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Dqkamoo上海市金山区2011届高三上学期期末考试--数学


七夕,古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚,世态炎凉却已看透矣。情也成 空,且作“挥手袖底风”罢。是夜,窗外风雨如晦,吾独坐陋室,听一曲《尘 缘》,合成诗韵一首,觉放诸古今,亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。 凄然入梦。乙酉年七月初七。 -----啸之记。

金山区 2010 学年第一学期期末考试高三数学试题
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚. 2.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.若集合 A={x| 1<|x–1|<3,x?Z},用列举法表示 A= 2.已知 sinθ= . .

5 ,θ 是第二象限的角,则 tanθ= 13
. .

3.函数 y=log 2 x 的反函数是 4.计算:sin(arctan 5.若 cos?= –

3 )= 3

3 ? ? ,??( , ?),则 sin(?+ )= 5 2 6

. . .

6.在边长为 2 的正方形 ABCD 中,若 E 是 CD 的中点,则 AD ? BE = 7.若矩阵 A= ? ?

?0 1? ?1? ? ? ,矩阵 B = ? ? 2? ? ,则矩阵 A 和 B 的乘积 AB= ?1 0? ? ?

? ? sin 6 6 的值是 8.行列式 ? ? sin cos 6 6 cos
9.在( x ?



1 x

)12 的二项展开式中,常数项的值为



10.已知向量 a =(k2+k–3) i +(1–k) j ,b = –3 i +(k–1) j ,若向量 a 与 b 平行,则 k=



11.若有下列命题:① |x|2+|x|–2=0 有四个实数解;② 设 a 、b、c 是实数,若二次方 程 ax2+bx+c=0 无实根,则 ac≥0;③ 若 x2–3x+2≠0,则 x≠2,④ 若 x?R,则函数 y= x 2 ? 4 +

1 x2 ? 4

的最小值为 2.上述命题中是假命题的有

(写出

所有假命题的序号). 12. “渐升数”是指在一个数中,每一位数字比其左边的一位数字大(除首位数字),如: 24579 就是一个五位“渐升数” .那么在二位“渐升数”中,任取一个二位渐升数,则 该数比 45 大的概率是 . 2 13.函数 y=|x –1|和函数 y=x+k 的图像恰有三个交点,则 k 的值是 . 14.如图,把正三角形 ABC 分成有限个全等的小正三 角形,且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实 数, 使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相 对顶点上实数的乘积相等.设点 A 为第一行,?,BC 为第 n 行,记点 A 上的数为 a11=1,?,第 i 行中第 j 个数为 aij (1≤j≤i). 若 a 21=

1 1 ,a 22= ,则 a31+a32+a33= 2 4



二、选择题 (本大题共有 4 题,考生应在答题纸相应编号的位置内填涂,每小题 5 分, 共 20 分) 15. “x=2k?+

? (k?Z)”是“tanx=1”成立的 4

(

)

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 16.下列给出的赋值语句中正确的是 ( (A)3=A (B)M=M+1 (C) B+A–2=0 (D)x+y=0 (

)

17.设 Sk= (A)Sk+

1 1 1 1 + + +?+ ,则 Sk+1 为 k ?1 k ? 2 k ? 3 2k
(B)Sk+

)

1 2(k ? 1)
1 1 – 2k ? 1 2(k ? 1)
n k ?1

1 1 + 2k ? 1 2(k ? 1) 1 1 – 2(k ? 1) 2k ? 1 1 ) 的值为 k2
( )

(C)Sk+

(D)Sk+
n

18.定义: ? a k =a1a2a3?an,则 lim ? (1 ?
n? ? k ?2

(A) 0

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)1

三、解答题(把解题的主要步骤写在相应序号的方框内,如果写错位置,该题不予评分, 责任自负.本大题有 5 个小题,共 74 分) 19.(本题 12 分)已知 a、b、c 是?ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边,S 是?ABC 的面积, 若 a=4,b=5,S=5 3 ,求 c 的长度. 20. (本题 14 分)已知向量 a =(sinx, cosx), 向量 b =(cosx, sinx), x?R, 函数 f(x)= a ( a + b ). (1)求函数 f(x)的最大值、最小值与最小正周期; (2)求使不等式 f(x)≥

