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2015-2016学年高中数学 第二章 平面向量综合检测题 新人教A版必修4


2015-2016 学年高中数学 第二章 平面向量综合检测题 新人 A 教版必修 4
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 满分 150 分。 考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.下列等式成立的是( → → A.MN=NM C.(a?b)c=a(b?c) [答案] D 2.如果 a、b 是两个单位向量,那么下列四个结论中正确的是( A.a=b C.a=-b [答案] D [解析] 两个单位向量的方向不一定相同或相反,所以选项 A、C 不正确;由于两个单 位向量的夹角不确定,则 a?b=1 不成立,所以选项 B 不正确;|a|=|b|=1,则选项 D 正 确. 3.如右图,a-b 等于( A.2e1-4e2 C.e1-3e2 [答案] C [解析] a-b=e1-3e2. 4.(2015?北京海淀区期末)如图,正方形 ABCD 中,点 E、F 分别是 DC、BC 的中点,那 → 么EF=( ) 1→ 1→ B.- AB- AD 2 2 1→ 1 D. AB- AD 2 2 ) B.-4e1-2e2 D.3e1-e2 B.a?b=1 D.|a|=|b| ) ) B.a?0=0 D.|a+b|≤|a|+|b|

1→ 1→ A. AB+ AD 2 2 1→ 1→ C.- AB+ AD 2 2 [答案] D → 1→ 1 → → [解析] EF= DB= (AB-AD). 2 2

6.(2015?诸城模拟)已知 a、b、c 是共起点的向量,a、b 不共线,且存在 m、n∈R 使

c=ma+nb 成立,若 a、b、c 的终点共线,则必有(
A.m+n=0

)

B.m-n=1
1

C.m+n=1 [答案] C → → → [解析] 设OA=a,OB=b,OC=c, ∵a、b、c 的终点共线,

D.m+n=-1

→ → → → → → ∴设AC=λ AB,即OC-OA=λ (OB-OA), → → → ∴OC=(1-λ )OA+λ OB, 即 c=(1-λ )a+λ b,又 c=ma+nb,
?1-λ =m, ? ∴? ? ?λ =n,

∴m+n=1. )

6.与向量 a=(1,1)平行的所有单位向量为( A.( 2 2 , ) 2 2 2 2 ,- ) 2 2 2 2 ,± ) 2 2

B.(-

C.(± D.(

2 2 2 2 , )或(- ,- ) 2 2 2 2

[答案] D [解析] 与 a 平行的单位向量为± . |a| → → 7.(2013?湖北文)已知点 A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB在CD方 向上的投影为( 3 2 A. 2 3 2 C.- 2 [答案] A [解析] 本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算. → → → → 由条件知AB=(2,1),CD=(5,5),AB?CD=10+5=15. → → → 2 2 |CD|= 5 +5 =5 2,则AB在CD方向上的投影为 → → AB?CD 15 3 2 → → → |AB|cos〈AB,CD〉= = = ,故选 A. → 2 5 2 |CD| ) 3 15 B. 2 3 15 D.- 2

a

2

8.已知 C 为△ABC 的一个内角,向量 m=(2cosC-1,-2),n=(cosC,cosC+1).若

m⊥n,则∠C 等于(
π A. 6 2π C. 3 [答案] C

) π B. 3 5π D. 6

[解析] ∵m⊥n,∴2cos C-3cosC-2=0, 1 ∴(2cosC+1)(cosC-2)=0,∴cosC=- , 2 2π 又 C 为△ABC 的一个内角,∴C= . 3 → → → 9.(2015?四川理)设四边形 ABCD 为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4.若点 M,N 满足BM → → → → → =3MC,DN=2NC,则AM?NM=( A.20 C.9 [答案] C → → → → → → → → 3→ → 3→ → [解析] 选择AB, AD为基向量. ∵BM=3MC, ∴AM=AB+BM=AB+ BC=AB+ AD, 又DN= 4 4 1→ 1→ 1 → → 1 → → → → 1→ 1→ → → → 3→ 2NC,∴NM=NC+CM= AB- AD,于是AM?NM=(AB+ AD)?( AB- AD)= (4AB+3AD)? 3 4 4 3 4 4 12 1 → → → 2 → 2 (4AB-3AD)= (16|AB| -9|AD| )=9,故选 C. 48 10.(2012?全国高考浙江卷)设 a、b 是两个非零向量( A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ ,使得 a=λ b D.若存在实数 λ ,使得 a=λ b,则|a+b|=|a|-|b| [答案] C [解析] 利用排除法可得选项 C 是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则 a、b 共线,即存 在实数 λ ,使得 a=λ B.如选项 A:|a+b|=|a|-|b|时,a、b 可为异向的共线向量;选 项 B: 若 a⊥b, 由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立; 选项 D; 若存在实数 λ , 使得 a=λ b, ) ) B.15 D.6

