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高中数学12点线面之间的位置关系122空间中的平行关系1课堂探究新人教B版必修2

1.2.2 空间中的平行关系 1 课堂探究 探究一 基本性质 4 的应用 基本性质 4 说明把平行线的传递性推广到空间也能成立, 这个基本性质是判断两条直线 平行的重要方法之一,其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线.此外,我们还 要熟悉各种几何图形的定义和特征. 【典型例题 1】 如图所示,已知 E,F 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB 与 BC 的中点,G, H 分别是边 CD 与 AD 上靠近 D 的三等分点,求证:四边形 EFGH 是梯形. 思路分析:要证明四边形 EFGH 是梯形,只需证一组对边平行且不相等即可.通过本题 条件可知,利用平面的基本性质 4 即可解决. 证明:在△ABC 中,因为 E,F 分别是 AB,BC 边上的中点, 所以 EF 1 AC. 2 DH DG 1 = = , 所以 GH DA DC 3 1 AC. 3 又在△ACD 中, G, H 分别是 CD, AD 边上的三等分点, 所以 EF∥GH,且 EF≠GH, 即四边形 EFGH 是梯形. 探究二 等角定理的应用 证明角相等的常用方法有: (1)利用题设中的条件,将要证明的两个角放在两个三角形中,利用三角形全等或三角 形相似证明两个角相等. (2)在题目中若不容易构造三角形或不能利用三角形全等或相似来证明角相等,可考虑 两个角的两边, 可利用定理证明这两个角的两边分别对应平行且方向相同或相反, 从而达到 目的. 【典型例题 2】 (1)空间中有一个∠A 的两边和另一个∠B 的两边分别平行, ∠A=70°, 则∠B=________. 解析:因为∠A 的两边和∠B 的两边分别平行, 所以∠A=∠B 或∠A+∠B=180°. 1 又∠A=70°,所以∠B=70°或 110°. 答案:70°或 110° (2)已知 E,E1 分别是正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱 AD,A1D1 的中点.求证:∠BEC=∠B1E1C1. 解:如图所示,连接 EE1, 因为 E1,E 分别为 A1D1,AD 的中点, 所以 A1E1 AE. 所以四边形 A1E1EA 为平行四边形, 所以 A1A E1E. 又因为 A1A B1B, 所以 E1E B1B, 所以四边形 E1EBB1 是平行四边形, 所以 E1B1∥EB. 同理 E1C1∥EC. 又∠BEC 与∠B1E1C1 对应边方向相同,所以∠BEC=∠B1E1C1. 探究三 直线与平面平行的判定定理 1.应用判定定理时,要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备,缺一不可. 2.要明确其思路是用直线与直线平行判定直线和平面平行.应用时,只需在平面内找 到一条直线与已知直线平行即可.简单地说,线∥线? 线∥面. 3.在题目中出现中点时,常见的证线线平行的两种途径. (1)中位线→线线平行. (2)平行四边形→线线平行. 【典型例题 3】 一木块形状如图所示,点 P 在平面 VAC 内,过点 P 将木块锯开,使截 2 面平行于直线 VB 和 AC,应该怎样画线? 思路分析:可考虑利用线面平行的判定定理分析“目标线”的画法. 解: 如图, 在平面 VAC 内经过点 P 作 EF∥AC, 且与 VC 的交点为 F, 与 VA 的交点为 E. 在 平面 VAB 内,经过点 E 作 EH∥VB,与 AB 交于点 H.在平面 VBC 内,经过点 F 作 FG∥VB,与 BC 交于点 G,连接 GH,则 EF,FG,GH,HE 为截面与木块各面的交线. 证明如下:因为 EH∥VB,FG∥VB, 所以 EH∥FG,可知 E,H,G,F 四点共面. 因为 VB ? 平面 EFGH,EH? 平面 EFGH, 所以 VB∥平面 EFGH. 同理可证 AC∥平面 EFGH. 点评 证明线面平行时,先在平面内找与已知直线平行的直线,若找不到,再添加辅助 线.添加辅助线一般要结合特殊点、特殊图形,添加的辅助线多为中线、高线、中位线或特 殊图形的边. 探究四 直线与平面平行的性质定理的应用 1.性质定理可作为直线和直线平行的判定方法.应用时,需要经过已知直线找平面(或 作平面)与已知平面相交,以平面为媒介证明线线平行. 2.定理中的三个条件:(1)直线 a∥平面 α ;(2)平面 α ,β 相交,即 α ∩β =b;(3) 直线 a 在平面 β 内.缺一不可. 定理的应用流程可表示如下: 3 【典型例题 4】 如图,四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面,若截面为平行四 边形. (1)求证:AB∥平面 EFGH,CD∥平面 EFGH; (2)若 AB=4,CD=6,求四边形 EFGH 周长的取值范围. 思路分析: (1)利用线面平行的判定和性质定理进行证明; (2)利用图形相似的性质来求 边长. 解:(1)证明:因为四边形 EFGH 为平行四边形, 所以 EF∥HG.因为 HG? 平面 ABD,EF ? 平面 ABD,所以 EF∥平面 ABD. 因为 EF? 平面 ABC,平面 ABD∩平面 ABC=AB, 所以 EF∥AB,易得 AB∥平面 EFGH.同理,CD∥EH,所以 CD∥平面 EFGH. (2)设 EF=x(0<x<4),由于四边形 EFGH 为平行四 边形,EF∥AB,CD∥EH, 所以 CD∥FG, = CF CB x . 4 故 x 3 FG BF BC-CF = = =1- .从而 FG=6- x . 6 BC BC 4 2 于是四边形 EFGH 的周长为 l= 2 ? x ? 6 ? 又 0<x<4,所以 8<l<12, ? ? 3 ? x =12-x. 2 ? ? 即四边形 EFGH 周长的取值范围为(8,12). 点评 线面平行的判定定理与性质定理常常交替使用:先通过线线平行推出线面平行, 再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称为平行链,如下: 线线平行 在平面内作 或找


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