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2010年天津市中考数学试题和答案


2010 年天津市初中毕业生学业考试试卷





本试卷分为第Ⅰ卷(选择题) 、第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷第 1 页至第 3 页, 第Ⅱ卷第 4 页至第 8 页。试卷满分 120 分。考试时间 100 分钟。 答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡” 上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时,务必将答案涂写在“答题卡”上,答案答在 试卷上无效。考试结束后,将本试卷和“答题卡”一并交回。 祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷(选择题
注意事项:

共 30 分)

每题选出答案后,用 2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号的信息点。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1) sin 30? 的值等于( (A) ) (B)
2 2

1 2

(C)

3 2

(D)1 )

(2)下列图形中,既可以看作是轴对称图形,又可以看作是中心对称图形的为(

(A)

(B)

(C)

(D)

(3)上海世博会是我国第一次举办的综合类世界博览会.据统计自 2010 年 5 月 1 日开 幕至 5 月 31 日,累计参观人数约为 8 030 000 人,将 8 030 000 用科学记数法表示 应为( ) (B) 80.3 ? 105 (C) 8.03 ? 106 (D) 0.803 ? 107

(A) 803 ? 104

(4)在一次射击比赛中,甲、乙两名运动员 10 次射击的平均成绩都是 7 环,其中甲的成绩 的方差为 1.21,乙的成绩的方差为 3.98,由此可知( (A)甲比乙的成绩稳定 (B)乙比甲的成绩稳定 (C)甲、乙两人的成绩一样稳定 )

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(D)无法确定谁的成绩更稳定 (5)右图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形,它的三视图为( )

第(5)题

(A)

(B)

(C) (6)下列命题中正确的是( )

(D)

(A)对角线相等的四边形是菱形 (B)对角线互相垂直的四边形是菱形 (C)对角线相等的平行四边形是菱形 (D)对角线互相垂直的平行四边形是菱形
CD 相交于点 P , 若 ?A ? 30? , ?APD ? 70? , (7) 如图, ⊙O 中, 弦 AB 、 则 ?B 等于 (



(A) 30 ?

(B) 35 ?

(C) 40 ?

(D) 50 ? B C P A O D
第(7)题
3

(8)比较 2, 5 , 7 的大小,正确的是( (A) 2 ? 5 ? 7 (C) 7 ? 2 ? 5
3 3

3

) (B) 2 ? 7 ? 5 (D) 5 ? 7 ? 2
3

(9)如图,是一种古代计时器——“漏壶”的示意图,在壶内盛一定量的水,水从壶下的 小孔漏出,壶壁内画出刻度,人们根据壶中水面的位置计算时间.若用 x 表示时间, y 表示壶底到水面的高度, 下面的图象适合表示一小段时间内 y 与 x 的函数关系的是 (不 考虑水量变化对压力的影响) ( )

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y

y

O (A) y

x

O (B) y

x

第(9)题

O (C)

x

O (D)

x

(10)已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象如图所示,有下列结论: ① b2 ? 4ac ? 0 ; ② abc ? 0 ; ③ 8a ? c ? 0 ; ④ 9a ? 3b ? c ? 0 . 其中,正确结论的个数是( (A)1 (B)2 (C)3 ) (D)4
x ?1
第(10)题

y

?2

?1

O

x

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2010 年天津市初中毕业生学业考试试卷


注意事项:


共 90 分)

第Ⅱ卷(非选择题

用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在“答题卡”上。 二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分. (11)若 a ?
a 1 1 ? ,则 的值为 2 (a ? 1) ( a ? 1) 2 2



A

D B

C

(12)已知一次函数 y ? 2 x ? 6 与 y ? ? x ? 3 的图象交于点 P , 则点 P 的坐标为 . E
第(13)题

F A D E

(13)如图,已知 AC ? FE , BC ? DE ,点 A、D、B、F 在一 条直线上,要使△ ABC ≌△ FDE ,还需添加一个 条件, .. 这个条件可以是 . (14)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 3, E 为 CD 边上一点,

DE ? 1 .以点 A 为中心,把△ ADE 顺时针旋转 90 ? ,得
△ ABE? ,连接 EE? ,则 EE? 的长等于 .

