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高中数学人教a版高二选修2-3_第一章_计数原理_1.2-1.2.1-第1课时学业分层测评 有答案

高中数学人教 a 版高二选修 2-3_第一章_计数原理_1.2-1.2.1-第 1 课时学业 分层测评 有答案 学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.下列问题属于排列问题的是( ) ①从 10 个人中选 2 人分别去种树和扫地; ②从 10 个人中选 2 人去扫地; ③从班上 30 名男生中选出 5 人组成一个篮球队; ④从数字 5,6,7,8 中任取两个不同的数作 logab 中的底数与真数. A.①④ C.④ 【解析】 【答案】 B.①② D.①③④ 根据排列的概念知①④是排列问题. A ) 2.从 2,3,5,7 四个数中任选两个分别相除,则得到的结果有( A.6 个 C.12 个 【解析】 【答案】 B.10 个 D.16 个 2 符合题意的商有 A4 =4×3=12. C ) 3. 某段铁路所有车站共发行 132 种普通车票, 那么这段铁路共有的车站数是( A.8 C.16 【解析】 ∴n=12. 【答案】 B ) B.12 D.24 设车站数为 n,则 A2 n=132,n(n-1)=132, 4.下列各式中与排列数 Am n 相等的是( n! A. ?n-m+1?! 第- 1 -页 共 4 页 B.n(n-1)(n-2)…(n-m) nAm n-1 C. n-m+1 m 1 D.A1 nAn-1 - 【解析】 - n! Am , n= ? n- m ? ! ? n- 1? ! n! = , ?n-m?! ?n-m?! m 1 而 A1 nAn-1 =n× m 1 m ∴A1 nAn-1 =An . - 【答案】 D ) 5.不等式 A2 n-1-n<7 的解集为( A.{n|-1<n<5} C.{3,4} B.{1,2,3,4} D.{4} 2 * 【解析】 由 An -1-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,即-1<n<5,又因为 n∈N 且 n- 1≥2,所以 n=3,4.故选 C. 【答案】 二、填空题 * 6.集合 P={x|x=Am 4 ,m∈N },则集合 P 中共有______个元素. C 【解析】 1 3 4 因为 m∈N*,且 m≤4,所以 P 中的元素为 A4 =4,A2 4=12,A4=A4= 24,即集合 P 中有 3 个元素. 【答案】 3 7.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________.(填序号) ①甲乙,乙甲,甲丙,丙甲; ②甲乙丙,乙丙甲; ③甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙; ④甲乙,甲丙,乙丙. 【解析】 这是一个排列问题,与顺序有关,任意两人对应的是两种站法,故③正 确. 【答案】 ③ 第- 2 -页 共 4 页 m 8.如果 An =15×14×13×12×11×10,那么 n=________,m=________. 【解析】 【答案】 三、解答题 15×14×13×12×11×10=A6 15,故 n=15,m=6. 15 6 9.下列问题中哪些是排列问题? (1)5 名学生中抽 2 名学生开会; (2)5 名学生中选 2 名做正、副组长; (3)从 2,3,5,7,11 中任取两个数相乘; (4)从 2,3,5,7,11 中任取两个数相除; (5)6 位同学互通一次电话; (6)6 位同学互通一封信; (7)以圆上的 10 个点为端点作弦; (8)以圆上的 10 个点中的某点为起点,作过另一点的射线. 【解】 (2)(4)(6)(8)都与顺序有关,属于排列;其他问题则不是排列. k-1 k 10.证明:Ak n+kAn =An+1. 【解】 = n! n! 左边= +k ?n-k?! ?n-k+1?! n! [?n-k+1?+k] ?n-k+1?! ?n+1?n! ?n+1?! = = , ?n-k+1?! ?n-k+1?! k 右边=An +1= ?n+1?! , ?n-k+1?! k -1 k 所以 Ak n+kAn =An+1. [能力提升] 2 3 4 100 1.若 S=A1 1+A2+A3+A4+…+A100,则 S 的个位数字是( ) A.8 B.5 C.3 D.0 n 【解析】 因为当 n≥5 时,An 的个位数是 0,故 S 的个位数取决于前四个排列数, 2 3 4 又 A1 1+A2+A3+A4=33. 【答案】 C ) 2.若 a∈N*,且 a<20,则(27-a)(28-a)…(34-a)等于( 第- 3 -页 共 4 页 A.A8 27-a 【解析】 【答案】 a 7 B.A27 C.A34 -a 34-a - D.A8 34-a A8 34-a=(27-a)(28-a)…(34-a). D 3.有 4 名司机,4 名售票员要分配到 4 辆汽车上,使每辆汽车上有一名司机和一 名售票员,则可能的分配方法有________种. 【解析】 4 4 司机、售票员各有 A4 4种安排方法,由分步乘法计数原理知共有 A4A4种 不同的安排方法. 【答案】 576 4.沪宁铁路线上有六个大站:上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京,铁路部门 应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间)多少种不同的火车票? 【解】 对于两个大站 A 和 B,从 A 到 B 的火车票与从 B 到 A 的火车票不同,因 为每张车票对应于一个起点站和一个终点站. 因此, 每张火车票对应于从 6 个不同元素 (大站)中取出 2 个元素(起点站和终点站)的一种排列.所以问题归结为从 6 个不同元素 中取出 2 个不同元素的排列数 A2 6=6×5=30.故一共需要为这六大站准备 30 种不同的 火车票. 第- 4 -页 共 4 页


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