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黄冈中学高考数学知识点与典型例题[1]


黄冈中学
高考知识点与典型例题 集合
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第一部分

高考数学知识点重点难点

解 集 合 题 首 先 想 到Φ =方程无解 一,数学思想应用 1、数形结合思想 在解集合题中的具体应用: 数轴法, 文氏图法, 几何图形法 数几文

2、函数与方程思想 在解集合题中具体应用: 函数法 方程法 判别式法 构造法

3、分类讨论思想 在解集合题中具体应用: 列举法 补集法 空集的运用 数学结合

4、化归与转化思想 在解集合题中具体应用: 列方程 补集法 文氏图法

二,集合的含义与表示方法 1、一般地,我们把研究对象统称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合 2、集合元素三特性 1.确定性; 2.互异性; 3.无序性 3、 a 是集合 A 的元素, a∈A a 不属于集合 A 记作 a?A 立体几何中体现为 点与直线/ 点与面 的关系 元素与集合之间的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A .

4、非负整数集(自然数集)记作:N 含 0 正整数集 N*或 N+ 不含 0 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

3、集合表示方法: 列举法

描述法

韦恩图

4、列举法:把集合中的元素一一列举出来,用大括号括 上。 描述法:将集合中元素的共同特征描述出来,写在大括 号内表 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:不等式 x-3>2 的解集是 {x?R| x-3>2} ? {x| x-3>2} 集合的分类: 有限集 三、集合间的基本关系 “包含”关系—子集 A ? B 有两种可能 立体几何中体现为 (a)A 是 B 的一部分
? B ? B? ?A (b)A 与 B 是同一集合。反之: A ?

无限集

空集

直线与面关系

(c)A∩B=A (d)A∪B=B (e ) B ? A

? A ? B ?C B?C A ? A ? B ? C B ?C A ? C A ?C B
U U U U U U

2.“相等”关系(5≥5,且 5≤5

?5=5)

① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 ③A?B, B?C A ?B 且 A ? B A ?C

?

A B或B A

?

④ A ?B

且 B ?A

?A=B

A? B ? A? B ? A ? B

我们把不含任何元素的集合叫做空集,Φ 规定: 空集是任何集合的子集,Φ ?A 空集是空集的子集 Φ ?Φ 空集是任何集合的子集 该集合可为空集,必考虑Φ

?

空集是任何非空集合的真子集 Φ A∩B

?A∩B 集合一定非空 ?方程有解

四、集合的运算 1.A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、A∪B={x|x∈A,或 x∈B}.且 与 或 是区分交与并 的关键 3、交集与并集的性质: A∩A = A A ∩φ = φ A∩B = B∩A A∪A = A A∪φ = A A∪B = B∪A 4、全集与补集 (1)补集: CSA ={x ? x?S 且 x?A}
S CsA A

(2)全集:含各个集合的全部元素 U (3)性质: CU(C UA)=A (C UA)∩A=Φ CUA∪B=U CUU=Φ (CUA)∪A=U CUA∩B=Φ CUΦ =U

?A? B
B??

?

B ? A

已知集合 A、B,当 A ? B ? ? 时,你是否注意到“极端”情况:
A??





A??∩B ??;

求集合的子集时不能

忘记 ?

1、对于含有 n 个元素的有限集合 M, 其子集个数 2 n , 真子集
2 n ? 1,

非空子集 2 n ? 1,

非空真子集为 2 n ? 2.
A ? B ? B ? A;

① 交换律: A ? B ? B ? A ;

② 结合律: ( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C) ; ③ 分 配 律 :

( A ? B) ? C ? A ? ( B ? C )

A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C )



A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C )



A ? ( A ? B) ( A ? B) ? B

( A ? B) ? A

( A ? B) ? ( A ? B)

A? B ? B ? B ? A

B ? ( A ? B)

( A ? B) ? ( A ? B)
(CU A) ? B ? U ? A ? B

A? B ? A ? A ? B
A? B ? A ? B ? A





(CU A) ? B ? ? ? B ? A ;

⑤ 反演律:

