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2009年山东省青岛市中考数学试题(word版含答案)


二○○九年山东省青岛市初级中学学业水平考试 ○○九 数 学 试 题
(考试时间:120 分钟;满分:120 分) 考试时间: 分钟;满分: 真情提示:亲爱的同学,欢迎你参加本次考试,祝你答题成功! 真情提示:亲爱的同学,欢迎你参加本次考试,祝你答题成功! 1.请务必在指定位置填写座号,并将密封线内的项目填写清楚. .请务必在指定位置填写座号,并将密封线内的项目填写清楚. 2.本试题共有 24 道题.其中 1-8 题为选择题.请将所选答案的标号填写在第 8 题后面给 道题. . - 题为选择题. 出表格的相应位置上; - 题为填空题,请将做出的答案填写 题后面给出表格 表格的 出表格的相应位置上;9-14 题为填空题,请将做出的答案填写在第 14 题后面给出表格的 相应位置上; - 题请在试题给出的本题位置上做答. 相应位置上;15-24 题请在试题给出的本题位置上做答. 道小题, 一、选择题(本题满分 24 分,共有 8 道小题,每小题 3 分) 选择题( 下列每小题都给出标号为 、 、 、 的四个结论,其中只有一个是正确的. 下列每小题都给出标号为 A、B、C、D 的四个结论,其中只有一个是正确的.每小题选对 得分;不选、选错或选出的标号超过一个的不得分.请将 1-8 各小题所选答案的标号填写 得分;不选、 错或选出的标号超过一个的不得分 - 选出的标号超过一个的不得 小题后面给出表格的相应位置上. 在第 8 小题后面给出表格的相应位置上. 1.下列四个数中,其相反数是正整数的是( A.3 B. ) D.

1 3

C. 2

1 2


2.如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的,则这个几何体的俯视图是(

A.

B.

C.

D.

第 2 题图

3.在等边三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形和圆中,既是轴对称图形又是中心对称图 形的有( ) A.1 种 B.2 种 C.3 种 D.4 种 4.在一个不透明的袋子里装有两个红球和两个黄球,它们除颜色外都相同.随机从中摸出 一球, 记下颜色后放回袋中, 充分摇匀后, 再随机摸出一球, 两次都摸到黄球的概率是 ( ) A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4


D.

1 6

5.如图所示,数轴上点 P 所表示的可能是( A. 6 B. 10 P
1 0 1

C. 15

D. 31

2

3

4

O 第 6 题图

第 5 题图 6.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示,其中有水部分水面宽 0.8 米,最深处 水深 0.2 米,则此输水管道的直径是( ) A.0.4 米 B.0.5 米 C.0.8 米 D.1 米
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7.一块蓄电池的电压为定值,使用此蓄电池为电源时,电流 I (A)与电阻 R (Ω)之间 的函数关系如图所示, 如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过 10A, 那么此用电 器的可变电阻应( ) A.不小于 4.8Ω B.不大于 4.8Ω C.不小于 14Ω D.不大于 14Ω I/A y A 6 O 8 R/Ω O x

第 8 题图 第 7 题图 8.一艘轮船从港口 O 出发,以 15 海里/时的速度沿北偏东 60°的方向航行 4 小时后到达 A 处, 此时观测到其正西方向 50 海里处有一座小岛 B. 若以港口 O 为坐标原点, 正东方向为 x 轴的正方向, 正北方向为 y 轴的正方向, 海里为 1 个单位长度建立平面直角坐标系 1 (如图) , 则小岛 B 所在位置的坐标是( A. (30 3 50, 30) ) C. (30 3, 30) D. (30, 3) 30 B. (30, 3 50) 30

道小题, 二、填空题(本题满分 18 分,共有 6 道小题,每小题 3 分) 填空题( 请将 9-14 各小题的答案填写在第 14 小题后面给出表格的相应位置上 9.我国首个火星探测器“萤火一号”已通过研制阶段的考核和验证,并将于今年下半年发 射升空, 预计历经约 10 个月, 行程约 380 000 000 公里抵达火星轨道并定位. 380 000 000 将 公里用科学记数法可表示为 公里. 10.在第 29 届奥林匹克运动会上,青岛姑娘张娟娟为中国代表团夺得了历史上首枚奥运会 射箭金牌, 为祖国争得了荣誉. 下表记录了她在备战奥运会期间的一次训练成绩 (单位: : 环) 序号 成绩 1 9 2 9 3 10 4 9 5 8 6 10 7 10 8 9 9 8 10 7 11 10 12 9

