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三角函数概念、同角关系、诱导公式


在此处键入公式。任意角的三角函数、同角关系及诱导公式
基础训练

1.角 ? ? k ? ? ?

?
6

, k ? Z , ? 则的终边落在________________象限.

2.扇形的圆心角是 72? ,半径为 5cm,它的弧长为________,面积为 3.把 ?
11 ? 表示成 ? ? 2k? (? ? Z ) 的形式,使 ? 最小的 ? 值是 4

1 4.已知 sinθ+cosθ= ,θ∈(0,π),那么 tanθ 的值是________. 5 5.sin2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1 的值为________. π 1 π α- ?= ,则 cos?α+ ?的值为 6.已知 sin? ? 6? 3 ? 3?

2sin?π+α?cos?π-α?-cos?π+α? 35 7.设 α=- 6 π,则 的值等于________. 1+sin2α+sin?π-α?-cos2?π+α? 典型例题
3 例 1:已知 sinα=- ,求 cosα,tanα 的值. 5

4 跟踪训练 1 已知 tanα= ,且 α 是第三象限角,求 sinα,cosα 的值. 3

例 2:已知 α 是第三象限角,化简:

1+sinα - 1-sinα

1-sinα . 1+sinα

跟踪训练 2 1-cos4α-sin4α 1.化简: 1-2sin40° cos40° =________.2.化简: = 1-cos6α-sin6α
1

1+sinα cosα 例 3:求证: = . cosα 1-sinα

2sinxcosx-1 tanx-1 跟踪训练 3(1)求证: 2 = . cos x-sin2x tanx+1

tanθ· sinθ 1+cosθ (2)求证: = . sinθ tanθ-sinθ

π? 3 π 3π ? 2π? 例 4:已知 cos? ?α+6?=5,2≤α≤ 2 ,求 sin?α+ 3 ?的值.

π ? 3 ? π? 跟踪训练 4 已知 sin? ?6+α?= 3 ,求 cos?α-3?的值.

2

π ? ?11 ? sin?2π-α?cos?π+α?cos? ?2+α?cos? 2 π-α? 例 5 化简: . 9 π+α? cos?π-α?sin?3π-α?sin?-π-α?sin? ?2 ?

3 π θ- π?cos?θ+ ?-1 2sin? ? 2 ? ? 2? tan?9π+θ?+1 跟踪训练 5 求证: = . 3 tan?π+θ?-1 θ+ π? 1-2cos2? ? 2 ?

5 7 4?π 4?3 ? ? ? 例 6:已知 sin(5π-θ)+sin? ?2π-θ?= 2 ,求 sin ?2-θ?+cos ?2π+θ?的值.

3 π 3π 3 3 π+θ?= ,求 sin3? +θ?-cos3? -θ?的值. 跟踪训练 6 已知 sin(θ- π)+cos? ?2 ? 5 ?2 ? ?2 ? 2

3

四当堂检测 π? 1 ? π? 1.已知 sin? ?α-6?=3,则 cos?α+3?的值为 2.已知 sin(α-180° )-sin(270° -α)=m,则 sin(180° +α)· sin(270° +α)用 m 表示为 3.代数式 sin2(A+45° )+sin2(A-45° )的化简结果是______.

4.已知角 α 终边上一点 P(-4m,3m) (m<0),则 sin(π+α)+cos(π-α)=________. 5.若 α 是第三象限角,则化简 1-2sin?π-α?cos?π-α?的结果为________. 6.如果|cos x|=cos(x+π),则 x 的取值集合是________. 7.有下列命题,其中正确的命题个数是________. (1)终边相同的角的同名三角函数的值相等;(2)终边不同的角的同名三角函数的 值不同;(3)若 sin α>0,则 α 是第一、二象限角;(4)若 α 是第二象限的角,且 P(x,y)是其终边上的一点,则 cos α= -x . x2+y2

? π? 1 ?7π ? ?5π ? 8.已知:sin?x+6?=4,求 sin? 6 +x?+cos2? 6 -x?的值. ? ? ? ? ? ?

1 ? π ? 9.已知 sin(π-α)=log84,且 α∈?-2,0?,求 tan(2π-α)的值. ? ?

4

课后练习
一、填空题 3 3π 1、已知 cosθ= ,且 <θ<2π,那么 tanθ 的值为________. 5 2 1 2.已知 sinθ+cosθ= ,θ∈(0,π),那么 tanθ 的值是________. 5 3.已知 cosα=tanα,则 sinα=________. 4.sin2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1 的值为________. 5.在△ABC 中,若 cosA= 3 1 ,则 sin(π-A)=________;若 sinA= ,则 cosA=________. 2 2