CI ( A ? B) ? CI A ? CI B ,

并补补交

CI ( A ? B) ? CI A ? CI B

交补补并

(CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B) ; (CU A) ? (CU B) ? CU ( A ? B)
A ? B 中元素的个数的计算公式为:

补交并补 补并交补

Card ( A ? B) ? CardA ? CardB ? Card ( A ? B) Card ( A ? B) ? CardA ? CardB ? Card ( A ? B)

二并和减交 二交和减并

card ( A ? B ? C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A ? B)
? card ( A ? B) ? card ( B ? C ) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C )

三并和减

交加交

A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A ? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R

注意:讨论的时候不要遗忘了 A ? ? 的情况. 3. ①{(x,y)|xy =0,x∈R,y∈R}坐标轴上的点集. ②{(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R ? 二、四象限的点集. ③{(x,y)|xy>0,x∈R,y∈R} 一、三象限的点集. ②点集与数集的交集是 ? . 例:A ={(x,y)| y =x+1} 包含关系: B={y|y =x +1}
2

则 A∩B = ?

A ? A, ? ? A, A ? U , C U A ? U , A ? B, B ? C ? A ? C; A ? B ? A, A ? B ? B; A ? B ? A, A ? B ? B.

等价关系: A ? B ? A ? B ? A ? A ? B ? B ? C U A ? B ? U 求补律:A∩CUA=φ 吸收律 A∪CUA=U A∩(A∪B) = A

A∪(A∩B) = A

传递性:A? B 且 B? C ? A? C; A? C,B? C ? A∪B? C C? A,C? B ? C? A∩B 若 A ∪B = U 且 A ∩B = ? 则 B = A。
C

? ? A ? U

A-B-C =A-(B+C)=A∩CU(B∪C)

减交补

三、经典例题导讲 [例 1] 已知集合 M={y|y =x +1,x∈R},N={y|y =x+ 1,x∈R},则 M∩N=( ) A. (0,1), (1,2) C.{y|y=1,或 y=2} 错解:求 M∩N ∴选 B 错因:在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的 共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上 M、N 的元 素是数而不是实数对(x,y),因此 M、N 是数集而不是点集, M、N 分别表示函数 y=x +1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域, 求 M∩N 即求两函数值域的交集. 正解:M={y|y=x +1,x∈R}={y|y≥1}, N={y|y=x+ 1,x∈R}={y|y∈R}.
2 2 2

B.{(0,1), (1,2)} D.{y|y≥1} 得? ?
x?0 ?y ? 1

?y ? x2 ?1 及解方程组 ? ?y ? x ?1



?x ? 1 ? ?y ? 2

∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1}, ∴应选 D. 注: 集合是由元素构成的, 认识集合要从认识元素开始, 要注意区分{x|y=x +1}、{y|y=x +1,x∈R}、{(x,y)|y=x +1,x∈R},这三个集合是不同的.
2 2 2

[例 2] 已知 A={x|x -3x+2=0},B={x|ax-2=0}且 A∪B=A,求实数 a 组成的集合 C. 错解:由 x -3x+2=0 得 x=1 或 2. 当 x=1 时,a=2, 当 x=2 时,a=1.
2

2

错因: 上述解答只注意了 B 为非空集合, 实际上, B= 时, 仍满足 A∪B=A. 当 a=0 时, B= , 符合题设, 应补上, 故正确答案为 C={0, 1,2}. 正解:∵A∪B=A 2} ∴B= 或 ?? 1 或?2? ∴C={0,1,2} ∴B A 又 A={x|x -3x+2=0}={1,
2

[例 3]已知 m ? A,n ? B, 且集合 A= ?x | x ? 2a, a ? Z ?, B= ?x | x ? 2a ? 1, a ? Z ?,又 C= ?x | x ? 4a ? 1, a ? Z ?,则有: ( )

