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高中数学第一章三角函数第二节任意角的三角函数第二课时示范教案新人教A版必修4(数学教案)

第一章第二节任意角的三角函数第二课时 整体设计 教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课, 它是本章的基础, 主要是从通过问题引导 学生自主探究任意角的三角函数的生成过程, 从而很好地理解任意角的三角函数的定义. 在 《课程标准》中:三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和 其他领域中具有重要的作用. 《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数 (正弦、余弦、正切)的定义. 在本模块中, 学生将通过实例学习三角函数及其基本性质, 体会三角函数在解决具有变 化规律的问题中的作用. 学生学习情况分析 我们的课堂教学常用“高起点、 大容量、 快推进”的做法, 忽略了知识的发生发展过程, 以腾出更多的时间对学生加以反复的训练,无形增加了学生的负担,泯灭了学生学习的兴 趣.我们虽然刻意地去改变教学的方式,但仍有太多旧时的痕迹,若为了新课程而新课程又 会使得美景变成了幻影,失去新课程自然与清纯之味.所以如何进行《普通高中数学课程标 准(实验)》 (以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索. 如何让学生把对初中锐角三 角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中? 《普通高中数学课程标准(实验)解读》 中在三角函数的教学中, 教师应该关注以下两点: 第一、根据学生的生活经验,创设丰富的情境,例如单调弹簧振子,圆上一点的运动, 以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例,使学生感受周期现象的广泛存在,认识周期现象 的变化规律,体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义. 第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象(周期 振荡现象),解决一些实际问题,这也是《课程标准》在三角函数内容处理上的一个突出特 点. 根据 《课程标准》 的指导思想, 任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题: 其一:能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型; 其二:借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号. 设计理念 本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图象, 让学生感受到数学来源于生 活,数学应用于生活,激发同学们学习的乐趣.并通过问题的探究,体验“数学是过程的思 想”,改变课程实施过程中的强调接受学习,死记硬背,机械训练的现状,倡导学生主动参 与,乐于探究,勤于动手,培养学生收集和处理信息的能力,获得新知识的能力,分析与解 决问题的能力以及交流合作的能力. 教学目标 1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义,也能在直角坐标系中, 很好地将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡, 通过问题引导学生自主探究任意角 的三角函数的生成过程,从而很好地理解任意角的三角函数的定义. 2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号. 3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题. 教学重点与难点 1.教学重点:任意角三角函数的定义. 2.教学难点:正弦、余弦、正切函数的定义域. 教学过程 第一部分——情景引入 问题 1:如图 1 是一个摩天轮,假设它的中心离地面的高度为 h0,它的直径为 2R,逆时 针方向匀速转动,转动一周需要 360 秒,若现在你坐在座舱中,从初始位置 OA 出发,过了 30 秒后,你离地面的高度 h 为多少?过了 45 秒呢?过了 t 秒呢? 1 图1 设计意图 高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识, 因此选择感兴趣的、 与其生活实 际密切相关的素材, 此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解. 这个数学模型很 好地融合了初中对三角函数的定义, 也能放在直角坐标系中, 很好地将锐角三角函数的定义 向任意角的三角函数过渡,揭示函数的本质. 第二部分——复习回顾锐角三角函数 让学生自主思考如何解决问题:“过了 30 秒后,你离地面的高度为多少?” 分析: 作图如图 2 很容易知道: 从起始位置 OA 运动 30 秒后到达 P 点位置, 由题意知∠AOP =30°,作 PH 垂直地面交 OA 于 M,又知 MH=h0,所以本问题转变成求 PH 再次转变为求 PM. 图2 要求 PM 就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数. 问题 2:锐角 α 的正弦函数如何定义? 学生自主探究:学生很容易得到 图3 |MP| |MP| sinα = = ? |MP|=Rsinα ? |PH|=h0+Rsinα ? h=h0+Rsinα , |OP| R 所以学生很自然得到“过了 30 秒后,过了 45 秒,你离地面的高度 h 为多少”.h1=h0 +Rsin30°;h2=h0+Rsin45°. 教师总结:t°在锐角的范围中,h=h0+Rsint°. 第三部分——引入新课 问题 3:请问 t 的范围为多少?随着时间的推移,你离地面的高度 h 为多少?能不能猜 想 h=h0+Rsint°? 分析:若想做到这一点,就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦.今天我们就要来学习 任意角的三角函数. 问题 4:如图 4 建立直角坐标系,设点 P(xP,yP),你能用直角坐标系中角的终边上的点 的坐标来表示锐角 α 的正弦函数的定义吗?能否也定义其他函数(余弦、正切)? 图4 |MP| yP 学生自主探究:sinα = = , |OP| R |OM| xP |MP| yP cosα = = ,tanα = = . |OP| R |OM| xP 2 问题 5:改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么? 分析:先由学生回答问题,教师再引导学生选几个点,计算比值,获得具体认识,并由 相似三角形的性质证明. 设计意图 让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变, 只与角有关 系. 通过摩天轮的演示,让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样. 问题 6:大家根据第一象限角的正弦函数的定义,能否也给出第二象限角的定义呢


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