5 6.已知 sin(45° +α)= ,则 sin(225° +α)=________. 13 5 7.已知 cos(α-π)=- ,且 α 是第四象限角,则 sin(-2π+α)=________. 13 1 π 8.已知 sin(π-α)=log8 ,且 α∈(- ,0),则 tan(2π-α)的值为________. 4 2 1 3π 9.若 cos(π+α)=- ,那么 sin( -α)等于________. 3 2 10.下列各命题中,正确的是________. 1 15 2 2 ①存在角 α,使 cosα= ,tanα= ②不存在角 α,使 sinα=cosα= 3 4 3 2π 2π 3 ③cos = 1-sin2 ④若 sinα-cosα= ,则 α 是锐角 3 3 3 3 tanα· cos3α 11.若 cosα=- 且 tanα>0, = 5 1-sinα 12.sin95° +cos175° 的值为________. π 1 π 13.已知 sin(α- )= ,则 cos( +α)的值等于________. 4 3 4 14.若角 A,B,C 是△ABC 的三个内角,则下列等式中一定成立的是________. B+C A A ①cos(A+B)=cosC;②sin(A+B)=-sinC;③cos( +C)=cosB;④sin =cos . 2 2 2 二、解答题 sinx+cosx sin2x 15.化简: - . sinx-cosx tan2x-1

60 16.(1)已知 0<α<π,sinα· cosα=- ,求 sinα-cosα 的值; 169 1 (2)已知 0<α<π,sinα· cosα<0,且 sinα+cosα= ,求 sinα-cosα 的值. 4

5

15 13 sin? π+x?+3cos?x- π? 7 7 a+3 8 17.已知 tan(x+ π)=a,求证: = . 7 20 22 a+1 sin? π-x?-cos?x+ π? 7 7

sin?α-2π?+sin?-α-3π?cos?α-3π? 2 18.若 cos α=3,α 是第四象限角,求 的值. cos?π-α?-cos?-π-α?cos?α-4π?

2- 3 π 3 4π 2π 19.已知 cos( -α)= ,求证:sin( +α)+cos2( -α)= . 6 3 3 3 3

3 sin?α-3π?cos?2π-α?· sin?-α+ π? 2 20.已知 f(α)= . cos?-π-α?sin?-π-α? (1)化简 f(α); 3 1 (2)若 α 是第三象限角,且 cos(α- π)= ,求 f(α)的值. 2 5

6

部分习题答案 3 3π 1、已知 cosθ= ,且 <θ<2π,那么 tanθ 的值为________. 5 2 4 解析:因为 θ 为第四象限角,所以 tanθ<0,sinθ<0,sinθ=- 1-cos2θ=- ,所以 tanθ 5 sinθ 4 4 = =- .答案:- cosθ 3 3 1 2.已知 sinθ+cosθ= ,θ∈(0,π),那么 tanθ 的值是________. 5 解析:设 P(x,y)是角 θ 终边上任一点,P 到坐标原点的距离为 r,则 r= x2+y2≠0,且 sinθ y+x 1 y x y 3 y 4 = ,cosθ= .由已知有 = ,①即 25(x+y)2=x2+y2,整理并解得 =- 或 =- ,②. r r r 5 x 4 x 3 x y 因为 0<θ<π,所以 y>0,又由②知 x<0,再由①知 x+y>0,则|x|<|y|.所以-1< <0, y x y 4 4 <-1.所以 tanθ= =- .答案:- x 3 3 3.已知 cosα=tanα,则 sinα=________. sinα 解析:利用同角三角函数关系式求解.因为 cosα=tanα,所以 cosα= ,即 sinα=cos2α cosα -1± 5 ≥0,可得 sinα=1-sin2α,即 sin2α+sinα-1=0,解得 sinα= ,舍去负值,得 sinα 2 5-1 5-1 = .答案: 2 2 4.sin2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1 的值为________. 解析:原式=sin2α+cos2α+1=2.答案:2 3 1 ,则 sin(π-A)=________;若 sinA= ,则 cosA=________. 2 2 1 3 1 3 解析:sin(π-A)=sinA= 1-cos2A= ,cosA=± 1-sin2A=± .答案: ± 2 2 2 2 5 6.已知 sin(45° +α)= ,则 sin(225° +α)=________. 13 5 5 解析:sin(225° +α)=sin(180° +45° +α)=-sin(45° +α)=- .答案:- 13 13 5 7.已知 cos(α-π)=- ,且 α 是第四象限角,则 sin(-2π+α)=________. 13 5 5 解析:由 cos(α-π)=- ,易得 cosα= ,又因为 sin(-2π+α)=sinα,所以只需求出 sinα 13 13 12 即可.答案:- 13 1 π 8.已知 sin(π-α)=log8 ,且 α∈(- ,0),则 tan(2π-α)的值为________. 4 2 2 - 3 1 2 sinα 2 5 解析:sin(π-α)=sinα=log8 =- ,tan(2π-α)=-tanα=- =- = . 2 4 3 cosα 5 1-sin α 5.在△ABC 中,若 cosA= 2 5 答案: 5 1 3π 9.若 cos(π+α)=- ,那么 sin( -α)等于________. 3 2 1 1 3π 3π 1 解析:∵cos(π+α)=- ,∴cosα= ,又∵sin( -α)=-cosα,∴sin( -α)=- . 3 3 2 2 3 10.下列各命题中,正确的是________.
7