A.m+n ? A

B. m+n ? B

C.m+n? C

D. m+n 不属于

A,B,C 中任意一个 错解:∵m ? A,∴m=2a,a? Z ,同理 n=2a+1,a? Z, ∴

m+n=4a+1,故选 C
错因是上述解法缩小了 m+n 的取值范围. 正解:∵m ? A, ∴设 m=2a1,a1? Z, 又∵n ? B ,∴

n=2a2+1,a2? Z ,
∴m+n=2(a1+a2)+1,而 a1+a2 ? Z , ∴m+n? B, 故选 B. [例 4] 已知集合 A={x|x -3x-10≤0},集合 B={x|p +1≤x≤2p-1}.若 B A,求实数 p 的取值范围. 错解:由 x -3x-10≤0 得-2≤x≤5. 欲使 B A,只须 ? ?
? 2 ? p ?1 ? ?3 ? p ? 3 ?2 p ? 1 ? 5
2 2

∴ p 的取值范围是-3≤p≤3. 错因:上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结 论,即 B= 时,符合题设. 正解:①当 B≠ 时,即 p+1≤2p-1 p≥2. 由 B A 得:-2≤p+1 且 2p-1≤5. 由-3≤p≤3. ∴ 2≤p≤3 ②当 B= 时,即 p+1>2p-1 p<2. 由①、②得:p≤3. 点评:从以上解答应看到:解决有关 A∩B= 、A∪B= ,

A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解,这需要在解 题过程中要全方位、多角度审视问题. [例 5] 已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac }.若 A=B,求 c 的值. 分析:要解决 c 的求值问题,关键是要有方程的数学思 想,此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素 的确定性、互异性,无序性建立关系式. 解:分两种情况进行讨论. (1) 若 a+b=ac 且 a+2b=ac , 消去 b 得: a+ac -2ac=0, a=0 时,集合 B 中的三元素均为零,和元素的互异性相 矛盾,故 a≠0. ∴c -2c+1=0,即 c=1,但 c=1 时,B 中的三元素又相 同,此时无解. (2)若 a+b=ac 且 a+2b=ac,消去 b 得:2ac -ac- a=0, ∵a≠0,∴2c -c-1=0, 即(c-1)(2c+1)=0,又 c≠1,故 c=- 1 .
2
2 2 2 2 2 2 2

点评:解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增 解,这需要解题后进行检验. [例 6] 设 A 是实数集,满足若 a∈A,则 1?A.
1 ? A, a ? 1 且 1? a

⑴若 2∈A,则 A 中至少还有几个元素?求出这几个元 素. ⑵A 能否为单元素集合?请说明理由. ⑶若 a∈A,证明:1- 1 ∈A.
a

⑷求证:集合 A 中至少含有三个不同的元素. 解:⑴2∈A ? -1∈A ?
1 2

∈A
2

?

2∈A

∴ A 中至少还有两个元素:-1 和 1 ⑵如果 A 为单元素集合,则 a= 即 a 2 ? a ? 1 =0
1 1? a

该方程无实数解,故在实数范围内,A 不可能是单元素 集 ⑶a∈A - 1 ∈A
a

?

1 ∈A 1? a

?

1 1 1? 1? a

∈A?

1? a ? A,即 1? a ?1

1

⑷由⑶知 a∈A 时,
1 a

1 ∈A, 1? a

1- 1 ∈A .现在证明 a,1-
a

,

1 三数互不相等.①若 1? a 1 1? a
2

a= 1 1? a

,即 a2-a+1=0 , 方程无

解,∴a≠

②若 a=1- 1 ,即 a -a+1=0,方程无解∴a≠1- 1
a a a

③若
1 . 1? a

1- 1 a

= 1 ,即 1? a

a2-a+1=0,方程无解∴1- 1 ≠

综上所述,集合 A 中至少有三个不同的元素.

点评:⑷的证明中要说明三个数互不相等,否则证明欠 严谨. [例 7] 设集合 A={ a | a = n 2 ? 1 , n ∈N },集合 B={ b | b = k 2 ? 4k ? 5 , k ∈N },试证:A B. 证明:任设 a ∈A, 则 a = n 2 ? 1 =( n +2) -4( n +2)+5 ( n ∈N ), ∵ n∈N*,∴ n+2∈N* ∴ a∈B 故 ①
2 + + +

