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浙江省杭州市2013年1月高三第一次高考科目教学质量检测理科数学试题


浙江省杭州市 2013 年 1 月高三第一次高考科目教学质量检测 理科数学试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 2 1. 若复数 z ? 2i ? ,其中 i 是虚数单位,则复数 z 的模为( B ) 1? i 2 A. B. 2 C. 3 D. 2 2 2 ?1 ? i ? 2 【解】由题意,得: z ? 2i ? ? 2i ? ? 1? i 1? i ?1 ? i ??1 ? i ?
复数 z 的模 z ? 12 ? ? ?1? ?
2

2.

2. 设 a ? R 则 a ? 4 ” “直线 l1 : ax ? 2 y ? 3 ? 0 与直线 l2 : 2 x ? y ? a ? 0 平行” ( C ) “ 是 的 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【解】由题意: a ? 4 ? ? B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

? l1 : 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 ? l1 // l2 ,即充分。 l2 : 2 x ? y ? 4 ? 0 ?

又 l1 // l2 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 ? a ? 4 ,注意到此时 l1 , l2 不重合,即必要。 3. 设函数 f ? x ? ? 2 ,则下列结论中正确的是( D )
x

A. f ? ?1? ? f ? 2 ? ? f ? 2

C. f ? 2 ? ? f ? 2 ? f ? ?1? 【解】由题意, f ( x) ? 2 ? 2
x ?x

?

?

?

?

B. f ? 2 ? f ? ?1? ? f ? 2 ? D. f ? ?1? ? f ? 2 ? f ? 2 ?

?

?

?

?

? f (? x) ,即 f ( x) 为偶函数。

? f (?1) ? f (1) ? 故 ? f (?2) ? f (2) . 显然 x ? 0时,f ( x) ? 2x 单调递增。 ? ? f (? 2) ? f ( 2) 所以 f (?1) ? f (1) ? f (? 2) ? f ( 2) ? f (?2) ? f (2)
4. 设等差数列 ?a n ?的前 n 项和是 S n , ?am ? a1 ? ?am?1 ( m?N ,且 m ? 2 ), 若 则必定有 C ) (
*

A. Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0 C. Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0 【解】由题意,得: ?am ? a1 ? ?am?1 ? ?

B. Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0 D. Sm ? 0 ,且 Sm?1 ? 0

?a1 +am ? 0 。 ?a1 ? am?1 ? 0 a ? am a ? am?1 显然,易得 S m ? 1 ? m ? 0 , Sm ?1 ? 1 ? (m ? 1) ? 0 2 2

1

5.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是( B ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【解】由题意,得:

n ? 5, k ? 0 ? n ? 16, k ? 1 ? n ? 8, k ? 2 ? n ? 4, k ? 3 ? n ? 2, k ? 4 ? n ? 1, k ? 5 ? 终止 当 n ? 2 时,执行最后一次循环; 当 n ? 1 时,循环终止,这是关键。输出 k ? 5 。

6. 设函数 f ? x ? ? loga x ( 0 ? a ? 1 )的定义域为 ?m, n? ( m ? n )值域为 ?0, 1? ,若 ? ? ? ?

1 n ? m 的最小值为 ,则实数 a 的值为( D ) 3
1 2 2 或 C. 4 3 3 【解】由题意,分 n ? 1 或 m ? 1 两种情况: 2 (1) n ? 1 时, m ? ,此时 f ( x) 在 [m, n] 上单调递减 3 2 故 f (m) ? log a m ? 1 ? a ? 3 4 (2) m ? 1 时, n ? ,此时 f ( x) 在 [m, n] 上单调递增 3 3 故 f (n) ? log a n ? 1 ? a ? 4
A. B.

1 4

D.

2 3 或 3 4

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F1 的直线 l 交双曲线左支于 A 、 7.设双曲线 4 3 B 两点,则 BF2 ? AF2 的最小值为( B )
A.