1 15 2 2 ①存在角 α,使 cosα= ,tanα= ②不存在角 α,使 sinα=cosα= 3 4 3 2π 2π 3 ③cos = 1-sin2 ④若 sinα-cosα= ,则 α 是锐角 3 3 3 8 8 16 解析:②中 sin2α+cos2α= + = >1.故不存在这样的角 α.答案:② 9 9 9 3 tanα· cos3α 11.若 cosα=- 且 tanα>0,求 的值. 5 1-sinα sinα · cos3α 2 3 cos α tanα· cos α sinα· cos2α sinα?1-sin α? 解: = = = 1-sinα 1-sinα 1-sinα 1-sinα sinα?1-sinα??1+sinα? = =sinα(1+sinα). 1-sinα sinα 3 由 tanα= >0,cosα=- <0,∴sinα<0.又 sin2α+cos2α=1, cosα 5 4 4 4 4 ∴sinα=- 1-cos2α=- ,∴原式=sinα(1+sinα)=- · (1- )=- . 5 5 5 25 12.sin95° +cos175° 的值为________. 解析:sin95° +cos175° =sin(90° +5° )+cos(180° -5° )=cos5° -cos5° =0.答案:0 π 1 π 13.已知 sin(α- )= ,则 cos( +α)的值等于________. 4 3 4 π π π π π π π π π π 解析: ∵( +α)-(α- )= , ∴ +α= +(α- ), ∴cos( +α)=cos[ +(α- )]=-sin(α- ) 4 4 2 4 2 4 4 2 4 4 1 =- . 3 14.若角 A,B,C 是△ABC 的三个内角,则下列等式中一定成立的是________. ①cos(A+B)=cosC;②sin(A+B)=-sinC; B+C A A ③cos( +C)=cosB;④sin =cos . 2 2 2 解析:∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,∴cos(A+B)=-cosC,sin(A+B)=sinC,所以①② B+C π A A 都不正确;同理 B+C=π-A,所以 sin =sin( - )=cos ,所以④是正确的. 2 2 2 2 2 sin x + cos x sin x 9.化简: - . sinx-cosx tan2x-1 60 11.(1)已知 0<α<π,sinα· cosα=- ,求 sinα-cosα 的值; 169 1 (2)已知 0<α<π,sinα· cosα<0,且 sinα+cosα= ,求 sinα-cosα 的值. 4 60 解:(1)∵0<α<π,sinα· cosα=- <0,∴sinα>0,cosα<0,∴sinα-cosα>0, 169 60 289 17 ∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1-2×(- )= ,∴sinα-cosα= . 169 169 13 1 1 1 15 (2)∵sinα+cosα= ,∴(sinα+cosα)2= ,∴1+2sinαcosα= ,∴2sinαcosα=- . 4 16 16 16 又∵0<α<π,sinα· cosα<0,∴sinα>0,cosα<0,∴sinα-cosα>0, 31 31 ∴(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα= ,∴sinα-cosα= . 16 4 tan?2π-α?sin?-2π-α?cos?6π-α? 15.求证: =-tanα. cos?α-π?sin?5π-α? sin?2π-α? · sin?-α?· cos?-α? cos?2π-α? -sinα· ?-sinα?· cosα sinα 证明:左边= = =- =-tanα=右边. cosα cos?π-α?sin?π-α? cosα· ?-cosα?· sinα
8

所以原式成立. 8 16.已知 tan(x+ π)=a, 7 15 13 sin? π+x?+3cos?x- π? 7 7 a+3 求证: = . 20 22 a+1 sin? π-x?-cos?x+ π? 7 7 15 13 8 8 sin? π+x?+3cos?x- π? sin[π+?x+ π?]+3cos?x+ π-3π? 7 7 7 7 证明: = 20 22 8 8 sin? π-x?-cos?x+ π? sin[4π-?x+ π?]-cos[2π+?x+ π?] 7 7 7 7 8 8 8 8 -sin?x+ π?+3cos[?x+ π?-π] -sin?x+ π?-3cos?x+ π? 7 7 7 7 = = 8 8 8 8 sin[-?x+ π?]-cos?x+ π? -sin?x+ π?-cos?x+ π? 7 7 7 7 8 tan?x+ π?+3 7 a+3 = = . 8 a+1 tan?x+ π?+1 7 2- 3 π 3 4π 2π 19.已知 cos( -α)= ,求证:sin( +α)+cos2( -α)= . 6 3 3 3 3 π 3 证明:因为 cos( -α)= , 6 3 4π 2π 所以 sin( +α)+cos2( -α) 3 3 3π π π π =sin[ -( -α)]+cos2[ +( -α)] 2 6 2 6 π π =-cos( -α)+[-sin( -α)]2 6 6 2 - 3 3 3 =- +[1-( )2]= . 3 3 3

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