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近三年全国高考试题要览及命题特点(特级教师 罗国彬)_图文

数学月刊二月号
特级教师 罗国彬

立足基础 努力创新 拓展能力 追求发展
——近三年全国高考数学试题要览分析及命题特点

近三年全国高考数学试题要览及命题特点
年年岁岁考相似, 岁岁年年卷不同. 综观近几年全 国各地高考数学试题发现:考查内容基础全面,命题形 式新颖别致,题型格局不断创新,选拔功能充分体现. 特别值得一提的是,传统内容诸如不等式、函数等方面 , 试题则是常考常新;新增内容诸如平面向量与解析几何 的交融,空间向量与立体几何的交汇,概率与统计的交 互,函数与导数的交叉等方面,试题则是不断加大考查 力度,以体现数学的工具性与应用性,充分地体现了新 课改的精神.

一、近三年全国高考试题要览分析
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第一章 集合与简易逻辑 第二章 函数 第三章 数列 第四章 三角函数 第五章 平面向量 第六章 不等式及其性质 第七章 直线与圆的方程 第八章 圆锥曲线 第九章 直线 平面 简单的几何体 第十章 排列组合与二项式定理 第十一章 概率 第十二章 概率与统计 第十三章 极限 第十四章 导数 第十五章 数系的扩充——复数

第一章 集合与简易逻辑
能力 考试内容 层次 理解 集合与集合 运算 有关术语和符号,能正确地表 掌握 示出一些简单的集合 逻辑联结词“或” “且” “非” 逻辑联结词 理解 与四种命题 系 充分条件与 掌握 必要条件 充要条件的意义 5 5 3 6 8 的含义;四种命题及其相互关 1 2 9 5 5 14 9 14 有关集合的概念和意义 高 考 要 求 2004 2005 2006 2004 2005 2006 湖北考题年份、分值 全国设计考题省份个数

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第二章 函数
能力 考试内容 层次 映射与函数 函数的定义域、解析式、 掌握 值域 函数的单调性 掌握
判断一些简单函数单调性的方法 能利用函数的奇偶性与图象的对 6 1 4 1 有关概念 5 4 3 4 高 考 要 求 2004 有关概念 5 2005 2006 2004 7 2005 3 2006 1 湖北考题年份、分值 全国设计考题省份个数

理解

函数的奇偶性

掌握
称性的关系描述函数图象 反函数的概念及互为反函数图象

3

4

4

理解 反函数 掌握 二次函数 掌握
间的关系 会求一些简单函数的反函数 解决有关数学问题 指数函数与对数函数的概念图象 5 1 1 3 3 7 7

指数函数与对数函数

掌握
和性质

5

10

6

4

函数的图象 利用函数知识解应用题 函数的综合问题

理解 掌握 掌握

有关概念 应用函数知识解决实际难度问题 综合运用函数知识解决数学问题

5

3 1 2

10 2 1

2 3 3

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第三章 数列
能力 考试内容 层次 理解 数列 掌握 掌握 等差数列 熟练 等差数列的性质解题 应用 掌握 等比数列 熟练 等比数列的性质解题 应用 等差等比综合 应用 掌握 掌握 有关概念 解决实际问题 5 5 1 2 3 1 2 等比数列的通项公式,前 n 项和公式 14 1 1 8 2 7 由 S n 求 a n 的公式 等差数列的通项公式,前 n 项和公式 6 2 9 数列、通项公式的概念 14 13 6 3 9 高 考 要 求 2004 2005 2006 2004 2005 2006 湖北考题年份、分值 全国设计考题省份个数

