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福建师大附中2015届高三模拟考试数学(理)试题


2015 年福建师大附中高考模拟考试

数学试题(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题),第Ⅱ卷第 21 题为选考题, 其他题为必考 题.本试卷共 6 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框) 内作答, 超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3. 选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.做选考题时、考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑. 5.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 1 样本数据 x1,x2,…,xn 的标准差 V ? Sh
s? 1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] n

3

其中 x 为样本平均数; 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式
S ? 4?R 2 , V ? 4 ?R 3 3

其中 S 为底面面积,h 为高 锥体体积公式

其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个选项是符合题目要求的. 1.复数 z 满足 zi =1+2i,则复数 z 在复平面内所对应的点的坐标是( A. (1,-2) B. (2,-1) C. (1,2) 2.已知向量 a ? (m , 4), b ? (1,1) ,则“ m ? ?2 ”是“ a / /b ”的(
2

) D. (2,1)

)

A .充分而不必要条件 C .充要条件

B .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件

3.若数列 {an } 是等差数列,且 a3 ? a7 ? 4 ,则数列 {an } 的前 9 项和 A.

S9

等于 (

)

27 2

B.18

C.27

D.36

5

理科数学试题

第 1 页 (共 5 页)

4.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

)

8 A. ? 3

16 B. ? 3

C. 8?

D.16?

5. 对于不重合的直线 m, n 和平面 ? , ? , 下列命题错误 的是( .. A. 若 m // n, n ? ? , m ? ? ,则 m // ? C. 若 m ? n, m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ?

)

B. 若 m // n, m // ? ,则 n // ? 或 n ? ? D. 若 m ? ? , ? ? ? ,则 m // ?

6.函数 f( x) = s i n(ω x + φ ) ( x ∈R ) ( ω> 0 , | φ | < 的部分图象如图所示, 如果 x1 、 x2 ∈ (? f(x2) , 则 f(x1 + x2) 等于( A. ) C.

?
2



? ?

, ) ,且 f(x1) = 6 3

1 2

B. ?1

3 2

D.1

7. 已知函数 f ? x ? ?

1 * ,点 O 为坐标原点,点 An ? n, f ? n ? ? ? n ? N ? . 若记直线 OAn 的 x ?1

倾斜角为 ? n ,则 tan?1 ? tan?2 ? A.

? tan?n ? (
C.

)

n n ?1

B.

1 n ?1

1 n

D.

n ?1 n

8.已知圆 O 的半径为 1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A、B 为俩切点,那么 PA ? PB 的最小 值为( A. ?4 ? 2 9. 过曲线 C1 : ) B. ?3 ? 2 C. ?4 ? 2 2 D. ?3 ? 2 2

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F1 作曲线 C2 : x 2 ? y 2 ? a 2 的切线,设切 2 a b 点为 M,延长 F1M 交曲线 C3 : y 2 ? 2 px( p ? 0) 于点 N,其中 C1、C3 有一个共同的焦
点,若 MF1 ? MN ,则曲线 C1 的离心率为 ( A. ) D. 5 ? 1

5 ?1 2

B. 5 ? 1

C. 5

5

理科数学试题

第 2 页 (共 5 页)

10. 定义在 (0, 则( A. C.

?
2

) 上的函数 f ( x), f ' ( x) 是它的导函数,且恒有 f ( x) ? f ' ( x) tan x 成立,
)

3f ( ) ? 2f ( ) 4 3 3f ( )? f ( ) 6 3

?

?

B. f (1) ? 2 f ( )sin1 D.

?

?

?

2f( )? f( ) 6 4

?

6

?

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题有 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.在二项式 ?

?1 ? ? x 2 ? 的展开式中,含 x4 的项的系数是 x ? ?
? ?cos x, x ? 0, ,则 ? 2 f ( x)dx 的值等于 ?2 x ? 0, ?1,

5

.

12.已知函数 f ( x) ? ?



13.设不等式组 ?

?0 ? x ? 1, 表示平面区域为 M,在区域 M 内随机取一个点(x,y) ,则 ?0 ? y ? 1
.

此点满足不等式 2 x ? y ? 1 ? 0 的概率是

14.设定义域为 (0,??) 的单调函数 f ( x) , 对任意 x ? (0,??) , 都有 f [ f ( x) ? log 2 x] ? 6 , 若 x0 是方程 f ( x) ? f ?( x) ? 4 的一个解,且 x0 ? (a, a ? 1)(a ? N * ) ,则实数 a = .