显然,1 ? A ? ?a | a ? n 2 ? 1, n ? N * ?,而由 B={ b | b = k 2 ? 4k ? 5 , k ∈N }={ b | b = (k ? 2) 2 ? 1 , k ∈N }知 1∈B,于是 A≠B 由①、② 得 A B. 点评:(1)判定集合间的关系,其基本方法是归结为 判定元素与集合之间关系. (2)判定两集合相等,主要是根据集合相等的定义. 四、典型习题导练 1. 集合 A={x|x -3x-10≤0, x∈Z}, B={x|2x -x-6>0, x ∈ Z},则 A∩B 的非空真子集的个数为( B.14 D.32
2 2 2 + +





A.16 C.15

2.数集{1,2,x -3}中的 x 不能取的数值的集合是( A.{2,-2 } B.{-2,-
5



}

C.{±2,

±

5

}
2

D.{

5 ,- 5 }
2

3. 若 P={y|y=x ,x∈R},Q={y|y=x +1,x∈R},则 P∩Q 等于 ( ) A .P B.Q
2

C.

D.不知道
2

4. 若 P={y|y=x ,x∈R},Q={(x,y)|y=x ,x∈R},则必有( ) A.P∩Q= B.P
x

Q

C.P=Q

D.P

Q

5.若集合 M={ x | 1 ? 1 },N={ x | x 2 ≤ x },则 M ? N= ( ) A. {x | ?1 ? x ? 1} C. {x | ?1 ? x ? 0}
2

B. {x | 0 ? x ? 1} D. ?


6.已知集合 A={x|x +(m+2)x+1=0,x∈R},若 A∩R = ,则 实数 m 的取值范围是_________. 7. 设 a ? R , 函 数
f ( x)? a2x ? 2 x ?2若 a . f ( x) ? 0

的解集为 A,

B ? ?x |1 ? x ? 3? , A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

8.已知集合 A= ?x | x 2 ? ax ? 12b ? 0?和 B= ?x | x 2 ? ax ? b ? 0?满足
C I A∩B= ?2?,A∩ C I B= ?4?,I=R,求实数

a,b 的值.

典型例题讲解
集合是高中数学的基本知识,为历年必考内容之一,主要考查对集合基本 概念的认识和理解,以及作为工具,考查集合语言和集合思想的运用.本节主要 是帮助考生运用集合的观点,不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理 解与应用.

●难点磁场 (★★★★★)已知集合 A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且 0≤x≤ 2},如果 A∩B≠ ? ,求实数 m 的取值范围.

●案例探究 [例 1] 设 A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b}, 是否存在 k、b∈N,使得(A∪B)∩C= ? ,证明此结论. 命题意图: 本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力,即能从集合 符号上分辨出所考查的知识点,进而解决问题.属★★★★★级题目. 知识依托:解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C= ? 转化为 A∩C= ? 且 B ∩C= ? ,这样难度就降低了. 错解分析: 此题难点在于考生对符号的不理解,对题目所给出的条件不能认 清其实质内涵,因而可能感觉无从下手. 技巧与方法:由集合 A 与集合 B 中的方程联立构成方程组,用判别式对根 的情况进行限制,可得到 b、k 的范围,又因 b、k∈N,进而可得值. 解:∵(A∪B)∩C= ? ,∴A∩C= ? 且 B∩C= ? ∵?
?y2 ? x ?1 ? y ? kx ? b

∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0

∵A∩C= ? ∴Δ 1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0 ∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解,其充要条件是 16b2-16>0,即 b2>1 ① ∵?
?4 x 2 ? 2 x ? 2 y ? 5 ? 0 ? y ? kx ? b

∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0 ∵B∩C= ? ,∴Δ 2=(1-k)2-4(5-2b)<0 ∴k2-2k+8b-19<0,从而 8b<20,即 b<2.5 由①②及 b∈N,得 b=2 代入由Δ 1<0 和Δ 2<0 组成的不等式组,得 ②

2 ? ?4k ? 8k ? 1 ? 0, ? 2 ? ?k ? 2 k ? 3 ? 0

∴k=1,故存在自然数 k=1,b=2,使得(A∪B)∩C= ? .

[例 2]向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果:赞成 A 的人 数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不 赞成;另外,对 A、B 都不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一 多 1 人.问对 A、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人? 命题意图:在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法 等,需要考生切实掌握.本题主要强化学生的这种能力.属★★★★级题目. 知识依托: 解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观 地表示出来. 错解分析:本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪, 不好找线索.