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第四章 三角函数
能力 考试内容 层次 任意角的正弦、余弦、正切的定义,用 三角函数概 掌握 念公式 角三角函数的基本关系式;正弦、余弦 的诱导公式 通过公式的推导,了解它们的内在联 和差倍公式 掌握 系,从而培养逻辑推理能力 会用三角函数线画正弦函数,正切函数 图象与性质 掌握 的图象,由诱导公式画余弦函数的图 象;理解它们的性质;会用“五点法” 2 12 1 5 7 8 8 三角函数线表示正弦、余弦和正切;同 4 1 1 6 2 2 高 考 要 求
2004 2005 2006 2004 2005 2006 湖北考题年份、 分值 全国设计考题省份个数

y ? A sin(? x ? ? ) 的图象

理解

A、 ? 、 ? 的物理意义 用 “五点法” 画函数 y ? A sin(?x ? ? ) 5 12 7 13 14

掌握 的简图

三角最值 应用

掌握 掌握

利用三角知识求最值 运用所学三角知识解决实际问题 5

4 1

3 4

5 3

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第五章 平面向量
能力 考试内容 层次 了解 向量、向量 的加法与减 法、实数与 向量的积 掌握 理解 向量的坐标 向量的几何表示, 实数与向量的积, 向量加法与减法,平面向量的坐标 运算 用平面向量的数量积可以处理有关 了解 长度、角度和垂直等问题 数量积 平面向量的数量积及其几何意义; 掌握 向量垂直的条件 掌握 距离公式、 灵活 定比分点 运用 正弦定理、余弦定理,并能运用它 正余弦定理 掌握 们解斜三角形 12 3 4 5 比分点和中点坐标公式,平移公式 平面两点间的距离公式,线段的定 4 1 17 1 5 12 4 12 1 4 1 2 8 6 共线向量,平面向量基本定理 向量,向量共线的充要条件,平面 高 考 要 求 2004 2005 2006 2004 2005 2006 湖北考题年份、分值 全国设计考题省份个数

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第六章 不等式及其性质
能力 考试内容 层次 不等式的概念性 理解 质 两个(不扩展到三个)正数的算术 平均数不小于它们的几何平均数的 均值不等式 掌握 定理,并会简单的应用;分析法、 综合法、比较法证明简单的不等式 二次不等式、简单的分式不等式的 解不等式 掌握 解法 理解 绝对值不等式 掌握 灵活 不等式的应用 运用 有关概念
4 3 5 2 3 5 5 5 2 6 湖北考题年份、 分值 全国设计考题省份个数 2004 2005 2006








2004 2005 2006

不等式的性质及其证明

3

不等式 a ? b ≤ a ? b ≤ a ? b
5 2 2 2

简单的绝对值不等式的解法

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第七章 直线与圆的方程
能力 考试内容 层次 理解 直线方程 掌握 直线的倾斜角和斜率 两点斜率公式:一点和斜率求出直线方 程的方法;点斜式、两点式和一般式, 熟练求出直线方程 两条直线平行与垂直的条件,两条直线 位置关系 掌握 成的角、点到直线的距离公式,两条直 线的位置关系 对称 掌握 了解 线性规化 掌握 性规划问题 了解 圆的方程 理解 掌握 直线与圆 掌握 参数方程的概念 圆的参数方程 圆的标准方程和一般方程 相关概念 5 8 4 7 3 1 相关概念 简单的线性规划问题,线性规划的意义 二元一次不等式表示平面区域,简单线 4 5 5 7 13 1 1 5 3 3 1 2 1 高 考 要 求 2004 2005 2006 2004 2005 2006 湖北考题年份、分值 全国设计考题省份个数

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第八章 圆锥曲线
能力 考试内容 层次 熟练 椭圆 掌握 熟练 双曲线 掌握 熟练 抛物线 掌握 直线与圆锥 索曲线 熟练 综合 掌握 熟练 轨迹方程 掌握 熟练 定值与最值 掌握 综合 1 3 5 综合 5 3 6 14 15 1 4 抛物线的标准方程及其几何性质 7 5 4 双曲线的标准方程及其几何性质 5 11 13 13 椭圆的标准方程及其几何性质 5 12 12 11 7 高 考 要 求 2004 2005 2006 2004 2005 2006 湖北考题年份、分值 全国设计考题省份个数

