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推理与证明(一)


推理与证明(一)

备课时间:2010/11

推理与证明 (一)
一、三维目标 1.知识与技能:①培养学生运用归纳推理从部分对象中寻找共同特征或某种规律性的 .知识与技能: 的能力;②培养学生运用类比推理寻找两类对象的类似特征的能力;③运用演绎推理的 推理形式(三段论)进行推理的能力。 2.过程与方法:培养学生利用合情推理的原理提出猜想,利用演绎推理的形式进行证 过程与方法: 过程与方法 明的思维方式。 3.情感、态度与价值观:培养学生严密地思维推理习惯。 情感、 情感 态度与价值观: 二、学习重难点 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区 别与联系 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律。 三、考纲解读 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现 中的作用。 2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理。 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。 四、知识链接 . 1.推理: 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做 ,一 部分是由已知推出的判断,叫 . 、联想,再进 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、 行 、类比,然后提出的推理叫合情推理。 3、合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: (1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象具有 这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之,归纳推理是由部分 到 、由个别到 的推理 (2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征的推理,简言之,类比推理是由特殊到 的推理。 五、基础检测 1.下面几种推理是合情推理的是 ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°,归纳出所有三角形的内 角和都是 180°;③某次考试张军成绩是 100 分,由此推出全班同学成绩都是 100 分; ④三角形的内角和是 180°,四边形的内角和是 360°,五边形的内角和是 540°,由此
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得出凸多边形的内角和是(n-2)·180°. 2.下面给出了关于复数的四种类比推理: ①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则; ②由向量 a 的性质|a|2=a2 类比得到复数 z 的性质|z|2=z2; ③方程 ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不同实数根的条件是 b2-4ac>0 可以类比 得到:方程 az2+bz+c=0(a,b,c∈C)有两个不同复数根的条件是 b2-4ac>0; ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比得到的结论错误的是 3.已知 ai,bi∈R(i=1,2,3,…,n),a2+a2+…+a2=1,b2+b2+…+b2=1,则 1 2 n 1 2 n a1b1+a2b2+…+anbn 的最大值为( )A.1 B.2 C.n 2 D.2 n 4.如右图,圆周上按顺时针方向标有 1,2,3,4,5 五个点.一只青蛙按顺时针方向绕 圆从一个点跳到另一点. 若它停在奇数点上, 则下一次只能跳一个点; 若停在偶数点上, 则下一次跳两个点.该青蛙从 5 这点跳起,经 2008 次跳后它将停在的点是

5.将全体正整数排成一个三角形数阵:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … … 根据以上排列规律,数阵中第 n(n≥3)行的从左至右的第 3 个数是________. 六、学习过程 题型 1 用归纳推理发现规律 例 1、通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论,并证明结论的真假。

3 3 2 0 2 0 2 0 ; sin 30 + sin 90 + sin 150 = ; 2 2 3 3 sin 2 450 + sin 2 1050 + sin 2 1650 = ; sin 2 600 + sin 2 1200 + sin 2 180 0 = 2 2 sin 2 150 + sin 2 750 + sin 2 1350 =

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练习 1、 (09 深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有 1 个蜂巢,第二个图 有 7 个蜂巢,第三个图有 19 个蜂巢,按此规律,以 f ( n) 表 示 第 n 幅 图 的 蜂 巢 总 数 . 则

f (4) =_____; f (n) =___________.
题型 2 用类比推理猜想新的命题 例 2、(2008 韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的 四面体,类似的结论是_____

1 ,把这个结论推广到空间正 3
_.

练习 3、 在 ?ABC 中,若 ∠C = 90 ,则 cos A + cos B = 1 ,用类比的方法,猜想三棱锥的
0 2 2

类似性质,并证明你的猜想

七、达标训练 1.函数 f ( x ) 由下表定义:

x
f ( x)

2
1

5 2


3 3

1 4

4 5

若 a0 = 5 , an +1 = f ( an ) , n = 0,1, 2,L ,则 a2007 =
3

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2.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个, 如两组对边分别平行. 类似地, 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件①_______ ___. 充要条件②____ ______. 3.设 f 0 ( x) = cos x, f1 ( x) = f 0 '( x), f 2 ( x) = f1 '( x),L , f n +1 ( x) = f n '( x) , n ∈ N , 则 f 2008 ( x) =( )A. ? sin x B. ? cos x C. sin x D. cos x 4.图(1)(2)(3)(4)分别包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉 、 、 、 祥物“福娃迎迎” ,按同样的方式构造图形,设第 n 个图形包含 f (n) 个“福娃迎迎” ,则
?

f (5) =

; f (n) ? f (n ? 1) =

. (答案用数字或 n 的解析式表示)

5. 现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方形,其 a2 中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为 .类比到空 4 间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体 重叠部分的体积恒为 . ,则 6.已知 ?ABC 的三边长为 a, b, c ,内切圆半径为 r (用 S ?ABC 表示?ABC的面积 )

1 r (a + b + c) ;类比这一结论有:若三棱锥 A ? BCD 的内切球半径为 R ,则 2 三棱锥体积 V A?BCD =
S ?ABC =
7. 在平面直角坐标系中,直线一般方程为 Ax + By + C = 0 ,圆心在 ( x 0 , y 0 ) 的圆的一 般方程为 ( x ? x 0 ) + ( y ? y 0 ) = r ;则类似的,在空间直角坐标系中,平面的一般方
2 2 2

程 为 ________________, 球 心 在 ( x 0 , y 0 , z 0 ) 的 球 的 一 般 方 程 为 _______________________. 8. (2009·江苏高考)在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为 __________.
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