根据表中的数据可得: 张娟娟这次训练成绩的中位数是 环, 众数是 环. 11.如图, AB 为 ⊙O 的直径, CD 为 ⊙O 的弦, ∠ACD = 42° ,则 ∠BAD = ° . 12.某公司 2006 年的产值为 500 万元,2008 年的产值为 720 万元,则该公司产值的年平均 增长率为 . 13.如图.边长为 1 的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另一个绕顶点 A 顺时 针旋转 45° ,则这两个正方形重叠部分的面积是 . D D A
B′ D′

C E

B
C′

A

O C 第 11 题图

B

B

6cm 1cm 3cm 第 14 题图

A

第 13 题图

14.如图,长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm,高为 6cm.如果用一根细线从点 A 开始 cm;如果从点 A 开始经过 4 经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B, 那么所用细线最短需要 个侧面缠绕 n 圈到达点 B,那么所用细线最短需要 cm.
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三、作图题(本题满分 4 分) 作图题( 用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹. 15.为美化校园,学校准备在如图所示的三角形( △ ABC )空地上修建一个面积最大的圆 形花坛,请在图中画出这个圆形花坛. 解: A

B 结论:

C

道小题) 四、解答题(本题满分 74 分,共有 9 道小题) 解答题( 16. (本小题满分 8 分,每题 4 分)

x + 1 x2 1 (1)化简: ÷ 2 x x

3 x 2 > x + 2, (2)解不等式组: 1 3 2 x 1 ≤ 7 2 x.

17. (本小题满分 6 分) 某中学为了解该校学生的课余活动情况,采用抽样调查的方式,从运动、娱乐、阅读和其他 四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好情况,并根据调查结果制作了如下两幅统计图. 人数/人 50 40 30 20 10 0 40 25 15 运动 娱乐 阅读 其他 人数统计图 项目 分布统计图 其他 运动 阅读 娱乐 40%

根据图中提供的信息解答下列问题: (1)补全人数统计图; (2)若该校共有 1500 名学生,请你估计该校在课余时间喜欢阅读的人数; (3)结合上述信息,谈谈你对该校学生课余活动的意见和建议(字数不超过 30 字) .

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18. (本小题满分 6 分) 在“六一”儿童节来临之际,某妇女儿童用品商场为吸引顾客,设立了一个可以自由转动 的转盘(如图,转盘被平均分成 20 份) ,并规定:顾客每购物满 100 元,就能获得一次转动 转盘的机会.如果转盘停止后,指针正好对准红色、黄色、绿色区域,那么顾客就可以分别 获得 80 元、50 元、20 元的购物券,凭购物券可以在该商场继续购物.如果顾客不愿意转转 盘,那么可直接获得 15 元的购物券. 转转盘和直接获得购物券,你认为哪种方式对顾客更合算?请说明理由.
红 绿 绿 黄 黄 绿 绿 黄 绿

第 18 题图 19. (本小题满分 6 分) 在一次数学活动课上, 老师带领同学们去测量一座古塔 CD 的高度. 他们首先从 A 处安置测 倾器,测得塔顶 C 的仰角 ∠CFE = 21° ,然后往塔的方向前进 50 米到达 B 处,此时测得仰 ,已知测倾器高 1.5 米,请你根据以上数据计算出古塔 CD 的高度. 角 ∠CGE = 37° (参考数据: sin 37° ≈

3 3 9 3 , tan 37° ≈ , sin 21° ≈ , tan 21° ) ≈ 5 4 25 8

C

F A

G

E

B 第 19 题图

D

20. (本小题满分 8 分) 北京奥运会开幕前, 某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销, 就用 32000 元购进了一批 这种运动服,上市后很快脱销,商场又用 68000 元购进第二批这种运动服,所购数量是第一 批购进数量的 2 倍,但每套进价多了 10 元. (1)该商场两次共购进这种运动服多少套? (2)如果这两批运动服每套的售价相同,且全部售完后总利润率不低于 20%,那么每套售 利润 价至少是多少元?(利润率 = ×100% ) 成本

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21. (本小题满分 8 分) 已知:如图,在 ABCD 中,AE 是 BC 边上的高,将 △ ABE 沿 BC 方向平移,使点 E 与 点 C 重合,得 △GFC . (1)求证: BE = DG ; (2)若 ∠B = 60° ,当 AB 与 BC 满足什么数量关系时,四边形 ABFG 是菱形?证明你的 结论. G A D