技巧与方法:画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系. 解:赞成 A 的人数为 50× =30,赞成 B 的人数为 30+3=33,如上图,记 50 名学生组成的集合为 U, 赞成事件 A 的学生全体为集合 A; 赞成事件 B 的学生全 体为集合 B. 设对事件 A、 B 都赞成的学生人数为 x,则对 A、 B 都不赞成的学生人数为 赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30-x,赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33-x. 依题意(30-x)+(33-x)+x+(
x +1)=50,解得 x=21. 3 x +1, 3
3 5

所以对 A、B 都赞成的同学有 21 人,都不赞成的有 8 人.

●锦囊妙计

1.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要 素; 对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素 x 以及它 所具有的性质 P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题. 2.注意空集 ? 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集 的可能性,如 A ? B,则有 A= ? 或 A≠ ? 两种可能,此时应分类讨论.

●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★)集合 M={x|x= A.M=N
kx ? k? ? ? ,k∈Z},N={x|x= ? ,k∈Z},则( 2 4 2 2

)

B.M N

C.M N

D.M∩N= ?

2.(★★★★)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}且 B≠ ? ,若 A ∪B=A,则( ) B.-3<m<4 D.2<m≤4

A.-3≤m≤4 C.2<m<4

二、填空题 3.(★★★★)已知集合 A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R},若 A 中元素至多有 1 个, 则 a 的取值范围是_________.

4.(★★★★)x、y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| ? 只有一个元素时,a,b 的关系式是_________.

x a

y =1,a>0,b>0},当 A∩B b

三、解答题 5.( ★ ★ ★ ★ ★ ) 集 合 A={x|x2 - ax+a2 - 19=0},B={x|log2(x2 - 5x+8)=1} , C={x|x2+2x-8=0},求当 a 取什么实数时,A∩B
? 和 A∩C= ? 同时成立.

6.(★★★★★)已知{an}是等差数列,d 为公差且不为 0,a1 和 d 均为实数,

它的前 n 项和记作 Sn,设集合 A={(an,

Sn 1 )|n∈N*},B={(x,y)| x2-y2=1,x,y∈R}. 4 n

试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明. (1)若以集合 A 中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B 至多有一个元素; (3)当 a1≠0 时,一定有 A∩B≠ ? .

7.(★★★★)已知集合 A={z||z-2|≤2,z∈C},集合 B={w|w= zi+b,b∈R},当 A ∩B=B 时,求 b 的值.

1 2

8.(★★★★)设 f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x}. (1)求证:A ? B; (2)如果 A={-1,3},求 B.

参考答案 难点磁场 解:由 ?
? x 2 ? mx ? y ? 2 ? 0 ? x ? y ? 1 ? 0(0 ? x ? 2)

得 x2+(m-1)x+1=0



∵A∩B≠ ? ∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解. 首先,由Δ =(m-1)2-4≥0,得 m≥3 或 m≤-1,当 m≥3 时,由 x1+x2=-(m -1)<0 及 x1x2=1>0 知,方程①只有负根,不符合要求. 当 m≤-1 时,由 x1+x2=-(m-1)>0 及 x1x2=1>0 知,方程①只有正根,且必 有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内. 故所求 m 的取值范围是 m≤-1.

歼灭难点训练 一、1.解析:对 M 将 k 分成两类:k=2n 或 k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ + ∈Z}∪{x|x=
?
4

,n

3? ,n ∈ Z}, 对 N 将 k 分成四类, k=4n 或 k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n ∈ 4 ? 3? Z),N={x|x=n π + ,n ∈ Z}∪ {x|x=n π + ,n ∈ Z} ∪ {x|x=n π +π ,n∈ Z}∪ {x|x=nπ 2 4 5? + ,n∈Z}. 4

nπ +

答案:C 2.解析:∵A∪B=A,∴B ? A,又 B≠ ? ,
? m ? 1 ? ?2 ? ∴ ?2 m ? 1 ? 7 即 2<m≤4. ?m ? 1 ? 2 m ? 1 ?

