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【志鸿优化设计—赢在高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第三章 导数3.3


第3讲 基础巩固 1.当 x≠0 时,有不等式(

导数的应用(二) 最值及导数的综合应用

)

A.ex<1+x B.当 x>0 时,ex<1+x,当 x<0 时,ex>1+x C.ex>1+x D.当 x<0 时,ex<1+x,当 x>0 时,ex>1+x 【答案】C 【解析】设 y=ex-1-x,则 y'=ex-1,于是当 x>0 时,函数 y=ex-1-x 是递增的;当 x<0 时,函数 y=ex-1-x 是递减的.故当 x=0 时,y 有最小值 y=0.因此应选 C.

2.右图中三条曲线给出了三个函数的图象, 一条表示汽车位移函数 s(t),一条表示汽车速 度函数 v(t),一条是汽车加速度函数 a(t),则( ) A.曲线 a 是 s(t)的图象,b 是 v(t)的图象,c 是 a(t)的图象 B.曲线 b 是 s(t)的图象,a 是 v(t)的图象,c 是 a(t)的图象 C.曲线 a 是 s(t)的图象,c 是 v(t)的图象,b 是 a(t)的图象 D.曲线 c 是 s(t)的图象,b 是 v(t)的图象,a 是 a(t)的图象 【答案】D 【解析】由于 v(t)=s'(t),a(t)=v'(t),注意到所给的三条曲线中,只有曲线 a 上有部分点的纵 坐标小于零,因此只有曲线 a 才能作为加速度函数 a(t)的 图象,曲线 b 有升有降,因此其导 函数图象有正有负,这与所给曲线 a 的形状吻合,因此 b 为速度函数 v(t)的图象. 3.(2013 届· 江苏无锡月考)已知 a≤+ln x,x∈ 恒成立,则 a 的最大值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【解析】设 f(x)=+ln x,则 f'(x)=+=,当 x∈ 时,f'(x)<0,故函数 f(x)在区间上单调递减,当 x∈ (1,2]时,f'(x)>0,故函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增,因此 f(x)mi n=f(1)=0.故 a≤0,即 a 的 最大值为 0. 4.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知在速度为每小时 10km 时的 燃料费是每小时 6 元,而其他与速度无关的费用是每小时 96 元,则使行驶每千米的费用 总和最小时,此轮船航行速度为( ) A.20 km/h B.25 km/h C.19 km/h D.18 km/h 【答案】A 【解析】设轮船速度为 x(x>0)时,燃料费用为 Q 元,则 Q=kx3,由 6=k× 可得 k=,于是 103 Q=x3,

总费用 y=· =x2+,y'=x-,令 y'=0 得 x=20,当 x∈ (0,20)时,y'<0,此时函数单调递减,当 x∈ (20,+∞)时,y'>0,此时函数单调递增,因此当 x=20 时,y 取得最小值.故此轮船以 20km/h 的速度行驶每千米的费用总和最小. 5.已知 f(x)=x2-cos x,x∈ [-1,1],则导函数 f'(x)是( ) A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值,又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.既有最大值,又有最小值的奇函数 【答案】D 【解析】f'(x)=x+ sin x,显然 f'(x)是奇函数,令 h(x)=f'(x),则 h(x)=x+sin x,求导得 h'(x)=1+cos x.当 x∈ [-1,1]时,h'(x)>0,所以函数 h(x)在区间[-1,1]上单调递增,有最大值和最 小值.故 f'(x)是既有最大值又有最小值的奇函数. 6.做一个圆柱形锅炉,容积为 V,两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元,侧面的材料每 单位面积的价格为 b 元,当造价最低时,锅炉的底面直径与高的比为( ) A. B. C. D. 【答案】C

【解析】如图,设圆柱的底面半径为 R,高为 h,则 V=πR2h. 设造价为 y=2πR2a+2πRhb=2πaR2+2πRb· =2πaR2+, 则 y'=4πaR-. 令 y'=0,得=.结合题意知,应选 C. 7.已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m,n∈ [-1,1],则 f(m)+f'(n)的最小值是 ( ) A.-13 B.-15 C.10 D.15 【答案】A 【解析】求导得 f'(x)=-3x2+2ax,由函数 f(x)在 x=2 处取得极值知 f'(2)=0,即-3× 4+2a× 2=0, 从而可得 a=3.由此可得 f(x )=-x3+3x2-4,f'(x)=-3x2+6x,易知函数 f(x)在区间(-1,0)上单调 递减,在区间(0,1)上单调递增,因此当 m∈ [-1,1]时,f(m)min=f(0)=-4.又 f'(x)=-3x2+6x 的图 象开口向下,且对称轴为 x=1,∴ n∈ 当 [-1,1]时,f'(n)min=f'(-1)=-9.故 f(m)+f'(n)的最小值为13. 8.函数 f(x)=x2-ln x 的最小值为 . 【答案】 【解析】由得 x>1.由得 0<x<1.故函数 f(x)在 x=1 时,取得最小值 f(1)=-ln1=. 9.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(t)与每吨产品的价格 p(元/t)之间的关 系式为 p=24200-x2,且生产 x t 的成本为 R=50000+200x(元),则该厂每月生产 t产 品才能使利润达到最大.(利润=收入-成本)

