN|是一定值. 点评: 本题考查了待定系数法是求圆锥曲线的常用方法,弦长公式的运用,属于难题.



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