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第九章 直线
考试 能力层次 内容 高 考 要

平面


简单的几何体
湖北考题年份、 分值 2004 2005 2006 全国设计考题省份个数 2004 2005 2006

平面的基本性质;斜二测画法;画出空间 空间 掌握 直线 形想像它们的位置关系; 直线和直线所成 的角,距离 两条直线的各种位置关系的图形, 根据图 1 4 3

画出直线和平面的各种位置关系, 根据图 直线 形想像它们的位置关系,直线和平面平 与平 面 和距离 平面 与 掌握 平面 垂直的判断定理和性质定理 多面体、凸多面体、棱柱、棱锥、正多面 简单 多面 棱柱的性质,会画直棱柱的直观图;正棱 体 掌握 锥的性质,会画正棱锥的直观图 了解 体、欧拉公式 8 9 12 了解 三垂线定理及其逆定理 平面和平面所成的角、距离,平面平行和 12 14 10 7 掌握 行,垂直的判定定理和性质定理;线面角 5 14 12 12

形想像它们的位置关系,直线和平面平 与平 面 和距离 平面 与 掌握 平面 垂直的判断定理和性质定理 多面体、凸多面体、棱柱、棱锥、正多面 简单 多面 棱柱的性质,会画直棱柱的直观图;正棱 体 掌握 锥的性质,会画正棱锥的直观图 了解 球 掌握 球的性质、表面积、体积公式 通过空间图形的各种位置关系间的教学, 综合 掌握 应用 并培养辩证唯物主义观点 了解 空间向量的基本定理 空间向量, 空间向量坐标, 直线方向向量, 空间 向量 空间向量的加、减、数乘、坐标运算;数 掌握 量积及性质;数量积公式;空间两点间距 理解 平面法向量,向量射影 12 1 5 5 培养空间想像能力,发展逻辑思维能力, 12 4 5 球的的概念 7 5 11 了解 体、欧拉公式 8 9 12 了解 三垂线定理及其逆定理 平面和平面所成的角、距离,平面平行和 12 14 10 7 掌握 行,垂直的判定定理和性质定理;线面角 5 14 12 12

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第十章 排列组合与二项式定理
能力 考试内容 层次 排列 理解 组合 分类、分步计数原理,排列数计算公 掌握 式,组合数计算公式和性质,能用它 们分析和解决一些简单的应用问题 二项式展开式的性质,并能用它们计 二项式 掌握 算和证明一些简单的问题 4 4 5 16 15 13 排列、组合的意义 5 5 13 11 10 高 考 要 求 2004 2005 2006 2004 2005 2006 湖北考题年份、分值 全国设计考题省份个数

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第十一章
考试 内容 能力 高 层次 考 要 求

概率
湖北考题年份、分值 2004 2005 2006 全国设计考题省份个数 2004 2005 2006

可能事件的概率,互斥事件的 了解 意义,相互独立事件的意义, 随机事件 计算等可能事件的概率,会用 概率 互斥事件概率加法公式和相互 独立事件概率乘法公式计算一 掌握 些事件的概率, 会计算事件在 n 次独立重复试验中生 k 次的概 率 12 5 5 12 10 15

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第十二章
能力 考试内容 层次 高 考

概率与统计
湖北考题年份、分值 要 求 2004 2005 2006 2004 2005 2006 全国设计考题省份个数

离散型随机变量的意义其期望 了解 值、方差的意义 随机变量 掌握 随机变量的分布列求出期望 值、方差 正态分布的意义及主要性质; 了解 线性回归的方法和简单应用 统计 掌握 体上抽取样本;会用样本频率 分布估计总体分布 会用随机抽样、系统抽样、分 层抽样等常用的抽样方法从总 4 5 10 6 4 5 会求出某些简单的离散型随机 变量的分布列;会根据离散型 4 12 10 15 10