B

E F 第 21 题图

C

22. (本小题满分 10 分) 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售, 对历年市场行情和水产品养殖情 况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价 y1 (元)与销售月份 x (月)满足关系

3 x + 36 ,而其每千克成本 y2 (元)与销售月份 x (月)满足的函数关系如图所示. 8 (1)试确定 b、c 的值; (2)求出这种水产品每千克的利润 y (元)与销售月份 x (月)之间的函数关系式;
式y= (3) “五一”之前,几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少? y2(元)
1 y2 = x 2 + bx + c 8

25 24 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x(月) 第 22 题图

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23. (本小题满分 10 分) 我们在解决数学问题时,经常采用“转化” (或“化归” )的思想方法,把待解决的问题,通 过某种转化过程,归结到一类已解决或比较容易解决的问题. 譬如,在学习了一元一次方程的解法以后,进一步研究二元一次方程组的解法时,我们通常 采用“消元”的方法,把二元一次方程组转化为一元一次方程;再譬如,在学习了三角形内 角和定理以后,进一步研究多边形的内角和问题时,我们通常借助添加辅助线,把多边形转 化为三角形,从而解决问题. 问题提出: 问题提出:如何把一个正方形分割成 n ( n ≥ 9 )个小正方形? 为解决上面问题,我们先来研究两种简单的“基本分割法” . 基本分割法 1:如图①,把一个正方形分割成 4 个小正方形,即在原来 1 个正方形的基础上 增加了 3 个正方形. 基本分割法 2:如图②,把一个正方形分割成 6 个小正方形,即在原来 1 个正方形的基础上 增加了 5 个正方形.

图①

图②

图③

图④

图⑤

图⑥

问题解决: 问题解决:有了上述两种“基本分割法”后,我们就可以把一个正方形分割成 n ( n ≥ 9 ) 个小正方形. (1)把一个正方形分割成 9 个小正方形. 一种方法:如图③,把图①中的任意 1 个小正方形按“基本分割法 2”进行分割,就可增加 5 个小正方形,从而分割成 4 + 5 = 9 (个)小正方形. 另一种方法:如图④,把图②中的任意 1 个小正方形按“基本分割法 1”进行分割,就可增 加 3 个小正方形,从而分割成 6 + 3 = 9 (个)小正方形. (2)把一个正方形分割成 10 个小正方形. 方法:如图⑤,把图①中的任意 2 个小正方形按“基本分割法 1”进行分割,就可增加 3 × 2 个小正方形,从而分割成 4 + 3 × 2 = 10 (个)小正方形. (3)请你参照上述分割方法,把图⑥给出的正方形分割成 11 个小正方形(用钢笔或圆珠笔 画出草图即可,不用说明分割方法) (4)把一个正方形分割成 n ( n ≥ 9 )个小正方形. 方法:通过“基本分割法 1”“基本分割法 2”或其组合把一个正方形分割成 9 个、10 个和 、 11 个小正方形,再在此基础上每使用 1 次“基本分割法 1” ,就可增加 3 个小正方形,从而 把一个正方形分割成 12 个、13 个、14 个小正方形,依次类推,即可把一个正方形分割成 n ( n ≥ 9 )个小正方形. 从上面的分法可以看出, 解决问题的关键就是找到两种基本分割法, 然后通过这两种基本分 割法或其组合把正方形分割成 n ( n ≥ 9 )个小正方形. 类比应用: 类比应用:仿照上面的方法,我们可以把一个正三角形分割成 n ( n ≥ 9 )个小正三角形. (1)基本分割法 1:把一个正三角形分割成 4 个小正三角形(请你在图 a 中画出草图) . (2)基本分割法 2:把一个正三角形分割成 6 个小正三角形(请你在图 b 中画出草图) .

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(3)分别把图 c、图 d 和图 e 中的正三角形分割成 9 个、10 个和 11 个小正三角形(用钢笔 或圆珠笔画出草图即可,不用说明分割方法)

图a

图b

图c

图d

图e

(4)请你写出把一个正三角形分割成 n ( n ≥ 9 )个小正三角形的分割方法(只写出分割 方法,不用画图) .

