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2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习:第三章4.1 曲线与方程 1 含解析

[基础达标] 1.已知曲线 C 的方程为 x2-xy+y-5=0,则下列各点中,在曲线 C 上的点是( A.(-1,2) C.(2,-3) 2.方程 xy2-x2y=2x 所表示的曲线( A.关于 x 轴对称 C.关于原点对称 的曲线关于原点对称. 3.在直角坐标系中,方程|x|· y=1 的曲线是( ) ) B.关于 y 轴对称 D.关于 x-y=0 对称 B.(1,-2) D.(3,6) ) 解析:选 A.代入检验知只有(-1,2)使方程成立. 解析:选 C.同时以-x 代替 x,以-y 代替 y,方程不变,所以方程 xy2-x2y=2x 所表示 解析:选 C.当 x>0 时,方程为 xy=1, 又 y>0,故在第一象限有一支图像; 当 x<0 时,方程为-xy=1, 又 y>0,故在第二象限有一支图像. → → 4.已知定点 A(1,0)和定直线 l:x=-1,在 l 上有两动点 E,F,且满足AE ⊥AF,另有 → → → → 动点 P,满足EP∥OA,FO∥OP(O 为坐标原点),则动点 P 的轨迹方程为( A.y =4x C.y =-4x 2 2 ) B.y =4x(x≠0) D.y2=-4x(x≠0) 2 → → 解析:选 B.设 P(x,y),E(-1,y1),F(-1,y2)(y1,y2 均不为零),由EP∥OA,得 y1= y,即 E(-1,y). y y → → 由FO∥OP,得 y2=- ,即 F(-1,- ). x x → → 由AE⊥AF,得 y2=4x(x≠0).故选 B. 5.已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足条件|PA|=2|PB|,则动点 P 的轨迹 所围成的图形的面积等于( A.9π C.4π ) B.8π D.π 解析:选 C.设 P(x,y),由题意 (x+2)2+y2=2 (x-1)2+y2,化简整理得(x-2)2 +y2=4,动点 P 的轨迹是半径为 2 的圆,其面积为 4π. 6.已知方程 x2+y2+2x-4=0 的曲线经过点 P(m,1),那么 m 的值为________. 解析:把 P(m,1)代入方程得 m2+1+2m-4=0,即 m2+2m-3=0,∴m=-3 或 m= 1. 答案:-3 或 1 7.已知动点 P 在曲线 2x2-y=0 上移动,则点 A(0,-1)与点 P 连线的中点 M 的轨迹方 程是________. 解析:设 P(x′,y′),M(x,y), 0 ?x=x′+ ?x′=2x 2 ? 则? 即? ,由于 P(x′,y′)在曲线 2x -y=0 上,∴2(2x) -(2y+1)= y′-1 ? ?y′=2y+1 ?y= 2 2 2 0, 1 ∴y=4x2- . 2 1 答案:y=4x2- 2 → → → → 8.如图,已知点 P(-3,0),点 Q 在 x 轴上,点 A 在 y 轴上,且PA ·AQ=0,QM=2AQ. 当点 A 在 y 轴上移动时,动点 M 的轨迹方程是________. 解析:设动点 M(x,y),A(0,b),Q(a,0), → → → ∵P(-3,0),∴PA=(3,b),AQ=(a,-b),QM=(x-a,y). → → ∵PA·AQ=0, ∴(3,b)· (a,-b)=0,即 3a-b2=0.① → → ∵QM=2AQ, ∴(x-a,y)=2(a,-b),即 x=3a,y=-2b.② 由①②,得 y2=4x. ∴动点 M 的轨迹方程为 y2=4x. 答案:y2=4x 9.如图所示,已知 P(4,0)是圆 x2+y2=36 内的一点,A、B 是圆上的两动点,且∠APB =90°,求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程. 解:设 AB 的中点为 D(x0,y0),Q(x,y), 在△ABP 中,∵|AD|=|BD|,又 D 是弦 AB 的中点,根据垂径定理,有 2 |AD|2=|AO|2-|OD|2=36-(x2 0+y0). 2 ∴|DP|2=|AD|2=36-(x2 0+y0). 2 2 ∴(x0-4)2+y2 0=36-(x0+y0), 2 即 x2 0+y0-4x0-10=0. x , ?x =4+ 2 ∵? 代入上式,得 y ?y =2, 0 0 ?x+2? +y -2(x+4)-10=0. ?2 ? 4 即 x2+y2=56. ∴矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程为 x2+y2=56. 10.(1)长为 2 的线段 AB 的两端点分别在两条互相垂直的直线上滑动, 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. (2)已知△ABC 的两个顶点坐标分别为 A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点 C 在曲线 y =3x -1 上移动.求△ABC 的重心的轨迹方程. 解: 2 2 2 (1)如图,以这两条直线为坐标轴,建立直角坐标系,连接 OM,设 M(x,y).由题意知, 1 |OM|= |AB|=1, 2 ∴点 M 的轨迹是以 O 为圆心,1 为半径的圆,∴点 M 的轨迹方程是 x2+y2=1. (2)设重心坐标为(x,y),顶点 C(x0,y0), 0+x , ?x=-2+ 3 依题意有? 0-2+y ?y= 3 , 0 0 ? ?x0=3x+2, 解得? ① ?y0=3y+2. ? 因为点 C 在 y=3x2-1 上移动,所以 y0=3x2 0-1.② 将①代入②,得 y=9x2+12x+3,即为重心的轨迹方程. [能力提升] → → → 1.在平面直角坐标系中,已知 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC =αOA+βOB,其中 α,β ∈R,且 α+β=1,O 为坐标原点,则点 C 的轨迹为( A.射线 C.圆 B.直线 D.线段 ) → → 解析:选 B.OA=(3,1),OB=(-1,3),设 C(x,y), → → → → 即OC=(x,y),∵OC=αOA+βOB, ∴(x,y)=α(3,1)+β(-


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