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第十三章
能力 考试内容 层次 理解 数学归纳法 掌握 的数学命题 数学归纳法的原理 高 考 要 求

极限
湖北考题年份、分值 2004 2005 2006 全国设计考题省份个数 2004 2005 2006

能用数学归纳法证明一些简单

3

1

从数列和函数的变化趋势了解 了解 数列极限和函数极限的概念; 连续的意义 极限 理解 续函数有最值的性质 极限的四则运算法则:会求某 掌握 些数列与函数的极限 借助几何直观理解闭区间上连 5 5 9 11 13

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第十四章 导数
能力 考试内容 层次 了解 理解 导数 掌握 式;和、差、积、商的求导法 则;会求简单函数的导数 可导函数的单调性与其导数的 了解 导数的应用 关系;可导函数在某点取得极 值的必要和充分条件 会求一些实际问题的最大值和 掌握 最小值 17 12 14 13 10 15 导数概念;复合函数求导法则 导函数概念 函数在一点处的导数的定义和 导数的几何意义;其本导数公 5 5 6 6 2 高 考 要 求 2004 2005 2006 2004 2005 2006 湖北考题年份、分值 全国设计考题省份个数

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第十五章
能力 考试内容 层次 理解 复数的代数 形式及运算 掌握 复数的有关概念

数系的扩充——复数
湖北考题年份、分值 全国设计考题省份个数 2004 2005 2006

高 考 要 求 2004 2005 2006

复数的代数表示与几何意义, 运算法则,并能进行代数形式 的加减乘除运算。

5

5

5

16

15

14

二、近三年全国高考数学试题命题特点
2004年高考有11 个省市独立命题,再加上全国卷的新老教材各两 套试卷,共15套(文、理)试卷;2005年全国共16套(文理)试卷; 2006年全国共34套(文理)试卷. 这65套试卷中有上千道(文理)数 学试题,犹如独立重复试验,我们从这上千次独立重复试验中(从试 题要览分析)不难分析出近三年来全国高考试题有如下几个突出的特 点.

1.基础知识覆盖全面,主干知识重点凸现

2.新增内容选材合理,整合交汇立意新 颖

二、近三年全国高考数学试题命题特点
1.基础知识覆盖全面,主干知识重点凸现
“高考内容、形式与能力考查”课题组在《命题 设计与考核能力要求》一文中有这么一段话:“考 查考生对基础知识的掌握程度,是数学高考的重要 目标之一.对数学基础知识的考查,要求全面,但不 刻意追求知识点的百分比,对支撑数学知识体系的 主干知识,考查时保证较高的比例并保持必要的深 度”.

2.新增内容选材合理,整合交汇立意新颖

二、近三年全国高考数学试题命题特点
1.基础知识覆盖全面,主干知识重点凸现 2.新增内容选材合理,整合交汇立意新颖
数学科的考试,按照“考查基础知识的同时,注重考查能力”的原则, 确定以能力立意命题的指导思想,在考查基础知识的基础上, 注重对 数学思想和方法的考查,注重对数学能力的考查, 增加应用性和能力 型的试题,加强素质的考查, 融知识、能力与素质于一体, 全面检测 考生的数学素养,因此,命题时特别注重了知识之间的交汇、渗透与 整合. 对新增内容:简易逻辑,平面空间向量,线性规划,概率与统计, 函数的连续与导数又成为了命题者整合与交汇知识的热点. 近三 年的高考试卷中这些新增内容所占总试题的出题率接近30%, 这 一比例大大超过了该内容的课时比例.

二、近三年全国高考试题命题特点
1.基础知识覆盖全面,主干知识重点凸现 2.新增内容选材合理,整合交汇立意新颖
(1)知识点的有效整合:
●平面向量与代数、三角、解析几何的整合; ●数学期望与函数、方程、数列、解析几何、立

体几何、线性规划的整合; ●导数与函数、不等式、向量、方程知识的整合.