24. (本小题满分 12 分) 如图,在梯形 ABCD 中, AD ∥ BC , AD = 6cm ,CD = 4cm , BC = BD = 10cm ,点 P 由 B 出发沿 BD 方向匀速运动,速度为 1cm/s;同时,线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运 动,速度为 1cm/s,交 BD 于 Q,连接 PE.若设运动时间为 t (s) 0 < t < 5 ) ( .解答下列问 题: (1)当 t 为何值时, PE ∥ AB ? (2)设 △PEQ 的面积为 y (cm2) ,求 y 与 t 之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻 t ,使 S△ PEQ =

2 S△ BCD ?若存在,求出此时 t 的值;若不存在, 25

说明理由. (4)连接 PF ,在上述运动过程中,五边形 PFCDE 的面积是否发生变化?说明理由.

A

E Q

D

P B 第 24 题图 F C

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二○○九年山东省青岛市初级中学学业水平考试 ○○九年山东省青岛市初级中学学业水平考试 数学试题参考答案及评分标准
说明: 1.如果考生的解法与本解法不同,可参照本评分标准制定相应评分细则. 2.当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分时,如果这一步以后的解答未改变这 道题的内容和难度, 可视影响程度决定后面部分的给分. 但不得超过后面部分应给分数的一 半,如果这一步以后的解答有较严重的错误,就不给分. 3.为阅卷方便,本解答中的推算步骤写得较为详细,但允许考生在解答过程中,合理省略 非关键性的推算步骤. 4.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 一、选择题(本题满分 24 分,共有 8 道小题,每小题 3 分) 选择题( 道小题, 1 2 3 4 5 题号 答案 C D B C B 道小题, 二、填空题(本题满分 18 分,共有 6 道小题,每小题 3 分) 填空题( 9 10 题号 答案 题号 答案

6 D

7 A 11 48 14

8 A

3.8 × 108
12 20%

9 13

9

2 1

10

2 9 + 16n 2 (或 36 + 64n2 )

三、作图题(本题满分 4 分) 作图题( 15.正确画出两条角平分线,确定圆心; 2 分 确定半径; 3 分 正确画出图并写出结论. 4 分 解答题( 道小题) 四、解答题(本题满分 74 分,共有 9 道小题) 16. (本小题满分 8 分)

x +1 x2 (1)解:原式 = i x ( x + 1)( x 1)
= x . 4 分 x 1

① 3 x 2 > x + 2 (2) 1 3 2 x 1≤ 7 2 x ②
解:解不等式①得 x > 2 , 解不等式②得 x ≤ 4 . 所以原不等式组的解集为 2 < x ≤ 4 . 4 分 17. (本小题满分 6 分) 解: (1)正确补全统计图; 2 分
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(2)300 人. 4 分 (3)合理即可. 6 分 18. (本小题满分 6 分) 解: 80 ×

1 3 5 + 50 × + 20 × = 16.5 (元) 4 分 , 20 20 20 ∵ 16.5元 > 5元

∴选择转转盘对顾客更合算. 6 分 19. (本小题满分 6 分) 解:由题意知 CD ⊥ AD , EF ∥ AD , C ∴ ∠CEF = 90° ,设 CE = x , 在 Rt△CEF 中,

tan ∠CFE =

CE CE x 8 ,则 EF = = = x; EF tan ∠CFE tan 21° 3
F A G E

在 Rt△CEG 中,

CE tan ∠CGE = , GE CE x 4 则 GE = = = x ; 4 分 tan ∠CGE tan 37° 3 ∵ EF = FG + EG , 8 4 ∴ x = 50 + x . 3 3 x = 37.5 , ∴ CD = CE + ED = 37.5 + 1.5 = 39 (米) .

B 第 19 题图

D

答:古塔的高度约是 39 米. 6 分 20. (本小题满分 8 分) 解: (1)设商场第一次购进 x 套运动服,由题意得:

68000 32000 = 10 , 3 分 2x x 解这个方程,得 x = 200 . 经检验, x = 200 是所列方程的根. 2 x + x = 2 × 200 + 200 = 600 .
所以商场两次共购进这种运动服 600 套. 5 分 (2)设每套运动服的售价为 y 元,由题意得:

600 y 32000 68000 ≥ 20% , 32000 + 68000
解这个不等式,得 y ≥ 200 , 所以每套运动服的售价至少是 200 元. 8 分 21. (本小题满分 8 分) 证明: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB = CD . ∵ AE 是 BC 边上的高,且 CG 是由 AE 沿 BC 方向平移而成. ∴ CG ⊥ AD . . ∴ ∠AEB = ∠CGD = 90°
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∵ AE = CG , ∴ Rt△ ABE ≌ Rt△CDG . ∴ BE = DG . 4 分 (2)当 BC =