19 2

B. 11

C. 12

D. 16

【解】由题意,得:

? AF2 ? AF1 ? 2a ? 4 ? ? BF2 ? AF2 ? 8 ? AF1 ? BF1 ? 8 ? AB ? ? BF2 ? BF1 ? 2a ? 4 ? b2 ? 11 . ? 3 ,故 BF2 ? AF2 显然,AB 最短即通径, AB min ? 2 ? min a

?

?

2

8. 已知集合 A ?

A ? B ,则实数 r 可以取的一个值是( A )
2 ?1
B.

?? x, y ? x ? x ? 1? ? y ? y ? 1? ≤ r? ,集合 B ? ?? x , y ? x
3
C. 2

2

? y 2 ≤ r 2 ,若
2 2

?

A.

D. 1 ?

2 2 ? 1? ? 1? 1? ? ? ? 2 2 2 【解】 A ? ?? x, y ? ? x ? ? ? ? y ? ? ≤ r ? ? 、 B ? ? x , y ? x ? y ≤ r 2? ? 2? 2? ? ? ? ? 不难分析, A 、 B 分别表示两个圆,要满足 A ? B ,即两圆内切或内含。 2 故圆心距 O1O2 ? ≤ r1 ? r2 ,即: 2 2 1 1 1 1 ≤ r ? r ? ? r2 ? 2? r ? r ? ? r ? ≥ 2 2 2 2 2

?

?

? ? 1 1 1 ? r ? r ? 2 r ? ? 1? ≥ 0 ? r ? 2 r ? ? 1≥ 0 ? r ? 1≥ 2 r ? ? ? 2 2 2 ? ? ? r 2 ? 2r ? 1 ≥ 0 ? r ≥
显然, r ≥

1? 6 2

1? 6 ? 2 ,故只有(A)项满足。 2

?1 ? x ? 1 , x ? ? ?? , 2 ? ? 9. 设函数 f ? x ? ? ? 1 ,则函数 F ? x ? ? xf ? x ? ? 1 的零点的个数为 ? f ? x ? 2 ? , x ? ? 2 , ?? ? ?2
( C ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

1 【解】由题意, F ( x) ? xf ( x) ? 1的零点,即 f ( x)与 的交点。 x 1 3 1 易绘 x ? (??, 2) 的函数图象,且 f (0) ? f (2) ? 0, f (1) ? 1, f ( ) ? f ( ) ? 2 2 2 1 1 当 x ? [2, ??) 时, f (4) ? f (2) ? 0, f (6) ? f (4) ? 0, ? 2 2 依次类推,易得 f (4) ? f (6) ? f (8) ? ? ? f (2n) ? 0 1 1 1 1 1 1 又 f (3) ? f (1) ? , 同理 f (5) ? f (3) ? , f (7) ? f (5) ? 2 2 2 4 2 8 不难绘出 x ? [2, ??) 的函数图象如右,显然零点共 6 个,其中左边 1 个,右边 5 个。

3

sin2 a3 ? cos 2 a3 ? cos 2 a3 cos 2 a6 ? sin2 a3 sin2 a6 10.设等差数列 ?an ? 满足: ? 1 ,公差 sin ? a4 ? a5 ?

d ? ? ?1, 0? . 若当且仅当 n ? 9 时,数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 的
? 7? 4? ? , 3 ? ? 6 ?
2

取值范围是( B ) A. ? B. ?

? 4? 3? ? , 2 ? ? 3 ?

C. ?

? 7? 4? ? , 3 ? ? 6 ?

D. ? , 2 ? ? 3 ?

? 4?

3? ?

【解】由已知等式得:

? sin 1?

a3 ? sin2 a3 sin2 a6 ? ? ? cos 2 a3 ? cos 2 a3 cos 2 a6 ? sin ? a4 ? a5 ?
2 2

? sin a3 cos a6 ? ? ? cos a3 sin a6 ? = sin ? a4 ? a5 ? sin ? a3 ? a6 ? sin ? a3 ? a6 ? = sin ? a4 ? a5 ?