二、近三年全国高考试题命题特点
1.基础知识覆盖全面,主干知识重点凸现 2.新增内容选材合理,整合交汇立意新颖
(1)知识点的有效整合: (2)应用题的主要载体:
●线性规划求最值; ●利用导数求最值; ●事件发生的概率和期望; ●抽样调查和状态分析等.

二、近三年全国高考试题命题特点
1.基础知识覆盖全面,主干知识重点凸现 2.新增内容选材合理,整合交汇立意新颖 3.能力立意重考潜能,试卷题型多有创新
数学科命题突出以能力立意,对知识的考查侧重 于理解和应用, 而不是简单的重视, 特别注重知识 的综合性和灵活性应用.近三年高考中, 诸多的在课 本例题、 复习资料、 模拟试题中比较少见的新颖题 目在考题中不断出现.

二、近三年全国高考试题命题特点
1.基础知识覆盖全面,主干知识重点凸现 2.新增内容选材合理,整合交汇立意新颖 3.能力立意重考潜能,试卷题型多有创新
(1)具有创意与创新的题型有: ①定义型题型; ②判断型题型; ③图表型题型; ④探索型题型; ⑤猜测型题型; ⑥应用型题型.

二、近三年全国高考数学试题命题特点
1.基础知识覆盖全面,主干知识重点凸现 2.新增内容选材合理,整合交汇立意新颖 3.能力立意重考潜能,试卷题型多有创新
(1)具有创意与创新的题型 (2)侧重如下几个方面的能力立意 ①阅读审题能力; ②估算判断能力; ③数形结合能力; ④自主探究能力; ⑤逻辑推理能力.

定义型: (2006 年福建第 12 题)对于直角坐标平面内的任意两点
A(x 1 , y 1 )、B(x 2 ,y 2 ),定义它们之间的一种“距离” :‖AB‖=︱x 1 -x 2 ︱+︱y 1 -y 2 ︱.
给出下列三个命题: ①若点 C 在线段 AB 上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ②在△ABC 中,若∠C=90°,则‖AC‖ 2 +‖CB‖ 2 =‖AB‖ 2 ; ③在△ABC 中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3

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判断型 (2006 年湖北第 8 题) 有限集合 S 中元素的个数记做 card ( S ) ,
设 A, B 都为有限集合,给出下列命题: ① A ? B ? ? 的充要条件是 card ( A ? B ) ? card ( A) ? card ( B ) ; ② A ? B 的充要条件是 card ( A) ? card ( B) ; ③ A ? B 的充要条件是 card ( A) ? card ( B) ; ④ A ? B 的充要条件是 card ( A) ? card ( B) ; 其中真命题的序号是 A.③④ B.①② C.①④ D.②③

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图表型 (2006 年重庆第 9 题)如图所示,单位
圆中 ? AB 的长为 x , f ( x)表示弧 ? AB 与弦 AB 所围成的弓 形面积的 2 倍,则函数 y ? f ( x) 的图像是( )

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探索型 (2006 年湖北第 18 题)如图,在棱
长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, P 是侧棱 CC1 上的一点, CP ? m . (Ⅰ) 、试确定 m ,使直线 AP 与平面 BDD1 B1 所成 角的正切值为 3 2 ; (Ⅱ) 、在线段 A1C1 上是否存在一个定点 Q ,使得
A A1

D1

C1 B1

D

C B

对任意的 m , D1Q 在平面 APD1 上的射影垂直于 AP ,并证明你的结论。

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猜测型(2006 年广东第 14 题)在德国不来梅举行的第 48 届世乒
赛期间,某商店橱窗里用同样的乒 乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的 展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一
图4

?

个球;第 2,3, 4,? 堆最底层(第一层)分别按图 4 所示方式固定摆放, 从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就 放一个乒乓球,以
f (n) 表示第 n 堆的乒乓球总数,则 f (3) ? _____



f (n) ? _____ (答案用 n 表示).