3 AB 时,四边形 ABFC 是菱形. 2 ∵ AB ∥ GF , AG ∥ BF , ∴四边形 ABFG 是平行四边形. G A , ∵ Rt△ ABE 中, ∠B = 60° D ∴ ∠BAE = 30° , 1 ∴ BE = AB . 2 B C 3 E F ∵ BE = CF,BC = AB , 第 21 题图 2 1 ∴ EF = AB . 2 ∴ AB = BF . ∴四边形 ABFG 是菱形. 8 分

22. (本小题满分 10 分) 解: (1)由题意:

1 2 25 = 8 × 3 + 3b + c 24 = 1 × 42 + 4b + c 8 7 b = 1 8 解得 4 分 c = 29 1 2
(2) y = y1 y2

3 15 1 1 = x + 36 x 2 x + 29 8 8 2 8 1 3 1 = x 2 + x + 6 ; 6 分 8 2 2 1 2 3 1 (3) y = x + x + 6 8 2 2 1 1 1 = ( x 2 12 x + 36) + 4 + 6 8 2 2 1 = ( x 6) 2 + 11 8 1 ∵a = < 0, 8
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∴抛物线开口向下. 在对称轴 x = 6 左侧 y 随 x 的增大而增大. 由题意 x < 5 ,所以在 4 月份出售这种水产品每千克的利润最大. 9 分 最大利润 = (4 6) + 11 = 10
2

1 8

1 (元) 10 分 . 2

23. (本小满分 10 分) 解:把一个正方形分割成 11 个小正方形:

2 分 图⑥ 把一个正三角形分割成 4 个小正三角形:

3 分 图a 把一个正三角形分割成 6 个小正三角形:

5 分 图b 把一个正三角形分割成 9 个、10 个和 11 个小正三角形:

8 分 把一个正三角形分割成 n ( n ≥ 9 )个小正三角形的分割方法:通过“基本分割法 1”“基 、 本分割法 2”或其组合,把一个正三角形分割成 9 个、10 个和 11 个小正三角形,再在此基 础上每使用 1 次“基本分割法 1” ,就可增加 3 个小正三角形,从而把一个正三角形分割成 12 个、13 个、14 个小正三角形,依次类推,即可把一个正三角形分割成 n ( n ≥ 9 )个小 正三角形. 10 分 24. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ PE ∥ AB ∴

图c

图d

图e

DE DP = . DA DB 而 DE = t,DP = 10 t , t 10 t ∴ = , 6 10 15 ∴t = . 4 15 ∴当 t = (s),PE ∥ AB . 2 分 4

A P B

E Q N F

D M C

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(2)∵ EF 平行且等于 CD , ∴四边形 CDEF 是平行四边形. ∴ ∠DEQ = ∠C,∠DQE = ∠BDC . ∵ BC = BD = 10 , ∴ ∠DEQ = ∠C = ∠DQE = ∠BDC . ∴ △DEQ ∽△BCD .

DE EQ = . BC CD t EQ = . 10 4 2 ∴ EQ = t . 5 过 B 作 BM ⊥ CD ,交 CD 于 M ,过 P 作 PN ⊥ EF ,交 EF 于 N .


BM = 102 22 = 100 4 = 96 = 4 6 .
∵ ED = DQ = BP = t , ∴ PQ = 10 2t . 又 △PNQ ∽△BMD ,

PQ PN = , BD BM

10 2t PN = , 10 4 6
t PN = 4 6 1 5 S△ PEQ = 1 1 2 4 6 2 4 6 t EQi PN = × t × 4 6 1 = t + t . 6 分 2 2 5 25 5 5 1 1 iCDi BM = × 4 × 4 6 = 8 6 . 2 2

(3) S△ BCD = 若 S△ PEQ = 则有

2 S△ BCD , 25

4 6 2 4 6 2 t + t = ×8 6 , 25 5 25

解得 t1 = 1,t2 = 4 . 9 分
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(4)在 △PDE 和 △FBP 中,

PD = BF = 10 t, △PDE ≌△FBP ∠PDE = ∠FBP,
∴ S五边形PFCDE = S△ PDE + S四边形PFCD

DE = BP = t,

= S△ FBP + S四边形PFCD

= S△ BCD = 8 6 .
∴在运动过程中,五边形 PFCDE 的面积不变. 12 分

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