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2013年浙江省嘉兴市高三教学测试(二)高考第二次模拟二模 文科数学 试题与详解答案_图文

2013 年高三教学测试(二)
文科数学 参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分) 1.B; 6.D; 2.A; 7.C; 3.C; 8.A; 4.A; 9.D; 5.B; 10.D.

第 10 题提示:因为 1 ? a ? 2b ? 2 2ab ? ab ? 为 a 2 ? 4b 2 ?

1 1 ,当且仅当 a ? 2b ? 时取等号.又因 8 2

1 1 1 1 1 . t ? ab , 令 所以 f (t ) ? 4t ? 在 (0, ] 单调递减, ? 2a ? (2b) ? ? 4ab ? ab ab ab t 8

1 17 1 所以 f (t ) min ? f ( ) ? .此时 a ? 2b ? . 8 2 2

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11.13; 15. 12.2013; 13. 30? ; 16.4; 14.5; 17.

5 2?5 6 ; 2

1 . 8

第 17 题提示:设 P ( x 0 , y 0 ) ,则 E ( x 0 ,
1 y0 1? ? BE : y ? ( x ? 3) …② x0 ? 3
2 2 将 y0 ? 9 ? x0 代入,得

y0 1 ( x ? 3) …① y0 ) , PA : y ? x0 ? 3 1? ?
2 y0

由①②得 y 2 ?

(?

2 ? 1)( x 0

? 9)

( x 2 ? 9) ,

x2 ? 9

y2 9 1 ? 1 .由 9 ? ? 1 ,得到 ? ? . 9 1? ? 8 1? ?

三、解答题(本大题共 5 小题,第 18、19、22 题各 14 分,20、21 题各 15 分,共 72 分) 18. (本题满分 14 分) 在△ ABC 中,角 A, B , C 所对的边分别为 a , b , c ,满足 (Ⅰ)求角 C ;

a ? c sin A ? sin B . ? b sin A ? sinC

a?b 的取值范围. c a ? c sin A ? sin B a ? b 2 2 2 解: (Ⅰ) ,化简得 a ? b ? ab ? c , ? ? b sin A ? sinC a ? c
(Ⅱ)求 所以 cos C ?
a 2 ? b2 ? c 2 1 ? ? ,C ? . 2ab 2 3

…4 分 …7 分

(Ⅱ)

2 2? a?b s i n ?s i n A B ? ? [sin A ? sin( ? A)] ? 2 s i nA ? ) . ? ( 3 6 c sin C 3

…11 分

因为 A ? (0,

? 1 ? ? 5? 2? ) , A ? ? ( , ) ,所以 sin( A ? ) ? ( ,1] . 3 6 6 6 6 2
…14 分

故,

a?b 的取值范围是 (1,2] . c

19. (本题满分 14 分) 已知数列 ? an ? 中, a1 ? 2 , a n?1 ? 3a n ? 2 . (Ⅰ)记 bn ? an ? 1 ,求证:数列 ? bn ? 为等比数列; (Ⅱ)求数列 ? nan ? 的前 n 项和 S n . 解: (Ⅰ)由 an ?1 ? 3an ? 2 ,可知 an ?1 ? 1 ? 3(an ? 1) . 因为 bn ? an ? 1 ,所以 bn ? 1 ? 3bn , 又 b1 ? a1 ? 1 ? 3 , 所以数列 ? bn ? 是以 3 为首项,以 3 为公比的等比数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 1 ? 3n , an ? 3n ? 1 ,所以 nan ? n3n ? n . 所以 Sn ? (3 ? 2 ? 32 ? ? ? n ? 3n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n) 其中 1 ? 2 ? ?n ? …9 分 …6 分 …4 分

n2 ? n 2
① ②
3 ? 3n ? 1 ? n ? 3n ? 1 ?2

记 Tn ? 3 ? 2 ? 32 ? ? ? n ? 3n

3Tn ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? (n ? 1) ? 3n ? n ? 3n?1
两式相减得 ? 2Tn ? 3 ? 32 ? ? ? 3n ? n ? 3n ? 1 ?

…13 分

Tn ?

2n ? 1 n?1 3 ?3 ? 4 4
2n ? 1 n ? 1 2n 2 ? 2n ? 3 ?3 ? 4 4

所以 S n ?

