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2017-2018版高中数学第二章解析几何初步章末复习课二学案北师大版必修2

第二章 解析几何初步 学习目标 1.整合知识结构,梳理知识网络,进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用 知识解决问题的能力,能灵活、熟练运用待定系数法求解圆的方程,能解决直线与圆的综合 问题,并学会运用数形结合的数学思想. 1.圆的方程 (1)圆的标准方程:________________________. (2)圆的一般方程:________________________. 2.点和圆的位置关系 设点 P(x0,y0)及圆的方程(x-a) +(y-b) =r . (1)(x0-a) +(y0-b) >r ?点 P________. (2)(x0-a) +(y0-b) <r ?点 P________. (3)(x0-a) +(y0-b) =r ?点 P________. 3.直线与圆的位置关系 设直线 l 与圆 C 的圆心之间的距离为 d,圆的半径为 r,则 d____r→相离;d____r→相切; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d____r→相交. 4.圆与圆的位置关系 设 C1 与 C2 的圆心距为 d,半径分别为 r1 与 r2,则 位置关系 图示 相离 外切 相交 内切 内含 d 与 r1,r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 5.求圆的方程时常用的四个几何性质 6.与圆有关的最值问题的常见类型 (1)形如 μ = y-b 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题. x-a 1 (2)形如 t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如(x-a) +(y-b) 形式的最值问题,可转化为动点到定点距离的平方的最值问题. 7.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. (2)代数方法 运用根与系数的关系及弦长公式 |AB|= 1+k |xA-xB| = ?1+k ?[?xA+xB? -4xAxB]. 注:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 8.空间中两点的距离公式 空间中点 P1(x1,y1,z1),点 P2(x2,y2,z2)之间的距离|P1P2|=________________________. 2 2 2 2 2 类型一 求圆的方程 例 1 根据条件求下列圆的方程. (1)求经过 A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线 3x+10y+9=0 上的圆的方程; (2)求半径为 10,圆心在直线 y=2x 上,被直线 x-y=0 截得的弦长为 4 2的圆的方程. 反思与感悟 求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程, 利用待定系数法求解, 采用 待定系数法求圆的方程的一般步骤为: 第一步:选择圆的方程的某一形式. 第二步:由题意得 a,b,r(或 D,E,F)的方程(组). 第三步:解出 a,b,r(或 D,E,F). 第四步:代入圆的方程. 注:解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径,减少运算量,例如:圆的切线垂直于经 2 过切点的半径;圆心与弦的中点连线垂直于弦;当两圆相交时,连心线垂直平分两圆的公共 弦;当两圆相切时,连心线过切点等. 跟踪训练 1 如图所示,圆 C 与 x 轴相切于点 T(1,0),与 y 轴正半轴交于两点 A,B(B 在 A 的上方),且|AB|=2,则圆 C 的标准方程为________. 类型二 直线与圆的位置关系 例 2 已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1) +(y-2) =4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值. 2 2 反思与感悟 当直线与圆相交时,常涉及到弦长问题,弦长的计算有以下两种思路 (1)代数方法:将直线和圆的方程联立得方程组,消元后得到一个一元二次方程,在判别式 Δ >0 的前提下,可利用根与系数的关系求弦长. (2)几何方法:若弦心距为 d,圆半径为 r,则弦长为 l=2 r -d . 解决直线与圆相交问题时,常利用几何方法,即构造直角三角形,利用勾股定理,当直线与 圆相切时,圆心到直线的距离等于半径,圆心和切点的连线垂直于切线. 跟踪训练 2 已知点 P(0,5)及圆 C:x +y +4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P,且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程; (2)求过 P 点的圆 C 弦的中点的轨迹方程. 2 2 2 2 3 类型三 圆与圆的位置关系 例 3 已知两圆 x +y -2x-6y-1=0 和 x +y -10x-12y+m=0. (1)m 取何值时两圆外切? (2)m 取何值时两圆内切? (3)当 m=45 时,求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 2 2 2 2 跟踪训练 3 已知两个圆 C1:x +y =4,C2:x +y -2x-4y+4=0,直线 l:x+2y=0,求 经过 C1 和 C2 的交点且和 l 相切的圆的方程. 2 2 2 2 类型四 数形结合思想的应用 例 4 曲线 y=1+ 4-x 与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点, 则实数 k 的取值范围是( 5 A.(0, ) 12 1 3 C.( , ] 3 4 5 B.( ,+∞) 12 5 3 D.( , ] 12 4 2 ) 4 反思与感悟 数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛, 利用数形结合的思想解题, 能把 抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系, 从而使问题在解答过程中更加形象化、 直观 化,而本章的相关知识整体体现了这种思想,即把几何问题代数化,同时利用代数 (方程) 的思想反映几何问题. 跟踪训练 4 已知实数 x、y 满足方程


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