3 成立的 x 的取值范围. 2

21.(本题 14 分)阅读:设 Z 点的坐标(a, b),r=| OZ |,θ 是以 x 轴的非负半轴为始边、 以 OZ 所在的射线为终边的角, 复数 z=a+bi 还可以表示为 z=r(cosθ+isinθ), 这个表达式 叫做复数 z 的三角形式,其中,r 叫做复数 z 的模,当 r≠0 时,θ 叫做复数 z 的幅角, 复数 0 的幅角是任意的,当 0≤θ<2π 时,θ 叫做复数 z 的幅角主值,记作 argz. 根据上面所给出的概念,请解决以下问题: (1)设 z=a+bi =r(cosθ+isinθ) (a、b?R,r≥0),请写出复数的三角形式与代数形式相 互之间的转换关系式; (2)设 z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),探索三角形式下的复数乘法、除法的 运算法则,请写出三角形式下的复数乘法、除法的运算法则.(结论不需要证明) 22.(本题 16 分)数列{an}是等差数列,数列{bn}满足 bn=anan+1an+2 (n?N*),数列{bn} 的前 n 项和为 Sn. (1)若数列{an}的公差 d 等于首项 a1,试用数学归纳法证明:对于任意 n?N*,都有 Sn=

bn a n ? 3 ; 4d
(2)若数列{an}满足:3a5=8a12>0,试问 n 为何值时,Sn 取得最大值?并说明理由.

23.(本题 18 分)在 R+上的递减函数 f(x)同时满足:(1)当且仅当 x?M f(x)的集合为[0, 2]; (2)f(

R+时,函数值

1 )=1; (3)对 M 中的任意 x1、 x2 都有 f(x1?x2)= f(x1)+ f(x2); (4)y=f(x) 2

在 M 上的反函数为 y=f–1(x).

(1)求证:

1 1 ?M,但 ?M; 4 8 1 . 2

(2)求证:f–1(x1)? f–1(x2)= f–1(x1+x2); (3)解不等式:f–1(x2–x)? f–1(x–1)≤

2010 学年第一学期期末考试高三数学试题评分参考意见
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1.{–1, 3};2.–

? 2? 5 1 1 4 3 ?3 ? ;3.y=2x,x?R;4. ;5. ;6.4;7. ? ;8. ; ? ? 12 2 2 10 ?1?
7 5 7 ;13. 1 或 ;14. 18 4 16

9.924 ;10. 1,2,–3;11.①、④;12.

二、选择题 15.A;16. B;17.C;18. C 三、解答题 19.解:∵S=

1 3 absinC, ∴ sinC= ,????????????????4 分 2 2

于是∠C =60o,或∠C =120o,????????????????????6 分 又 c2=a2+b2–2abcosC ????????????????????????8 分 当∠C =60o 时,c2=a2+b2–ab,c= 21 ????????????????10 分 当∠C =120o 时,c2=a2+b2+ab,c= 61 .?????????????????12 分

20.(1) 向量 a =(sinx, cosx),向量 b =(cosx, sinx),x?R, f(x)= a ( a + b )= a + a ? b =1+2sinxcosx=1+sin2x.?????????????5 分 函数 f(x)的最大值为 2,最小值为 0,最小正周期为?;???????????8 分 (2)由 f(x)≥
2

