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2008年高考谈数形结合法在解题中的应用


?24?

中学数学月刊

2009年第4期

纵观2 oo 8年高考,谈数形结合法在解题中的应用
黄 萍 (黑龙江省大庆实验中学
163316)

我国数学家华罗庚说过:“数与形,本是相倚 依,焉能分作两边飞;数无形时少直觉,形少数时 难人微.”数形结合思想是数学解题中常用的思 想方法,它可以使某些抽象的数学问题直观化、生 动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数 学问题的本质.若能把“数”与“形”很好地结合起 来,那么一些看似复杂的问题会迎刃而解.掌握了 此方法也会使解题手段从“单一”走向“灵活”.下 面以2008年高考试题为例,谈谈数形结合法在解 题中的应用.


点O的圆的方程. 所以c终点的轨迹是以
1 1

,o

(专,专)为圆心,以警为半
径的圆. 所以求I 的最大值. 如图3可知,I

c c

0 \



丽一

一工

l的最大值即
图3

求圆上点到O(O,o)的距离

I的最大值即为圆的直径长厄

数形结合法在线性规划中的应用 例4(2008年福建理第8题)若实数z,y满

数形结合法在判断方程根的个数问题中的应用 例1(2008年湖北文第13题)方程21+z2

—3的实数解个数为 分析



足{三三j-1≤o’则兰的取值范围为(
(A)(o,1)

)..

此题若直接解方



(B)(O,1]

J, /

程较为困难,因此将原方程

看成求函数y=严与y=3
一z2的图象交点个数问题. 解 在同一个直角坐标 系中分别画出y=21与y= 3一z2的图象.如图1可知原 方程有两个根.


kQ


(C)(1,+。o)

(D)[1,+。。)







解卫=z羔表示可 o Z——U
行域内的点与(O,o)点连线 的斜率,如图4可知点>1.


.、/ .?
/o
图‘4



图1

数形结合法在圆中的应用 例5(2008年安徽理第8题)若过点A(4,

数形结合法在解不等式中的应用 例2(2008年上海理第8题)设函数,(z)

o)的直线z与曲线(z一2)2+,=1有公共点,则
直线z的斜率的取值范围为(
).


是定义在R上的奇函数,若当z∈(o,+。。)时 ,(z)=lg z,则满足厂(z)>o的z的取值范围是
l,

(A)[一店,后]
(B)(一√i,√虿)





由奇函数的图象

关于原点对称,可得函数
,(z)在R上的图象.如图2 可知若厂(z)>o,则z的取 值范围是(一1,o)U(1, +∞).


../1 :。
广 f
图2



(c)[_譬,争 (D)(-譬,譬)
解 如图5可知zl,Z2

一 ‘

入/. 杪\, 之

图5



与圆刚好相切,恰有一个交点,

数形结合法在平面向 量中的应用

所以缸≤危≤心.而乜=一等,‰=等,选c
o o

例3(2008年浙江理第9题)已知口,6是平 面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(口 一c)?(6一c)一O,则I
(A)1 (B)2




数形结合思想在圆锥曲线中的应用 例6(2008年江西文第7题)已知F1,F2是

I的最大值是(


).

椭圆的两个焦点,满足砀矗?砚瓦=o的点M总
在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是(
(A)(o'1) ).

(C)√2

(D)华




设口=(1,o),6=(o,1),c=o,y),代

(B)(o,丢]

人题中关系式可得:z2+y2一z—y=0,此为过原

万方数据

2009年第4期

中学数学月刊 解


?25?

(c)(o,譬)
为直径的圆.

解由j两.砀艺=

(D)[譬'1)
吒了’ 气卜 \、登 2一/。x
图6

由抛物线定义可


I,

知P到该抛物线准线的距

o可知,M的轨迹是以焦距
如图6,f<6,所以c2 <炉,即c2<口2一c2,

离等于到焦点(丢,o)的距
离,如图7可知:当点(o, 2),点P,焦点在同一直线 上时,点P到点(o,2)的距

‘j二一 八F
\\ 、、’●,~
图7







得已2<去,所以e∈


离与P到该抛物线焦点的距离之和最小.

厂————r—————————一

(o,霉).
例7(2008年辽宁理第10题)已知点P是 抛物线3,2=2z上的一个动点,则点P列点(o,2)

所以最小距离为./(o一告)2+(2一o)2=
V 厶

丁’
以上分析侧重以形助数,数形结合的应用关 键还在于对代数表达式的几何意义的主观感知, 这需要全面综合多方位地掌握数学基本概念,因 此在教学中还应该注意培养学生应用数形结合法 解题的意识,争取做到“胸中有图,见数想图”,帮 助学生拓宽解题思路.

、/碌

的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值
为(
).

(A)华(B)3(c)括(D)要

信息技木与数学谋程整合二Excel篇(2)
徐稼红 (接上期) 3.2绘制函数图象 (苏州大学数学科学学院
215006)

操作步骤

(1)生成自变量的值:在A1,A2

内分别输入o,O.1,选中这两个单元格后拖拽右 下角黑色填充柄至单元格内出现6.3时为止(z∈

EXcel中的“图表”命令,可以完成由“表”到
“图”的转换.这里的“图”指的是各种统计图,包 括“平滑线散点图”.生成“平滑线散点图”的过程 实际上也是“列表、描点、连线”的过程,这与中学

[o,27c]).
(2)生成函数值:在Bl内输入“=sin(A1)”, 双击B1的填充柄(得到与A列对应的正弦值). (3)成图:光标位于数据区内(或选中A,B两 列),选择“插入/图表/XY散点图/平滑线散点 图”后单击“完成”,得到图6.

函数作图的基本思想吻合.如果添置“滚动条”控
制参数,那么还能作出动态变化的函数图象.
3.2.1

函数y=厂(z)的图象

函数y=厂(z)的特点是解析式已经给出,此 类函数可按例4介绍的方法作出图象. 例4(必修4“1.3.2 图象. 分析 正弦函数既可用数(坐标)也可用形
图6

三角函数的图象与性

质”[1])作出正弦函数y=sin z在一个周期内的

(有向线段)来刻画.若引出“五点法”作正弦曲
线,宜用Excel来演示;若用“正弦线”作图,则“几 何画板”是理想的平台(详见几何画板篇). Excel绘制函数图象的基本思想是列表、成 图,“列表”利用Excel“自动填充”和“相对引用” 功能产生两列数(分别表示自变量和对应的函数 说明 (1)教学中可引导学生观察图6,让

他们逐一指出特殊点或关键点(最高点、最低点、

与z轴的交点),说明五点(o,o),(号,1),(7c,

值),“成图”指通过“图表”命令生成图象.

o),(号7c,一1),(2兀,o)大致刻画了正弦函数在

万方数据

纵观2008年高考,谈数形结合法在解题中的应用
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 黄萍 黑龙江省大庆实验中学,163316 中学数学月刊 ZHONGXUE SHUXUE YUEKAN 2009,""(4) 0次

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