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应用型

(2006 年湖南 20 题). 对 1 个单位质量的含污物体进行
污物质量 ) 物体质量(含污物)

清洗, 清洗前其清洁度 (含污物体的清洁度定义为 : 1 ?

为 0.8,要求洗完后的清洁度是 0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次 清洗 ;方案乙 :两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响, 其质 量 变 为 a (1 ≤ a ≤ 3). 设 用 x 单 位 质 量 的 水 初 次 清 洗 后 的 清 洁 度 是
x ? 0.8 y ? ac ( x ? a ? 1 ), 用 y 质量的水第二次清洗后的清洁度是 , 其中 x ?1 y?a c (0.8 ? c ? 0.99) 是该物体初次清洗后的清洁度.

(Ⅰ)分别求出方案甲以及 c ? 0.95 时方案乙的用水量,并比较哪一 种方案用水量较少; ( Ⅱ ) 若采用方案乙 , 当 a 为某定值时 , 如何安排初次与第二次清 洗的用水量 , 使总用水量最少 ? 并讨论 a 取不同数值时对最少总用水 量多少的影响.

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创新型 (2006 年湖北第 21 题) 设 x ? 3 是函数 f ( x) ? ( x 2 ? ax ? b)e3? x ( x ? R ) 的一个极值点。 (Ⅰ) 、求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ( x) 的单调区间;
25 x (Ⅱ) 、 设 a ? 0 ,g ( x) ? (a ? )e 。 若存在 ?1 , ? 2 ? [0, 4] 使得 f (?1 ) ? g (?2 ) ? 1 4
2

成立,求 a 的取值范围。

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阅读审题能力(10)右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信 号源在同一个串联线路中时, 就能接收到信号, 否则就不能接收到信 号。 若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组, 将右端的六个 接线点也随机地平均分成三组, 再把所有六组中每组的两个接线点用 导线连接,则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 (A ) (B) (C ) (D )
4 45 1 36 4 15 8 15 信号源

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估算判断能力( 2005 年上海第 16 题)设定义域为为 R 的函数
? ? lg x ? 1 , x ? 1 f ? x? ? ? ,则关于 x 的方程 f 2 ? x ? ? bf ? x ? ? c ? 0 有 7 个不同的 x ?1 ? ? 0,

实数解得充要条件是 (A) b ? 0 且 c ? 0 (B) b ? 0 且 c ? 0 (C) b ? 0 且 c ? 0 (D) b ? 0 且 c ? 0

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数形结合能力(2004 年天津第 22 题) 椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F(c,0) ( c ? 0 )的准线 l 与 x 轴相交于点 A,|OF|=2|FA|,过点 A 的直线与椭 圆相交于 P、Q 两点
新疆 王新敞 奎屯

(1)求椭圆的方程及离心率; (2)若 OP ? OQ ? 0 ,求直线 PQ 的方程; (3)设 AP ? ? AQ ( ? ? 1 ) ,过点 P 且平行于准线 l 的直线与椭圆 相交于另一点 M,证明 FM ? ?? FQ
新疆 王新敞 奎屯

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自主探究能力(2006 年春招上海 22 题)已知数列 al,a2?,a30,其 中 al,a2?,a10 是首项为 1 公差为 1 的等差数列; al0,a11?,a20 是公差为 d 的等差数列;a20,a21?,a30 是公差为 d 的等差数列(d≠0). (1)若 a20=40,求 d; (2)试写出 a30 关于 d 的关系式,并求 a30 的取值范围; (3)续写己知数列, 使得 a30, a31?, a40 是公差为 d3 的等差数列, ??, 依次类推, 把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题,((2) 应当作为特例),并进行研究,你能得到什么样的结论?
2