E?

B
第(14)题

C

(15)甲盒装有 3 个乒乓球,分别标号为 1,2,3;乙盒装有 2 个乒乓球,分别标号为 1,2.现分别从每个盒中随机地取出 1 个球,则取出的两球标号之和为 4 的概率 是 .

(16)已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )中自变量 x 和函数值 y 的部分对应值如下表:

x

? ?

? ?

3 2 5 4

?1
?2

? ?

1 2 9 4

0

1 2 ? 5 4

1 0

3 2 7 4

? ? C F E G D
第(17)题

y

?2

则该二次函数的解析式为



(17)如图,等边三角形 ABC 中, D 、 E 分别为 AB 、 BC 边上 的点, AD ? BE , AE 与 CD 交于点 F , AG ? CD 于点 G , 则

AG 的值为 AF



A

B

(18)有一张矩形纸片 ABCD,按下面步骤进行折叠:

第一步:如图①,将矩形纸片 ABCD 折叠,使点 B、D 重合,点 C 落在点 C ? 处,得 折痕 EF; 第二步:如图②,将五边形 AEFC ?D 折叠,使 AE、 C ?F 重合,得折痕 DG,再打开; 第三步:如图③,进一步折叠,使 AE、 C ?F 均落在 DG 上,点 A、 C ? 落在点 A? 处,

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点 E、F 落在点 E? 处,得折痕 MN、QP. 这样,就可以折出一个五边形 DMNPQ .
C?

C?

Q C D

C?

D

F

C

D G

F

F

C

A?
M B
图② 第(18)题

E?
N

P G B

A

E
图①

B

A

E

A

E
图③

(Ⅰ)请写出图①中一组相等的线段

(写出一组即可) ;

AD ? b , (Ⅱ) 若这样折出的五边形 DMNPQ (如图③) 恰好是一个正五边形, 当 AB ? a ,

DM ? m 时,有下列结论:

① a 2 ? b2 ? 2ab tan18? ; ② m ? a2 ? b2 ? tan18? ;

3 ④ b ? m ? m tan18? . 2 其中,正确结论的序号是 (把你认为正确结论的序号都 填上). .
③ b ? m ? a tan18? ; 三、解答题:本大题共 8 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. (19) (本小题 6 分)
?2 x ? 1 ? x ? 1, 解不等式组 ? ? x ? 8 ? 4 x ? 1.

(20) (本小题 8 分) 已知反比例函数 y ?

k ?1 ( k 为常数, k ? 1 ) . x

(Ⅰ)若点 A(1,2) 在这个函数的图象上,求 k 的值; (Ⅱ)若在这个函数图象的每一支上, y 随 x 的增大而减小,求 k 的取值范围; (Ⅲ)若 k ? 13 ,试判断点 B(3,4) , C (2,5)是否在这个函数的图象上,并说明理由.

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(21) (本小题 8 分) 我国是世界上严重缺水的国家之一.为了倡导“节约用水从我做起” ,小刚在他所在班 的 50 名同学中,随机调查了 10 名同学家庭中一年的月均用水量(单位:t) ,并将调查结果 绘成了如下的条形统计图.
户数

4 3 2 1 0

6

6.5 7

7.5

8 月均用水量/t

第(21)题

(Ⅰ)求这 10 个样本数据的平均数、众数和中位数; (Ⅱ) 根据样本数据, 估计小刚所在班 50 名同学家庭中月均用水量不超过 7 t 的约有多 少户.