∴ sin a3 ? a6 ? 1 ,且 a3 ? a6 ? ?3d ,∴ d ? ?

?

?

?
6

.

又当且仅当 n ? 9 时,数列 an 的前 n 项和 Sn 取得最大值, 即: a9 ? 0 , a10 ? 0 ? ?

? ?

?a9 ? a1 ? 8d ? 0 4? 3? . ? ? a1 ? 3 2 ?a10 ? a1 ? 9d ? 0

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

2? ? 11.二项式 ? 1 ? ? 的展开式中第四项的系数为 x? ?
3 【解】第四项 T4 ? C5 ? ? ?

5

. ?80

? ?

2? ?3 ? ? ?80 x ,系数为 ?80 x?

3

12. 从 0 、 1 、 2 、 3 中任取三个数字,组成无重复数字的三位数中,偶数的个数是 (用数字回答). 10 【解】考虑三位数“没 0”和“有 0”两种情况。 【1】没 0:2 必填个位, A2 种填法; 【2】有 0:0 填个位, A3 种填法; 0 填十位,2 必填个位, A2 种填法;
2 2 1 所以,偶数的个数一共有 A2 + A3 + A2 =10 种填法。 2 2

1

13.无穷数列 1, 2 , 2 , 3 , 3 , 3 , 4 , 4 , 4 , 4 , 5 ,? 的首项是 1,随后两项都是 2,接下来 3 项都是 3, 再接下来 4 项都是 4,?,以此类推.记该数列为 ?a n ? ,若 an?1 ? 20 , an ? 21 ,则 【解】将 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4, 4, 4,5,? 分组成 ?1? ,?2, 2? ,?3, 3, 3? ,?4, 4, 4, 4? ,?5 ,? ,?. ? 第 1 组有 1 个数,第 2 组有 2 个数,以此类推...
4

n?

. 211

显然 an?1 ? 20 在第 20 组, an ? 21 在第 21 组。 易知,前 20 组共 所以, n ? 211 .

(1 ? 20) ? 20 ? 210 个数. 2

14.若正数 x , y 满足 2 x ? y ? 3 ? 0 ,则 【解】∵ 2 x ? y ? 3 ? 0 ,∴

x ? 2y 的最小值为 xy

.3

2x y ? ?1. 3 3 x ? 2 y 2 1 ? 2 1 ? ? 2x y ? 2 ? y x ? 5 2 5 ∴ ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ≥ ? 2? ? 3. xy x y ? x y ? ? 3 3 ? 3? x y ? 3 3 3
15. 在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 a ? b ?
2 2

1 2 c . 则直线 2

ax ? by ? c ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 所截得的弦长为 【解】由题意:设弦长为 l a?0? b?0? c c 圆心到直线的距离 d ? ? ? 2 2 2 1 2 a ?b c 2

.2 7

?l? 由几何关系: r ? d ? ? ? ,得: l ? 2 7 ? 2?
2 2

2

?y? x≥0 ? 16.若整数 x 、 y ,满足不等式组 ? x ? y ? 7 ≤ 0 ,则 2x ? y 的最大值为 .. ?x≥0 ?
【解】由题意,绘出可行性区域如下: 设 z ? 2 x ? y ,即求 y ? ?2 x ? z 的截距的最大值。 因为 x, y ? Z ,不妨找出 ? 7 , 7 ? 附近的“整点” 。 ? ? ?2 2? 有(3, 3)、(3, 4)满足. 显然过(3, 4)时, z ? 10 最大.

. 10

? C 17. 如图, 在扇形 OAB 中, AOB ? 60? , 为弧 AB 上的一个动点。 OC ? xOA ? yOB , 若
则 x ? 3 y 的取值范围是 . 1, 3

????

??? ?

??? ?

? ?