2

a,b 可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立.
15 → → 11.已知△ABC 中,AB=a,AC=b,a?b<0,S△ABC= ,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b 的 4 夹角为( )
3

A.30° C.150° [答案] C [解析]

B.-150° D.30°或 150°

1 1 由 a?b<0 可知 a,b 的夹角 θ 为钝角,又 S△ABC= |a|?|b|sinθ ,∴ 2 2

15 ?3?5?sinθ = , 4 1 ∴sinθ = ? θ =150°. 2 →2 →2 →2 →2 →2 →2 12.已知点 O 为△ABC 所在平面内一点,且OA +BC =OB +CA =OC +AB ,则点 O 一定 为△ABC 的( A.外心 C.重心 [答案] D →2 →2 →2 →2 [解析] ∵OA +BC =OB +CA , →2 →2 →2 →2 ∴OA -OB =CA -BC , → → → → → → → → ∴(OA-OB)?(OA+OB)=(CA+BC)?(CA-BC), → → → → → → ∴BA?(OA+OB)=BA?(CA-BC), → → → → → ∴BA?(OA+OB-CA+BC)=0, → → → → ∴BA?(OA+AC+OC)=0, → → ∴BA?OC=0, → → ∴BA⊥OC. → → → → 同理可得:CA⊥OB,CB⊥OA. ∴O 为△ABC 的垂心. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) → → → 13.已知向量 a、b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则 A、B、C、D 四点 中一定共线的三点是____________. [答案] A,B,D → → → → [解析] BD=BC+CD=(-5a+6b)+(7a-2b)=2a+4b=2(a+2b)=2AB. 14.已知向量 a=(1,1),b=(2,-3),若 ka-2b 与 a 垂直,则实数 k 等于________. ) B.内心 D.垂心

4

[答案] -1 [解析] (ka-2b)?a=0,[k(1,1)-2(2,-3)]?(1,1)=0,即(k-4,k+6)?(1,1) =0,k-4+k+6=0, ∴k=-1. 15.(2015?北京东城区模拟)已知向量 a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若 λ 为实数, (a+λ b)∥c,则 λ 的值为____________. [答案] 1 2

[解析] a+λ b=(1,2)+λ (1,0)=(1+λ ,2), ∵(a+λ b)∥c, 1 ∴4(1+λ )-3?2=0,解得 λ = . 2 → → → → 16.(2015?北京东城区模拟)如图,正三角形 ABC 边长为 2,设BC=2BD,AC=3AE,则 → → AD?BE=________.

[答案] -2 → → → → 1→ → → → 1→ → [解析] ∵AD=AB+BD=AB+ BC,BE=AE-AB= AC-AB, 2 3 1→ → 1 → → 1 → → 1→ → → 2 1 1 → → → 1→ ∴AD?BE=(AB+ BC)?( AC-AB)= AB?AC+ BC?AC- BC?AB-AB = ?2?2? 2 3 3 6 2 3 2 1 1 1 1 2 + ?2?2? + ?2?2? -2 =-2. 6 2 2 2 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分)(2015?山东济南一中期中)已知向量 a=(1,2),b=(x,1). (1)若〈a,b〉为锐角,求 x 的范围; (2)当(a+2b)⊥(2a-b)时,求 x 的值. [解析] (1)若〈a,b〉为锐角,则 a?b>0 且 a、b 不同向.

a?b=x+2>0,∴x>-2
1 当 x= 时,a、b 同向. 2 1 ∴x>-2 且 x≠ 2 (2)a+2b=(1+2x,4),2a-b=(2-x,3)
5

(2x+1)(2-x)+3?4=0 即-2x +3x+14=0 7 解得:x= 或 x=-2. 2 → 18.(本题满分 12 分)(2015?山东师大附中期中)设 e1、e2 是正交单位向量,如果OA= → → 2e1+me2,OB=ne1-e2,OC=5e1-e2,若 A、B、C 三点在一条直线上,且 m=2n,求 m、n 的 值. [解析] 以 O 为原点, e 1、 e2 的方向分别为 x, y 轴的正方向, 建立平面直角坐标系 xOy, → → → 则OA=(2,m),OB=(n,-1),OC=(5,-1), → → 所以AC=(3,-1-m),BC=(5-n,0), → → 又因为 A、B、C 三点在一条直线上,所以AC∥BC, 所以 3?0-(-1-m)?(5-n)=0,与 m=2n 构成方程组
? ?mn-5m+n-5=0 ? ? ?m=2n
2

m=-1 ? ? ,解得? 1 ?n=-2 ?