【答案】200 【解析】每月生产 x t 时的利润为 f(x)=x-(50000+200x)=-x3+24000x-50000(x≥0). 由 f'(x)=-x2+24000=0 得 x1=200,x2=-200,舍去负值.故函数 f(x)在[0,+∞)内有唯一的极大 值点,也是最大值点. 10.已知函数 f(x)的自变量取值区间为 A,若其值域也为 A,则称区间 A 为 f(x)的保值区间. 若 g(x)=x+m-ln x 的保值区间是[2,+∞),则 m 的值为 . 【答案】ln2 【解析】 g'(x)=1-=,当 x≥2 时,函数 g(x)为增函数,因此函数 g(x)的值域为[2+m-ln2,+∞),于 是 2+m-ln2=2,故 m=ln2. 11.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0,若 x= 时,y=f(x)有极值. (1)求 a,b,c 的值; (2) 求 y=f(x)在区间[-3,1]上的最大值和最小值. 【解】 (1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得 f'(x)=3x2+2ax+b, 当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b= 0.① 当 x=时,y=f(x)有极值, 则 f'=0,可得 4a+3b+4=0.② 由① 解得 a=2,b=-4. ② 由于切点的横坐标为 x=1,则 f(1)=4, 因此 1+a+b+c=4,即 c=5. 故 a=2,b=-4,c=5. (2)由(1)可得 f(x)=x3+2x2-4x+5,于是 f'(x)=3x2+4x-4,令 f'(x)=0,得 x1=-2,x2=. 当 x 变化时,y,y'的取值及变化如下表: - (-3,- x 1 3 2) 2 y + 0 0 + ' 1 y 8 ↗ ↘ ↗ 4 3 故 y=f(x)在区间[-3,1]上的最大值为 13,最小值为. 12.某造船公司年造船量是 20 艘,已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3700x+45x2-10x3(单 位:万元),成本函数为 C(x)=460x+5000(单位:万元),又在经济学中,函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x). (1)求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x);(提示:利润=产值-成本) (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? 【解】(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x 2+3240x-5000(x∈ N*,且 1≤x≤20);MP(x)=P(x+1)P(x)=-30x2+60x+3275(x∈ N*,且 1≤x≤19).

(2)P'(x)=-30x2+90x+3240=-30(x-12)· (x+9),∵ x>0,∴ P'(x)=0 时,x=12,于是当 0<x<12 时,P'(x)>0,当 x>12 时,P'(x)<0.故 x=12 时,P(x)有最大值,即年造船量安排 12 艘时,可使公 司造船的年利润最大. 13.已知函数 f(x)=x2+ln x. (1)求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值; (2)求证:当 x∈ (1,+∞)时,函数 f(x)的图象在 g(x)=x3+x2 的下方. 【解】(1)∵ f(x)=x2+ln x,∴ f'(x)=2x+. ∵ x>1 时,f'(x)>0, 故 f(x)在区间[1,e]上是增函数,∴ f(x)的最小值是 f(1)=1,最大值是 f(e)=1+e2. (2)证明:令 F(x)=f(x)-g(x)=x2-x3+ln x, 则 F'(x)=x-2x 2+= ==, ∵ x>1,∴ F'(x)<0. 从而可知 F(x)在(1,+∞)上是减函数, 于是 F(x)<F(1)=-=-<0. 即 f(x)<g(x). 故当 x∈ (1,+∞)时,函数 f(x)的图象总在 g(x)=x3+x2 的图象的下方. 拓展延伸 14.已知函数 f(x)=ax+x2-xln a,a>1. (1)求证:函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)若对? x1,x2∈ [-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1 恒成立,求 a 的取值范围. 【解】(1)证明:f'(x)=axln a+2x-ln a=2x+(ax-1)ln a, 由于 a>1,故当 x∈ (0,+∞)时,ln a>0,ax-1>0,从而可知 f'(x)>0,故函数 f(x)在(0,+∞)上单调递 增. (2)由(1)可知,当 x∈ (-∞,0)时,f'(x)<0, 故函数 f(x)在(-∞,0)上单调递减. 因此,f(x)在区间[-1,0]上单调递减,在区间[0,1]上单调递增. 于是 f(x)min=f(0)=1,f(x)max=max{f(-1),f(1)}, f(-1)=+1+ln a,f(1)=a+1-ln a, f(1)-f(-1)=a--2ln a, 记 g(x)=x--2ln x,因为 g'(x)=1+-=≥0,所以 g(x)=x--2ln x 递增.于是可知 f(1)-f(-1)=a--2ln a>0, 即 f(1 )>f(-1).因此 f(x)max=f(1)=a+1-ln a. 故对? x1,x2∈ [-1,1],|f(x1)-f(x2)|max=|f(1)-f(0)|=a-ln a,结合题意可知 a-ln a≤e-1,从而可得 1<a≤e.



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