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2018届高考数学二轮复习第15讲分段函数常见题型解法学案含答案(全国通用)


【知识要点】 分段函数问题是高中数学中常见的题型之一, 也是高考经常考查的问题.主要考查分段 函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域(最值) 、单调性和零点等问题. 1、 求分段函数的解析式,一般一段一段地求,最后综合.即先分后总.注意分段函数 的书写格式为: ? f1 ( x) ? f ( x) ? 2 f ( x) ? ? ??? ? ? f n ( x) x ? D1 ? y ? f1 ( x) x ? D1 ? y ? f ( x) x ? D x ? D2 ? 2 2 , 不要写成 f ( x) ? ? .注意分段函数的每一段的 x ? Dn ??? x ? Dn ? x ? Dn ? y ? f n ( x) x ? Dn 自变量的取值范围的交集为空集,并集为函数的定义域 D .一般左边的区域写在上面,右边 的区域写在下面. 2、分段函数求值,先要看自变量在哪一段,再代入那一段的解析式计算.如果不能确定 在哪一段,就要分类讨论.注意小分类要求交,大综合要求并. 3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似,注意小分类要求交,大综合要求并. 4、分段函数的奇偶性的判断,方法一:定义法.方法二:数形结合. 5、分段函数的值域(最值),方法一:先求每一段的最大(小)值,再把每一段的最大 (小)值比较,即得到函数的最大(小)值. 方法二:数形结合. 6、分段函数的单调性的判断,方法一:数形结合,方法二:先求每一段的单调性,再 写出整个函数的单调性. 7、 分段函数的零点问题, 方法一: 解方程, 方法二: 图像法, 方法三: 方程+图像法. 和 一般函数的零点问题的处理方法是一样的. 虽然分段函数是一种特殊的函数, 在处理这些问题时, 方法其实和一般的函数大体是一 致的. 【方法讲评】 题型一 解题方法 分段函数的解析式问题 一般一段一段地求,最后综合.即先分后总. 【例 1】已知函数 f ( x) 对实数 x ? R 满足 f ( x) ? f (? x) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,若 当 x ? ?0,1? 时, f ( x) ? a x ? b(a ? 0, a ? 1), f ( ) ? 1 ? 2 . (1)求 x ? ?? 1,1? 时, f ( x) 的解析式; (2)求方程 f ( x) ? log 4 x ? 0 的实数解的个数. 3 2 (2) ? f ( x) ? f (? x) ? 0, f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ? f ( x) ? f ( x) 是奇函数, 且以 2 为周期.方程 f ( x) ? log 4 x ? 0 的实数解的个数也就是函数 y ? f ( x)和y ? log 4 x 的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像,由图像得交点个数为 2,所以 方程 f ( x) ? log 4 x ? 0 的实数解的个数为 2. 【点评】 ( 1 ) 本 题 的 第 一 问 , 根 据 题 意 要 把 [?1,1] 分 成 三 个 部 分 , 即 x ? (?1, 0), x ? ?1, x ? (0,1) ,再一段一段地求. 在求函数的解析式时, 要充分利用函数的奇 偶性、对称性等. (2)本题第 2 问解的个数,一般利用数形结合解答. 【反馈检测 1】已知定义在 R 上的函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ? . 2 (Ⅰ)若不等式 f ? x ? 2 ? t ? ? f ? 2 x

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