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高中数学知识重组、网络建构系列之数列与不等式:专题五 数列参与的不等式的证明问题


专题五 数列与不等式证明问题 ? 主干知识互联,提纲挈领 与数列有关的不等式的证明常用方法: (1)比较法,特别是差值比较法是最根本的方法; (2)分析法与综合法,一般是利用分析法分析,再利用综合法分析; (3)数学归纳法; (4)放缩法 ,主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的 (5)函数方法:即构造函数,通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式,通过对关于正实数的 不等式特殊赋值得出数列中的不等式. ? 重点难点突破,抓住核心 5.1 比较法 方法规律提升,融会贯通 【例 2】已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn, ? a3=7,S4=24. (I)求数列{an}的通项公式; (II) 利用差值比较法比较大小的关键是对作差后的式子 1 (1)因式分解; (2)化平方 设 p、 q 都是正整数, 且 p≠q, 证明: Sp+q< (S2p+S2q). 进行变形,途径主要有: 2 和的形式; (3)如果涉及分式,则利用通分; (4)如 思路分析:根据条件首先利用等差数列的通项公 果涉及根式,则利用分子或分母有理化. 式及前 n 项公式和建立方程组即可解决第(I)小题; 第(II)小题利用差值比较法就可顺利解决. 【解析】 (Ⅰ)设等差数列{an}的公差是 d,依题 意得,? ? a1+2d=7 ? a1=3 ,解得? ,∴数列{an} ? 4a1+6d=24 ? d=2 的通项公式为 an=a1+(n-1)d=2n+1. (Ⅱ)证明:∵an=2n+1, n(a1+an) 2 ∴Sn= =n +2n.2Sp+q-(S2p+S2q)= 2 2[(p+q) +2(p+q)]-(4p +4p)-(4q +4q) =-2(p-q) ,∵p≠q,∴2Sp+q-(S2p+S2q)<0, 1 ∴Sp+q< (S2p+S2q). 2 【变式训练】 1.设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 4Sn ? an?1 ? 4n ?1, n ? N , 且 a2 , a5 , a14 构成等比数 2 ? 2 2 2 2 列. (I) 证明: a2 ? 4a1 ? 5 ; (II) 求数列 ?an ? 的通项公式; (III) 证明:对一切正整数 n ,有 1 1 1 1 ? ??? ? . a1a2 a2 a3 an an ?1 2 2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 ? ? Sn=2-? +1?an(n∈N*). n ? ? 2 (I)求证:数列? ?是等比数列; ?n? ?an? 1 1 1 1 2 n (II)设数列{2 an}的前 n 项和为 Tn,An= + + +?+ ,试比较 An 与 的大小. T1 T2 T3 Tn nan 【答案】 (I)详见解析; (II)An< 2 nan . ?an? 1 an 1 an-1 【解析】 (I)证明:由 a1=S1=2-3a1,得 a1= ,当 n≥2 时,由 an=Sn-Sn-1,得 = × ,所以? ? 2 n 2 n-1 ?n? 1 是首项和公比均为 的等比数列. 2 【点评】作差比较法一般步骤:作差——变形——定号——下结论;作商比较法一般步骤:作商—— 变形——与 1 比较大小——下结论. 5.2 放缩法 高考中利用放缩方法证明不等式,文科涉及较少,但理科却常常出现,且多是在压轴题中出现.放缩法证 明不等式有法可依,但具体到题,又常常没有定法,它综合性强,形式复杂,运算要

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