(22) (本小题 8 分) 已知 AB 是⊙ O 的直径, AP 是⊙ O 的切线, A 是切点, BP 与⊙ O 交于点 C . (Ⅰ)如图①,若 AB ? 2 , ?P ? 30? ,求 AP 的长(结果保留根号) ; (Ⅱ)如图②,若 D 为 AP 的中点,求证直线 CD 是⊙ O 的切线. B C O A
图① 第(22)题

B C O P A
图②

D

P

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(23) (本小题 8 分) 永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一.某校 数学兴趣小组要测量摩天轮的高度.如图,他们在 C 处测得摩天轮的最高点 A 的仰角为 45 ? , 再往摩天轮的 方向前进 50 m 至 D 处,测得最高点 A 的仰角为 60 ? . 求该兴趣小组测得的摩天轮的高度 AB( 3 ? 1.732 , 结果保留整数) . B 60° 45° C D
第(23)题

A

(24) (本小题 8 分) 注意:为了使同学们更好地解答本题,我们提供了一种解题思路,你可以依照这个思路 按下面的要求填空,完成本题的解答.也可以选用其他的解题方案,此时不必填空,只需按 照解答题的一般要求进行解答. 青山村种的水稻 2007 年平均每公顷产 8 000 kg,2009 年平均每公顷产 9 680 kg,求该 村水稻每公顷产量的年平均增长率. 解题方案: 设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 x . (Ⅰ)用含 x 的代数式表示: ① 2008 年种的水稻平均每公顷的产量为 ② 2009 年种的水稻平均每公顷的产量为 (Ⅱ)根据题意,列出相应方程 (Ⅲ)解这个方程,得 (Ⅳ)检验: (Ⅴ)答:该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 ; ; %. ; ; ;

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(25) (本小题 10 分) 在平面直角坐标系中,矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点,顶点 A、B 分别在 x 轴、

y 轴的正半轴上, OA ? 3 , OB ? 4 ,D 为边 OB 的中点.
(Ⅰ)若 E 为边 OA 上的一个动点,当△ CDE 的周长最小时,求点 E 的坐标; 温馨提示: 如图, 可以作点 D 关于 x 轴 的对称点 D? , 连接 CD? 与 x 轴交于点 E , 此时△ CDE 的周长是最小的.这样, 你只需 求出 OE 的长,就可以确定点 E 的坐标了.

y B D

C

y B D

C

O

E

A x

O

A x

D?

第(25)题

(Ⅱ)若 E 、 F 为边 OA 上的两个动点,且 EF ? 2 ,当四边形 CDEF 的周长最小时, 求点 E 、 F 的坐标.

(26) (本小题 10 分) 在平面直角坐标系中,已知抛物线 y ? ? x2 ? bx ? c 与 x 轴交于点 A 、 B (点 A 在点 B 的 左侧) ,与 y 轴的正半轴交于点 C ,顶点为 E . (Ⅰ)若 b ? 2 , c ? 3 ,求此时抛物线顶点 E 的坐标; ( Ⅱ ) 将 ( Ⅰ ) 中 的 抛 物 线 向 下 平 移 , 若 平 移 后 , 在 四 边 形 ABEC 中 满 足 S△BCE = S△ABC,求此时直线 BC 的解析式; (Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形 ABEC 中满足 S△BCE = 2S△AOC,且顶点 E 恰好落在直线 y ? ?4 x ? 3 上,求此时抛物线的解析式.

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2010 年天津市初中毕业生学业考试 数学试题参考答案及评分标准
评分说明: 1.各题均按参考答案及评分标准评分。 2.若考生的非选择题答案与参考答案不完全相同但言之有理,可酌情评分,但不得超 过该题所分配的分数。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. (1)A (6)D (2)B (7)C (3)C (8)C (4)A (9)B (5)B (10)D

二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分. (11)

2 3

(12) (3,0)

(13) ?C ? ?E (答案不惟一,也可以是 AB ? FD 或 AD ? FB ) (14) 2 5 (16) y ? x2 ? x ? 2 (15) (17)

1 3
3 2

(18) (Ⅰ) AD ? C ?D (答案不惟一,也可以是 AE ? C ?F 等); (Ⅱ)①②③

三、解答题:本大题共 8 小题,共 66 分. (19) (本小题 6 分)
?2 x ? 1 ? x ? 1, 解: ∵ ? ? x ? 8 ? 4 x ? 1.