1 3 得:sin2x≥ ,?????????????????????10 分 2 2

即 2k?+ 即 k?+

? 5? ≤2x≤2k?+ ,??????????????????????12 分 6 6

? 5? ≤x≤k?+ ,k?Z.?????????????????????14 分 12 12

?r ? a 2 ? b 2 ?a ? r cos? ? 21.解:(1) ? ;? ??(各 3 分)?????????6 分 b ( a ? 0) ?b ? r sin ? ?t an ? ? a ?
(以上每组内只写出一个,给 2 分) (2) 三角形式下的复数乘法的运算法则: z1z2=r1(cosθ 1+isinθ 1)? r2(cosθ 2+isinθ 2)=r1r2[cos(θ 1+θ 2)+isin(θ 1+θ 2)]??10 分 三角形式下的复数除法的运算法则:

z1 r (cos?1 ? i sin ?1 ) r1 ? 1 ? [cos(θ 1–θ 2)+isin(θ 1–θ 2)] (z2≠0)????14 分 z 2 r2 (cos? 2 ? i sin ? 2 ) r2
注意:z2≠0 不写扣 1 分.

22.(1)当 n=1 时,S1=b1,

b1 a 4 b1 (d ? 3d ) = =b1,原式成立.????????1 分 4d 4d

假设当 n=k 时,Sk=

bk a k ? 3 成立,??????????????????2 分 4d

则 Sk+1=Sk+bk+1=

bk a k ?3 ? bk ?1 4d ???????????????????4 分 4d

=

a k a k ?1 a k ? 2 a k ?3 ? bk ?1 4d a k bk ?1 ? bk ?1 4d bk ?1 (a k ? 4d ) bk ?1 a k ? 4 = = = ??6 分 4d 4d 4d 4d bn a n ? 3 ;?????8 分 4d

所以 n=k+1 时,等式仍然成立,故对于任意 n?N*,都有 Sn= (2)因为 3a5=8a12>0,所以 3a5=8(a5+7d),a5= – 又 a16=a5+11d = –

56 d >0,所以 d<0 5

d 4d >0,a17=a5+12d = <0,???????????????11 分 5 5

所以 a1>a2>a3>?>a16>0>a17>a18?,b1>b2>b3>?>b14>0>b17>b18?,

因为 b15=a15a16a17<0,b16=a16a17 a18>0,??????????????????13 分 a15=a5+10d = –

6d 9d >0,a18=a5+13d = <0, 5 5

所以 a15<–a18,所以 b15> –b16,b15+b16>0,?????????????????15 分 故 S16>S14,所以 Sn 中 S16 最大.?????????????????????16 分

1 1 1 1 1 ?M,又 = ? ,f( )=1, 2 4 2 2 2 1 1 1 1 1 1 所以 f( )=f( ? )=f( )+f( )=2?[0, 2],所以 ?M,???????????3 分 4 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 又因为 f( )=f( ? )=f( )+f( )=3?[0, 2],所以 ?M;??????????5 分 8 4 2 4 2 8
23.(1)证明:因为 (2)因为 y=f(x)在 M 上递减,所以 y=f(x)在 M 有反函数 y=f –1(x),x?[0, 2] 任取 x1、x2?[0, 2],设 y1=f –1(x1),y2=f –1(x2), 所以 x1=f(y1),x2=f(y2) (y1、y2?M) 因为 x1+x2=f(y1)+f(y2)=f(y1y2), ???????????????????????7 分 –1 所以 y1y2=f (x1+x2),又 y1y2= f –1(x1)f –1(x2), 所以:f –1(x1)? f –1(x2)= f –1(x1+x2);????????????????????10 分 (3)因为 y=f(x)在 M 上递减,所以 f –1(x)在[0, 2]上也递减, f–1(x2–x)? f–1(x–1)≤

1 等价于:f –1(x2–x+x–1)≤f –1(1)?????????????11 分 2

?0 ? x 2 ? x ? 2 ? ?0 ? x ? 1 ? 2 ????????????????????????????14 分 ?x 2 ? 1 ? 1 ?

?? 1 ? x ? 0或1 ? x ? 2 ? 即: ?1 ? x ? 3 ??????????????????????17 分 ? ? x ? ? 2或x ? 2
所以 2 ≤x≤2????????????????????????????18 分



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