【解】方法(一) :特殊点代入法。 C 与 A 重合时, x ? 1, y ? 0 ,此时 x ? 3 y ? 1 ; C 与 B 重合时, x ? 0, y ? 1,此时 x ? 3 y ? 3 . 注意到,C 从 B 点运动至 A 点时,x 逐渐变大,y 逐渐变小。 显然,一开始 x 趋于 0,而 y 趋于 1, 故 x ? 3 y 的范围受 y 的影响较大。 故猜想, x ? 3 y ?[1, 3] 方法(二) :设扇形的半径为 r
5

考虑到 C 为弧 AB 上的一个动点, OC ? x OA? y OB . 显然 x, y ?[0,1] 两边平方: OC

??

??

??

? ?

????

2

??? ? ??? ? ? r 2 ? xOA ? yOB

?

?

2

??? ??? ? ? ? x 2 ? r 2 ? 2 xyOA ? OB ? y 2 ? r 2

消 r 2 : y 2 ? x ? y ? x2 ?1 ? 0 ,显然 ? ? 4 ? 3x2 ? 0

? x ? 4 ? 3 x2 ( y ? 0) , 2 1 3 4 ? 3x 2 故 x ? 3y ? ? x ? . 2 2
得: y ?

1 3 4 ? 3 x2 , x ? ? 0,1? . x? 2 2 1 9x f ' ? x? ? ? ? ?0 2 2 4 ? 3 x2 所以 f ( x ) 在 x ? [0,1] 上单调递减, f (0) ? 3, f (1) ? 1 得 f ( x) ?[1,3] ,即 x ? 3 y ?[1, 3]
不妨令 f ? x ? ? ?

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分)
18.(本小题满分 14 分) 设 f ? x ? ? 6 cos 2 x ? 3 sin 2 x , x ? R . (1)求 f ? x ? 的最大值及最小正周期; (2) ? ABC 中, A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c , 在 角 锐角 A 满足 f ? A? ? 3 ? 2 3 ,

B?

?
12

,求

a 的值。 c

【解】

19.(本小题满分 14 分) 已知甲箱中只放有 x 个红球与 y 个白球 ( x, y ? 0, 且 x ? y ? 6) ,乙箱中只放有 2 个红球、 1 个白球与 1 个黑球(球除颜色外,无其它区别). 若甲箱从中任取 2 个球, 从乙箱中任取 1
6

个球。 (1)记取出的 3 个球的颜色全不相同的概率为 P,求当 P 取得最大值时 x, y 的值; (2)当 x ? 2 时,求取出的 3 个球中红球个数 ? 的期望 E (? ) . 【解】

20.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? (1)设 bn ?

1 * ,其中 n?N . 4an

,求证:数列 ?bn ? 是等差数列,并求出 ?a n ?的通项公式 an ; 2an ? 1 4an 1 (2)设 cn ? ,数列 ?cncn?2 ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ,使得 Tn ? n ?1 cmcm?1 * 对于 n?N 恒成立,若存在,求出 m 的最小值,若不存在,请说明理由.

2

【解】

7

21.(本小题满分 15 分) 已知椭圆 C : 距离为

x2 y2 1 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率为 , 右焦点到直线 l1 : 3 x ? 4 y ? 0 的 2 2 a b

3 . 5

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l2 : y ? kx ? m ( km ? 0 )与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,且线段 AB 中点恰 好在直线 l1 上,求 ? OAB 的面积 S 的最大值.(其中 O 为坐标原点). 【解】

8

22.(本小题满分 15 分)

已知函数 f ? x ? ? x 2 ? ? a ? 2? x ? a ln x . (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 的极小值; (2)当 a ? ?1 时,过坐标原点 O 作曲线 y ? f ? x ? 的切线,设切点为 P ? m,n ? ,求实

数 m 的值;

(3)设定义在 D 上的函数 y ? g ? x ? 在点 P x0 , y0 处的切线方程为 l : y ? h ? x ? ,当

若 x ? x0 时,

g ? x? ? h? x? x ? x0

?

?

则称 P 为函数 y ? g ? x ? 的 “转点” 当 a ? 8 。 ? 0 在 D 内恒成立,

时,试问函数 y ? f ? x ? 是否存在“转点” 。若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在, 请说明理由。 【解】

9

10



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