15 . 对 于 非 空 集 合 A 、 B , 定 义 运 算 : A ? B ? {x | x ? A ? B, 且x ? A ? B} . 已 知

M ? {x | a ? x ? b} , N ? {x | c ? x ? d} ,其中 a、b、c、d 满足 a ? b ? c ? d , . ab ? cd ? 0 ,则 M ? N ?
三、解答题:本大题有 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 13 分)

x x x 1 已知向量m ? ( 3 sin ,1), n ? (cos , cos 2 ), 函数f ( x) ? m ? n ? 2 2 2 2 (1)若x ? (?

? ?

, ), 求f ( x)的取值范围; 3 6

(2)在 ABC中,角A, B, C的对边分别是a, b, c,若f ( B) ? 1, a ? 5, b ? 5 3, 求?ABC的面积.

5

理科数学试题

第 3 页 (共 5 页)

17. (本题满分 13 分) 某市于 2014 年 12 月 29 日起实施汽车限购政策.根据规定,每年发放 10 万个小汽车 名额,其中电动小汽车占 20%,通过摇号方式发放,其余名额通过摇号和竞价两种方式各 发放一半.政策推出后,在全市有购车意向的市民中,某网站针对不同年龄段的申请意向 进行了抽样调查,结果如下表所示: 申请意向 年龄 30 岁以下 (含 30 岁) 30 至 50 岁 (含 50 岁) 50 岁以上 合计 摇号 电动小汽车(人数) 非电动小汽车(人数) 50 50 100 200 100 150 150 400 竞价(人数) 50 300 50 400 合计 200 500 300 1000

(1)采取分层抽样的方式从 30 至 50 岁的人中抽取 10 人,求其中各种意向人数; (2)在(1)中选出的 10 个人中随机抽取 4 人,求其中恰有 2 人有竞价申请意向的概率; (3)用样本估计总体,在全体有购车意向的市民中任意选取 4 人,其中摇号申请电动小 汽车意向的人数记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

18. (本题满分 13 分) 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? AB ? AC ? 1 , E , F 分别是 CC1 、 BC 的中点,

AE ? A1 B1 , D 为棱 A1 B1 上的点.
(1)证明: DF ? AE ; (2)是否存在一点 D ,使得平面 DEF 与平面 ABC 所成锐二面角 的余弦值为
B1 D A1 C1

14 ?若存在,说明点 D 的位置,若不存在,说明理由. 14
A B F

E

C

5

理科数学试题

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19. (本题满分 13 分)

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,右焦点 F ? c, 0 ? (c ? 0) 到直线 2 2 a b 3x ? 4 y ? 12 ? 0 的距离为 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
已知椭圆 C : (Ⅱ)设过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于点 A, B ,过点 B 作直线 x ? 4 的垂线, 垂足为 M .试问:在 x 轴上是否存在一定点 N,使直线 AM 恒过点 N?若存在,求出点 N 的坐 标;否则,请说明理由.

20. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x ? x ? a . (Ⅰ)设 g ( x) ? f ?( x) ,求函数 g ( x) 的单调区间; (Ⅱ) 已知 ?a ? 0, ?0 ? x ? a, 使得 a ? x ln x ? 0. 试研究 a ? 0 时函数 y ? f ( x) 的零点个 数. [来源: 21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多作, 则按所做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑, 并将选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 ?a b ? ? 1? 已知二阶矩阵 A ? ? ,矩阵 A 属于特征值 ?1 ? ?1 的一个特征向量为 ?1 ? ? ? ,属于 ? ? ?1? ?c d ?
?3 ? 特征值 ?2 ? 4 的一个特征向量为 ? 2 ? ? ? .求矩阵 A 及其逆矩阵. ?2?

(2)(本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系下,已知圆 O: ? ? cos ? ? sin ? 和直线 l : ? sin(? ? (Ⅰ)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)当 ? ? ? 0, ? ? 时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 2 与 2 ? a 的大小. (Ⅰ)设 a ? R且a ? ? 2 ,试比较 2?a (Ⅱ)求函数 y ? 1 ? x ? 4 ? 2 x 的最大值.
5

?
4

)?

2 , 2

理科数学试题

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