或?

? ?m=10, ? ?n=5.

19.(本题满分 12 分)已知 a 和 b 是两个非零的已知向量,当 a+tb(t∈R)的模取最小 值时. (1)求 t 的值; (2)已知 a 与 b 成 45°角,求证:b 与 a+tb(t∈R)垂直. [解析] (1)设 a 与 b 的夹角为 θ ,则|a+tb| =|a| +t |b| +2t?a?b=|a| + |a| 2 2 2 cosθ ) +|a| (1-cos θ ). |b|
2 2 2 2 2

t2?|b|2+2|a|?|b|?t?cosθ =|b|2(t+

|a| ∴当 t=- cosθ 时,|a+tb|取最小值|a|sinθ . |b| (2)∵a 与 b 的夹角为 45°,∴cosθ = +t?|b| =|a|?|b|? 立. 20.(本题满分 12 分)已知向量 a、b 不共线,c=ka+b,d=a-b, (1)若 c∥d,求 k 的值,并判断 c、d 是否同向; (2)若|a|=|b|,a 与 b 夹角为 60°,当 k 为何值时,c⊥D. [解析] (1)c∥d,故 c=λ d,即 ka+b=λ (a-b). 又 a、b 不共线,
6
2

2 |a| 2 ,从而 t=- ? ,b?(a+tb)=a?b 2 |b| 2

2 2 |a| 2 - ? ?|b| =0,所以 b 与 a+tb(t∈R)垂直,即原结论成 2 2 |b|

?k=λ , ? ∴? ?1=-λ . ?

?λ =-1, ? 得? ?k=-1. ?

即 c=-d,故 c 与 d 反向. (2)c?d=(ka+b)?(a-b) =ka -ka?b+a?b-b
2 2 2

=(k-1)a +(1-k)|a| ?cos60° 1-k 2 2 又 c⊥d,故(k-1)a + a =0. 2 1-k 即(k-1)+ =0. 2 解得 k=1. 21.(本题满分 12 分)(2015?广东理)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m=( - 2 π ),n=(sinx,cosx),x∈(0, ). 2 2 (1)若 m⊥n,求 tanx 的值; π (2)若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值. 3 [解析] (1)∵m⊥n,∴m?n=0. 故 2 2 sinx- cosx=0,∴tanx=1. 2 2 2 , 2

2

2 2 sinx- cosx 2 2 π m?n 1 (2)∵m 与 n 的夹角为 ,∴cos?m,n?= = = , 3 |m|?|n| 1?1 2 π 1 故 sin(x- )= . 4 2 π π π π π π 5π 5π 又 x∈(0, ),∴x- ∈(- , ),x- = ,即 x= ,故 x 的值为 . 2 4 4 4 4 6 12 12 1 3 22.(本题满分 12 分)已知向量 a=( 3,-1),b=( , ). 2 2 (1)求证:a⊥b; (2)是否存在不等于 0 的实数 k 和 t,使 x=a+(t -3)b,y=-ka+tb,且 x⊥y?如果 存在,试确定 k 和 t 的关系;如果不存在,请说明理由. 1 3 3 3 [解析] (1)a?b=( 3,-1)?( , )= - =0,∴a⊥B. 2 2 2 2 (2)假设存在非零实数 k,t 使 x⊥y,则[a+(t -3)b]?(-ka+tb)=0, 整理得-ka +[t-k(t -3)]a?b+t(t -3)b =0.
7
2 2 2 2 2 2

又 a?b=0,a =4,b =1. 1 2 2 ∴-4k+t(t -3)=0,即 k= (t -3t)(t≠0), 4 故存在非零实数 k、t,使 x⊥y 成立, 1 3 其关系为 k= (t -3t)(t≠0). 4

2

2

8



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