① ② ??????????????? 2 分 ??????????????? 4 分 ??????????????? 6 分

解不等式①,得 x ? 2 . 解不等式②,得 x ? 3 . ∴ 原不等式组的解集为 x ? 3 .

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(20) (本小题 8 分) 解: (Ⅰ)∵ 点 A(1,2) 在这个函数的图象上, ∴ 2 ? k ? 1 .解得 k ? 3 . (Ⅱ)∵ 在函数 y ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分

k ?1 图象的每一支上, y 随 x 的增大而减小, x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分

∴ k ? 1 ? 0 .解得 k ? 1 . (Ⅲ)∵ k ? 13 ,有 k ? 1 ? 12 . ∴ 反比例函数的解析式为 y ? 将点 B 的坐标代入 y ? ∴ 点 B 在函数 y ?

12 . x

12 ,可知点 B 的坐标满足函数关系式, x

12 的图象上. x 12 12 ,由 5 ? ,可知点 C 的坐标不满足函数关系式, 2 x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分

将点 C 的坐标代入 y ? ∴ 点 C 不在函数 y ? (21) (本小题 8 分)

12 的图象上. x

解: (Ⅰ)观察条形图,可知这组样本数据的平均数是

x?

6 ? 2 ? 6.5 ? 4 ? 7 ?1 ? 7.5 ? 2 ? 8 ?1 ? 6.8 . 10

∴ 这组样本数据的平均数为 6.8 . ∵ 在这组样本数据中, 6.5 出现了 4 次,出现的次数最多, ∴ 这组数据的众数是 6.5 . ∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是 6.5 , 有

6.5 ? 6.5 ? 6.5 , 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

∴ 这组数据的中位数是 6.5 .

(Ⅱ)∵ 10 户中月均用水量不超过 7 t 的有 7 户, 有 50 ?

7 ? 35 . 10

∴ 根据样本数据,可以估计出小刚所在班 50 名同学家庭中月均用水量不超过 7 t 的约有 35 户. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分

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(22) (本小题 8 分) 解: (Ⅰ)∵ AB 是⊙ O 的直径, AP 是切线, ∴ ?BAP ? 90? . 在 Rt△ PAB 中, AB ? 2 , ?P ? 30? , ∴ BP ? 2AB ? 2 ? 2 ? 4 . 由勾股定理,得 AP ? BP2 ? AB2 ? 42 ? 22 ? 2 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 (Ⅱ)如图,连接 OC 、 AC , ∵ AB 是⊙ O 的直径, ∴ ?BCA ? 90? ,有 ?ACP ? 90? . 在 Rt△ APC 中, D 为 AP 的中点, ∴ CD ? O A D P B C

1 AP ? AD . 2

∴ ?DAC ? ?DCA . 又 ∵ OC ? OA , ∴ ?OAC ? ?OCA . ∵ ?OAC ? ?DAC ? ?PAB ? 90? , ∴ ?OCA ? ?DCA ? ?OCD ? 90? . 即 OC ? CD . ∴ 直线 CD 是⊙ O 的切线. (23) (本小题 8 分)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分

解:根据题意,可知 ?ACB ? 45? , ?ADB ? 60? , DC ? 50 . 在 Rt△ ABC 中,由 ?BAC ? ?BCA ? 45? ,得 BC ? AB . 在 Rt△ ABD 中,由 tan ?ADB ? 得 BD ?

AB , BD
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

AB AB 3 ? ? AB . tan ?ADB tan 60? 3

又 ∵ BC ? BD ? DC ,
3 AB ? 50 ,即 (3 ? 3) AB ? 150 . 3 150 ? 118 . ∴ AB ? 3? 3

∴ AB ?

