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数学:2.1.4《实数与向量的积》课件(3)(新人教b版必修4)


向量数乘

? a
记作

? a

? a

? a

? ? ? ?a ?a ?a
? ? ? ? (?a ) ? (?a ) ? (?a ) ? ?3a
B

? ? ? ? a ? a ? a ? 3a
A
P Q

1 则 AP ? ___ 3 AB

2 BP ?? ___ 3 AB

? ? 实数 ? 和向量 a 的乘积是一个向量,记 作 ? a 。
(1)注: 数乘的结果仍是一个向 量。
? ? (2) | ?a |?| ? || a |
? ? ? ? (3)?a(a ? 0)的方向: ? ? 0, 与a同向; ? ? ? 0, 与a反向; ? ? ? ? 特别的 ? ? 0或a ? 0, 则?a ? 0
? ? ? 几何意义:把向量 a沿着a的方向或a的反方向 放大或缩小。

? ? ? (1)根据定义,求作向量 ( 3 2a )和(6a )(a为非零向量), 引例: 并进行比较 . ? ? ? ? ? ? (2)已知向量a, b , 求作向量2(a ? b )和2a ? 2b , 并进行
比较。

? a
? b ?

? 3(2a )
? ? 3(2a ) = 6 a
? ? a ?b
? ? 2a ? 2b

a

? 2b
? 2a

? ? ? ? 2(a ? b ) ? 2a ? 2b

? ? 设a, b 为任意向量, ?,?为任意实数,则有:

? ? ( 1 )?(?a ) ? (?? )a ? ? ? (2)(? ? ? )a ? ?a ? ?a ? ? ? ? (3)? (a ? b ) ? ?a ? ?b

例1 计算下列各式:

1 ? a (1)( ?2) ? 2

? ? ? ? (2) 2(a ? b ) ? 3(a ? b ) ? ? ? ? (3) (? ? ? )(a ? b ) ? (? ? ? )(a ? b ) ? ? ? ? (4) 4(2a ? 3b ) ? 5(3a ? 2b )

? 例2 设x 是未知向量,解方程 ? ? ? ? ? ( 5 x ? a ) ? 3( x ? b ) ? 0
? ? ? 解:原式变形为 8 x ? ?5a ? 3b ? 5? 3? ?x ? ? a ? b 8 8

变式练习1:
如图: 平行四边形ABCD中,M , N分别是DC,BC的中点, ? ? ? ? 若 AM ? c , AN ? d , 试用c , d表示AB和 AD.

? y
A

D

? c
? x

M

? d

C N B

2? 4 ? ?? x ? ? c ? d ? 3 3 ? ? 4? 2 ? ? y? c? d 3 3 ?

OA? ? 3OA, A?B? ? 3 AB 例3 如图示:已知 说明向量OB与OB?的关系.
解: OB? ? OA? ? A?B? ? 3OA ? 3AB ? 3(OA ? AB) ? 3OB
长度是OB 的3倍。
B
A
A?

B?

O

所以OB?与OB共线且同向,

例 4:

在?ABC中,设D为边BC的中点,求证: 1 AD ? ( AB ? AC) A 2
A M A

N

B
B D C

D

C
B D C

M

变式练习2:
2.如图示,四边形 ABCD对角线AC与BD的中点M , N .且M , N的中点为G , P为该平面内的任意一点 . 求证 : 4 PG ? PA ? PB ? PC ? PD 证明:? M,N是AC, BD中点
? P A ? P C ? 2P M PB ? PD ? 2 PN 又 ? G是MN中点 ? PM ? PN ? 2 PG 得证。
B
P A N

D

G

M C

? PA ? PB ? PC ? PD ? 2( PM ? PN ) ? 4 PG

开放创新:
已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上, (不包括端点 A,C),则AP ? ( A )

A).? ( AB ? AD) B).? ( AB ? BC) C ).? ( AB ? AD) D).? ( AB ? BC)

? ? (0,1)
2 ? ? (0, ) 2
D P A B C

? ? (0,1)
2 ? ? (0, ) 2

? ? 1.平行四边形ABCD中, AB ? a , AD ? b , AN ? 3NC , M为BC中点, ? ? D C 则用a , b 表示MN . N

思考与作业 :

M B A ? ? 2.已知OA ? a , OB ? b , C为线段AB上距A较近的一个三等分点, ? ? D为线段CB上距C较近的一个三等分点, 用a , b 表示OD. B D C O A

? ? ? ? CD AE 1 3.在?ABC 中, ? ? , 记 BC ? a , CA ? b , 试用 a , b 表示 DE . DA EB 2
E B A D C

变式练习2:
? ? 已知OA ? a , OB ? b , 对任意点M , 关于点A的 对称点为S,点S关于点B的对称点为N, 试用 ? ? 向量a , b 表示MN。
简析: MN ? 2AB ?( 2 OB ? OA) ? ? ? 2(b ? a )
N

? b
O

M

B

? a
S

A

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回到家以后莫艳艳仍是抱住她哭,她开始显得有点手足无措了起来,不知道该说点什么才好,倒是莫艳艳带着哭腔瞪她“我都 哭的那么伤心了,你怎么都不知道安慰下我呢,就是看到条流浪狗哭得那么悲惨,一般人也会起恻隐之心,你这个人是怎么搞 的?”她越说便哭得越发的伤心。 等她情绪稍稍好转些的时候,孤独晓寂赶忙去给她接了杯温水,又拿了条温热的毛巾递给她“喝点水,也把脸擦擦!”,然后 便神经紧绷的端坐在莫艳艳的身边。 莫艳艳看到她那样子忍不住破涕一笑“你至不至于,我有让你那么紧张吗?” 孤独晓寂也总算缓和了下来“我这个人不知道要怎么安慰人,所以不好意思啊”她仍是温和的笑。 莫艳艳又忽的动情抱住她“为什么你不是个男的呢,你是个男的我就一定要嫁给你!”。 孤独晓寂被她的话语骇了一跳,浑身都变得僵硬了起来,莫艳艳忍不住拍她胸脯一巴掌“我是逗你呢,你这个人,怎么老是那 么认真呢?” 莫艳艳忍不住开口问她“孤独晓寂,我问你啊,你这么些年也不找男人,我看你也没有朋友来往,你都是怎么过的啊?” 孤独晓寂轻柔地开口“人嘛,难免会与孤独为伴,所以要学会跟自己变成好朋友!”是啊,她从小到大,因为学习太过优异, 便总是格外的显得鹤立鸡群,也导致她从小到大没有朋友。 莫艳艳撇撇嘴“不用跟我讲那么斯文的话,满脑子迂腐。”她又开口“我这次呢,是彻底跟老华分了,一开始的时候他说他为 我做什么都可以,离婚、给我最好的生活、种种,后来呢,我一不小心有了他的孩子,我想要他跟我在一起,他很想要那个孩 子,可是他又不想跟他老婆离婚,我一赌气便把孩子打掉了,他很生气,就不再跟我联系了,我后来去找过他几次,我跟他说 不结婚也可以,我只想跟你在一起,他居然连这个要求都不愿意,我就缠着他不放,可能年纪越来越大了吧,就越来越想有一 个稳定的归宿吧,他居然开始故意避开我,我到他的地点闹、他家闹,他最后扔了我一笔钱让我赶紧走,诺,就是今天,我突 然便觉得没了意思,没要他的钱,就走了。”


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