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逻辑思维能力(2005 年浙江第 19 题)袋子 A 和 B 中装有若干个均匀 的红球和白球,从 A 中摸出一个红球的概率是 ,从 B 中摸出一个红 球的概率为 p. (Ⅰ) 从 A 中有放回地摸球, 每次摸出一个, 有 3 次摸到红球即停 止. (i)求恰好摸 5 次停止的概率; (ii)记 5 次之内(含 5 次)摸到红 球的次数为 ? ,求随机变量 ? 的分布率及数学期望 E ? . (Ⅱ) 若 A、B 两个袋子中的球数之比为 12,将 A、B 中的球装在 一起后,从中摸出一个红球的概率是 ,求 p 的值.
2 5 1 3

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平面向量、函数图象和方程的曲线的交汇 (2006 陕西第 21 题) → =tAB →, 如图,三定点 A(2,1),B(0,-1),C(-2,1); 三动点 D,E,M 满足AD → = t BC → , DM → =t DE → , t∈[0,1]. BE (Ⅰ) 求动直线 DE 斜率的变化范围; (Ⅱ)求动点 M 的轨迹方程.
C D M -2 -1 O E -1 B 1 2 x y A

函数、方程、不等式与导数知识的交汇(2005 年江苏第 22 题)已知
a ? R ,函数 f ( x) ? x 2 | x ? a |
新疆 王新敞 奎屯

⑴当 a ? 2 时,求使 f ( x) ? x 成立的 x 的集合; ⑵求函数 y ? f ( x) 在区间 [1,2] 上的最小值
新疆 王新敞 奎屯

函数与数列知识的交汇(2006 年浙江第 20 题) 已知函数 f(x)=x 3 + x 2 , 数列|x n |(x n >0)的第一项 x n =1, 以后各项按如下方式取定: 曲线 x=f(x)在 ( xn ?1 , f ( x n?1 )) 处的切线与经过(0,0)和 (x n ,f (x n ))两点的直线平行(如图)
2 求证: 当 n? N * 时, (Ⅰ)x 2 n ? x n ? 3 x n ?1 ? 2 x n ?1 ;

(Ⅱ) ( ) n?1 ? x n ? ( ) n?2

1 2

1 2

平面向量与平面图形、空间图形知识的交汇; (2006 年山东第 19 题) 如图, 已知平面 A1B1C1 平行于三棱锥 V-ABC 的底面 ABC,等边? AB1C 所在的平面与底面 ABC 垂直, 且 ? ACB=90°,设 AC=2a,BC=a. (1) 求证直线 B1C1 是异面直线 AB1 与 A1C1 的 公垂线; (2)求点 A 到平面 VBC 的距离; (3)求二面角 A-VB-C 的大小.

平面向量与三角函数的交汇(2006 年浙江第 15 题)如图,函数 y=2sin(π xφ ),x∈R,(其中 0≤φ ≤ )的图象与 y 轴交于点(0,1).
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(Ⅰ)求φ 的值; (Ⅱ)设 P 是图象上的最高点,M、N 是 图象与 x 轴的交点,求 PM 与PN的夹角.

概率统计与其他知识的交汇. (2004 年湖北第 21)某突发事件,在不 采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.3, 一旦发生, 将造成 400 万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采 用甲、乙预防措施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元,采用相应预 防措施后此突发事件不发生的概率为 0.9 和 0.85. 若预防方案允许甲、 乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用,请确定预防方案使总 费用最少.(总费用 =采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望 ... 值. )

(2005 年辽宁第 22 题)函数 y ? f ( x) 在区间(0,+∞)内可导,导函 数 f ?( x) 是减函数,且 f ?( x) ? 0. 设 x0 ? (0,??), y ? kx ? m 是曲线 y ? f ( x) 在 点( x0 , f ( x 0 ) )得的切线方程,并设函数 g ( x) ? kx ? m. (Ⅰ)用 x 0 、 f ( x 0 ) 、 f ?( x 0 ) 表示 m; (Ⅱ)证明:当 x0 ? (0,??)时, g ( x) ? f ( x) ;
3 (Ⅲ)若关于 x 的不等式 x ? 1 ? ax ? b ? x 3 在[0,??) 上恒成立,其中 2
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a、b 为实数,求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系.



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