答案:D 二、3.a=0 或 a≥
9 8

4.解析:由 A∩B 只有 1 个交点知,圆 x2+y2=1 与直线 ? 1=
ab a ?b
2 2

x a

y =1 相切,则 b

,即 ab= a 2 ? b 2 .

答案:ab= a 2 ? b 2 三、5.解:log2(x2-5x+8)=1,由此得 x2-5x+8=2,∴B={2,3}.由 x2+2x-8=0, ∴C={2,-4},又 A∩C= ? , ∴2 和-4 都不是关于 x 的方程 x2-ax+a2-19=0 的解, 而 A∩B
? ,即 A∩B≠ ? ,

∴3 是关于 x 的方程 x2-ax+a2-19=0 的解,∴可得 a=5 或 a=-2. 当 a=5 时,得 A={2,3},∴A∩C={2},这与 A∩C= ? 不符合,所以 a=5(舍 去);当 a=-2 时,可以求得 A={3,-5},符合 A∩C= ? ,A∩B 2.
n(a1 ? an ) S 1 , 则 n ? (a1+an), 这表明点 2 n 2 S S 1 1 1 (an, n )的坐标适合方程 y ? (x+a1),于是点(an, n )均在直线 y= x+ a1 上. 2 2 n 2 n 1 1 ? y ? x ? a1 ? ? 2 2 的解, (2)正确.设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标 x,y 应是方程组 ? 由 1 ? x2 ? y2 ? 1 ? ?4
? ,∴a=-

6.解:(1)正确. 在等差数列 {an}中, Sn=

方程组消去 y 得:2a1x+a12=-4(*),当 a1=0 时,方程(*)无解,此时 A∩B= ? ;当

2 ? ? 4 ? a1 y ? ? 2 2a1 ? 4 ? a1 ? a1≠0 时,方程(*)只有一个解 x= ,此时,方程组也只有一解 ? , 2 2a1 ? y ? a1 ? 4 ? 4a1 ?

故上述方程组至多有一解. ∴A∩B 至多有一个元素. (3)不正确.取 a1=1,d=1,对一切的 x∈N*,有 an=a1+(n-1)d=n>0,
Sn >0,这时 n

集合 A 中的元素作为点的坐标,其横、纵坐标均为正,另外,由于 a1=1≠0.如 果 A ∩ B ≠ ? , 那 么 据 (2 ) 的 结 论 , A ∩ B 中 至 多 有 一 个 元 素 (x0,y0 ) , 而 x0=
? 4 ? a1 a ? x0 3 2 ? ? <0,y0= 1 ? <0,这样的(x0,y0) ? A,产生矛盾,故 a1=1,d=1 2a1 5 2 4
2

时 A∩B= ? ,所以 a1≠0 时,一定有 A∩B≠ ? 是不正确的.
2w ? 2b , i 2w ? 2b ∵z∈A,∴|z-2|≤2,代入得| -2|≤2,化简得|w-(b+i)|≤1. i

7.解:由 w= zi+b 得 z=

1 2

∴集合 A、B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面,集合 A 表示以点(2, 0)为圆心,半径为 2 的圆面,集合 B 表示以点(b,1)为圆心,半径为 1 的圆面. 又 A∩B=B,即 B ? A,∴两圆内含. 因此 (b ? 2) 2 ? (1 ? 0) 2 ≤2-1,即(b-2)2≤0,∴b=2. 8.(1)证明:设 x0 是集合 A 中的任一元素,即有 x0∈A. ∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0). 即有 f[f(x0)]=f(x0)=x0,∴x0∈B,故 A ? B. (2)证明:∵A={-1,3}={x|x2+px+q=x}, ∴方程 x2+(p-1)x+q=0 有两根-1 和 3,应用韦达定理,得
?? 1 ? 3 ? ?( p ? 1), ? p ? ?1 ?? ? ?( ?1) ? 3 ? q ?q ? ?3

∴f(x)=x2-x-3. 于是集合 B 的元素是方程 f[f(x)]=x,也即(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x(*) 的根.

将方程(*)变形,得(x2-x-3)2-x2=0 解得 x=1,3, 3 ,- 3 . 故 B={- 3 ,-1, 3 ,3}.



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