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四川省绵阳市高中2015届高三第一次诊断性考试数学理试题 扫描版_图文

第 1 页 共 8 页 第 2 页 共 8 页 第 3 页 共 8 页 绵阳市高 2015 级第一次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. DBDAC BACDA 10 题提示:由 e x ?1 ≥ ax ? b 对 x∈R 恒成立,显然 a≥0,b≤ e x ?1 -ax. 若 a=0,则 ab=0. 第 4 页 共 8 页 若 a>0 ,则 ab ≤ a e x ?1 -a2x .设函数 f ( x) ? ae x ?1 ? a 2 x ,求导求出 f(x) 的最小值为 f (ln a ? 1) ? 2a 2 ? a 2 ln a . 3 设 g (a ) ? 2a 2 ? a 2 ln a (a ? 0) ,求导可以求出 g(a)的最大值为 g (e 2 ) ? 1 3 e , 2 1 1 即 ab 的最大值是 e3 ,此时 a ? e 2,b ? e 2 . 2 2 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ? 3 3 3 5 12.-1 13.40 14.3021 15.①③④ 15 题提示:①容易证明正确. ②不正确.反例: f ( x) ? x 在区间[0,6]上. ?m?m 2 得 x0 ? 1 ? ( x0 ? 1)m ? m ? x0 ? 1 , 2 又 x0 ? (?1,1) 所以实数 m 的取值范围是 m ? (0 ,2) . ③正确.由定义: x0 ? mx0 ? 1 ? 2 ④正确.理由如下:由题知 ln x0 ? 要证明 ln x0 ? 令 ln b ? ln a . b?a ln b ? ln a 1 b b?a b a 1 ? ? ln ? ? ? ,即证明: , b?a a a b ab ab ab b 1 1 ? t ? 1 ,原式等价于 ln t 2 ? t ? ? 2 ln t ? t ? ? 0 . t t a 1 2 1 ? t 2 ? 2t ? 1 (t ? 1) 2 ? h ( t ) ? ? 1 ? ? ? ? ? 0, h ( t ) ? 2 ln t ? t ? ( t ? 1 ) 令 ,则 t t t2 t2 t2 1 所以 h(t ) ? 2 ln t ? t ? ? h(1) ? 0 得证. t 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解:(Ⅰ ) f ( x) ? 2m· n-1 ? 2 sin ?x ? cos ?x ? 2 cos 2 ?x ? 1 = sin 2?x ? cos 2?x ? 2 sin( 2?x ? 由题意知: T ? ? ,即 ? 4 ) . ……………………………6 分 2? ? ? ,解得 ? ? 1 .…………………………………7 分 2? (Ⅱ) 由(Ⅰ )知 f ( x) ? 2 sin( 2 x ? ∵ ? 4 ), ? ? 7? ? 3? ≤x≤ ,得 ≤ 2x ? ≤ , 6 4 12 4 4 7? 3? 又函数 y=sinx 在[ , ]上是减函数, 12 4 7? ? ? ∴ f ( x) max ? 2 sin ? 2 sin( ? ) …………………………………10 分 12 4 3 ? ? ? ? ? 2 sin cos ? 2 cos sin 4 3 4 3 = 分 第 5 页 共 8 页 3 ?1 .…………………………………………………………12 2 ?2 ? t ? 0, 17.解:(Ⅰ ) 由题知 ? 解得 1 ? t ? 2 ,即 D ? [1,2) .……………………3 分 ?t ? 1 ? 0, (Ⅱ) g (x)=x2+2mx-m2= ( x ? m) 2 ? 2m 2 ,此二次函数对称轴为 x ? ? m .……4 分 ① 若 ? m ≥2,即 m≤-2 时, g (x)在 [1,2) 上单调递减,不存在最小值; ② 若 1 ? ? m ? 2 ,即 ? 2 ? m ? ?1 时, g (x)在 [1,? m) 上单调递减, (? m ,2] 上递增, 此时 g ( x) min ? g (? m) ? ?2m 2 ? 2 ,此时 m 值不存在; ③? m ≤1 即 m≥-1 时, g (x)在 [1,2) 上单调递增, 此时 g ( x) min ? g (1) ? 1 ? 2m ? m 2 ? 2 ,解得 m=1. 18.解:(Ⅰ ) AB ? 5 , cos ?ABC ? …………………………11 分 综上: m ? 1 . …………………………………………………………………12 分 1 , BC ? 2 , 5 1 5 由余弦定理: AC 2 ? BA2 ? BC 2 ? 2 BA ? BC ? cos ?ABC =52+22-2× 5× 2× =25, ? AC ? 5 . ……………………………………………………………………3 分 又 ?ABC ? (0, ? ) ,所以 sin ?ABC ? 1 ? cos 2 ?ABC ? 由正弦定理: 2 6 , 5 AB AC ? , sin ?ACB sin ?ABC AB ? sin ?ABC 2 6 得 sin ?ACB ? .………………………………………6 分 ? AC 5 (Ⅱ) 以 BA,BC 为邻边作如图所示的平 A 行四边形 ABCE ,如图, E 1 则 cos ?BCE ? ? cos ?ABC ? ? , 5 D BE=2BD=7,CE=AB=5, 在 △ BCE 中 , 由 余 弦 定 理 : B 2 BE ? CB 2 ? CE 2 ? 2CB ? CE ? cos ?BCE . 即 49 ? CB 2 ? 25 ? 2 ? 5 ? CB ? (? ) , 解得: CB ? 4 . ……………………


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