答:该兴趣小组测得的摩天轮的高度约为 118 m.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分

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(24) (本小题 8 分) 解: (Ⅰ)① 8 000(1 ? x) ;② 8 000(1 ? x)2 ; (Ⅱ) 8 000(1 ? x)2 ? 9 680 ; (Ⅲ) x1 ? 0.1 , x2 ? ?2.1 ; (Ⅳ) x1 ? 0.1 , x2 ? ?2.1 都是原方程的根,但 x2 ? ?2.1 不符合题意,所以只取 x ? 0.1 ; (Ⅴ)10 . (25) (本小题 10 分) 解: (Ⅰ)如图,作点 D 关于 x 轴的对称点 D? ,连接 CD? 与 x 轴交于点 E,连接 DE . 若在边 OA 上任取点 E? (与点 E 不重合) ,连接 CE ? 、 DE? 、 D?E? . 由 DE ? ? CE ? ? D?E ? ? CE ? ? CD? ? D?E ? CE ? DE ? CE , 可知△ CDE 的周长最小. y C ∵ 在矩形 OACB 中, OA ? 3 , OB ? 4 , D 为 OB 的中点, B ∴ BC ? 3 , D?O ? DO ? 2 , D ?B ? 6 . ∵ OE∥BC, ∴ Rt△ D ?OE ∽Rt△ D ?BC ,有 ∴ OE ?
D?O ? BC 2 ? 3 ? ? 1. D?B 6 OE D?O . ? BC D?B

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分

D E E? A x

O

D?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分

∴ 点 E 的坐标为(1,0).

(Ⅱ)如图,作点 D 关于 x 轴的对称点 D? ,在 CB 边上截取 CG ? 2 ,连接 D?G 与 x 轴 交于点 E ,在 EA 上截取 EF ? 2 . ∵ GC∥EF, GC ? EF , ∴ 四边形 GEFC 为平行四边形,有 GE ? CF . 又 DC 、 EF 的长为定值, ∴ 此时得到的点 E 、 F 使四边形 CDEF 的周长最小. ∵ OE∥BC, ∴ Rt△ D ?OE ∽Rt△ D ?BG , 有 ∴ OE ?
OE D?O . ? BG D?B

y B D G C

O E

F A x

D?

D?O ? BG D?O ? ( BC ? CG) 2 ?1 1 ? ? ? . D?B D?B 6 3

1 7 ∴ OF ? OE ? EF ? ? 2 ? . 3 3

1 7 ∴ 点 E 的坐标为( ,0) ,点 F 的坐标为( ,0). . . . . . . . . . . . . . . .10 分 3 3

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(26) (本小题 10 分) 解: (Ⅰ)当 b ? 2 , c ? 3 时,抛物线的解析式为 y ? ? x2 ? 2x ? 3 ,即 y ? ?( x ? 1)2 ? 4 . ∴ 抛物线顶点 E 的坐标为(1,4) . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分

(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,则顶点 E 在对称轴 x ? 1 上,有 b ? 2 , ∴ 抛物线的解析式为 y ? ? x2 ? 2x ? c ( c ? 0 ) .
,1 ? c). ∴ 此时,抛物线与 y 轴的交点为 C(0,c),顶点为 E(1

∵ 方程 ? x 2 ? 2 x ? c ? 0 的两个根为 x1 ? 1 ? 1 ? c , x2 ? 1 ? 1 ? c , ∴ 此时,抛物线与 x 轴的交点为 A (1 ? 1 ? c,0), B (1 ? 1 ? c,0). 如图,过点 E 作 EF∥CB 与 x 轴交于点 F ,连接 CF ,则 S△BCE = S△BCF. ∵ S△BCE = S△ABC, ∴ S△BCF = S△ABC. ∴ BF ? AB ? 2 1 ? c . 设对称轴 x ? 1 与 x 轴交于点 D , C A O D B F x y E

1 则 DF ? AB ? BF ? 3 1 ? c . 2
由 EF∥CB,得 ?EFD ? ?CBO . ∴ Rt△EDF∽Rt△COB.有 ∴
1? c 3 1? c ? c 1? 1? c

x ?1

ED CO . ? DF OB

.结合题意,解得 c ?

5 . 4

5 5 ∴ 点 C(0, ) , B( ,0). 4 2

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