…14 分

20. (本题满分 15 分) 如图, 在△ ABC 中,? C ? 90? ,AC ? BC ? 3a , P 在 AB 上,PE // BC 交 AC 于 E , 点
PF // AC 交 BC 于 F . PE 将△ APE 翻折成△ A' PE , 沿 使平面 A' PE ? 平面 ABC ; PF 沿

将△ BPF 翻折成△ B' PF ,使平面 B' PF ? 平面 ABC . (Ⅰ)求证: B'C // 平面 A' PE ; (Ⅱ)若 AP ? 2PB ,求二面角 A'? PC ? E 的平面角的正切值.
C

E

A

A'

B' F B P F B
(第 20 题)

C

E

A

P

解: (Ⅰ)因为 FC // PE , FC ? 平面 A' PE ,所以 FC // 平面 A' PE . 因为平面 A' PE ? 平面 PEC ,且 A' E ? PE ,所以 A' E ? 平面 ABC . 同理, B' F ? 平面 ABC ,所以 B' F // A' E ,从而 B' F // 平面 A' PE . 所以平面 B'CF // 平面 A' PE ,从而 B'C // 平面 A' PE . (Ⅱ)因为 AC ? BC ? 3a , AP ? 2BP , 所以 CE ? a , EA? ? 2a , PE ? 2a , PC ? 5a . 过 E 作 EM ? PC ,垂足为 M,连结 A?M . …8 分 …2 分 …4 分 …6 分

A'

B'

C

E

M

A

F B

P
(第 20 题)

由(Ⅰ)知 A' E ? 平面ABC ,可得 A? E ? PC , 所以 PC ? 面A? EM ,所以 A? M ? PC . 所以 ?A' ME 即为所求二面角 A'? PC ? E 的平面角,可记为 ? . 在 Rt△ PCE 中,求得 EM ? 所以 tan? ?
2 5 a, 5

…12 分

A? E 2a ? ? 5. 2 EM 5a 5

…15 分

21. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x ) ?

a 2 x ? 2 x ? (a ? 4) ln x , a ? 0 . 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)若 a ? 1 ,则 f ( x ) ?
f ' ( x) ? x ? 2 ?

1 2 x ? 2 x ? 3 ln x . 2

( x ? 3)( x ? 1) 3 x 2 ? 2x ? 3 ? ? . x x x

…2 分 …4 分 …6 分

当 x ? (0,3) 时, f ' ( x ) ? 0 ;当 x ? ( 3,??) 时, f ' ( x ) ? 0 .

3 所以函数有极小值 f (3) ? ? ? 3 ln 3 ,无极大值. 2
(II) f ' ( x ) ? ax ? 2 ?
a ? 4 ax 2 ? 2 x ? a ? 4 ? ( x ? 0) . x x

记 h( x) ? ax 2 ? 2 x ? a ? 4 . 若 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值,则 h( x ) ? 0 有两个不等根且在 (1,2) 上有根. …8 分 由 ax 2 ? 2 x ? a ? 4 ? 0 得 a( x 2 ? 1) ? 2( x ? 2) , 所以 a ?
2( x ? 2) x ?1
2

?

2 5 ( x ? 2) ? ?4 x?2



…10 分

8 因为 x ? 2? ( 3,4) ,所以 a ? ( ,3) . 5 8 经检验当 a ? ( ,3) 时,方程 h( x ) ? 0 无重根. 5

…14 分

8 故函数 f ( x ) 在 (1,2) 上有极值时 a 的取值范围为 ( , 3) . 5

…15 分

22. (本题满分 14 分) 如图,已知抛物线 C1 : x 2 ? 2 py 的焦点在抛物线 C2 : y ? (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程及其准线方程; (Ⅱ) 过抛物线 C1 上的动点 P 作抛物线 C 2 的两条切线 PM 、PN , 切点为 M 、N . 若

1 2 x ? 1 上. 2

PM 、 PN 的斜率乘积为 m ,且 m ? [2, 4] ,求 | OP | 的取值范围.
C2

y
M

C1

N
O

P

x

(第 22 题)

p 解: (Ⅰ) C 1 的焦点为 F (0, ) , 2
所以

…2 分 …4 分 …6 分

p ? 0?1, p ? 2 . 2
2

故 C 1 的方程为 x ? 4 y ,其准线方程为 y ? ?1 .

(Ⅱ)任取点 P(2t , t 2 ) ,设过点 P 的 C 2 的切线方程为 y ? t 2 ? k( x ? 2t ) .
? y ? t 2 ? k ( x ? 2t ) ? 由? ,得 x 2 ? 2kx ? 4tk ? 2t 2 ? 2 ? 0 . 1 y ? x2 ? 1 ? 2 ?

由 ? ? ?2k ?2 ? 4(4tk ? 2t 2 ? 2) ? 0 ,化简得 k 2 ? 4tk ? 2t 2 ? 2 ? 0 , 记 PM , PN 斜率分别为 k 1 , k 2 ,则 m ? k1 k 2 ? 2t 2 ? 2 , 因为 m ? [2, 4] ,所以 t 2 ? [2, 3] 所以 OP ? 4t 2 ? t 4 ? (t 2 ? 2)2 ? 4 ?[12, 21] , 所以 OP ? [2 3 , 21] .
2

…9 分

…12 分

…14 分



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