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2013届高考文科数学第一轮复习测试题37


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命题要点:?1?数列的通项公式?′11 年 6 考,′10 年 5 考?;?2?数列的概念及性 质?′11 年 1 考?. A级 (时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.已知数列,1, 3, 5, 7,?, 2n-1,?,则 3 5是它的( A.第 22 项 B.第 23 项 C.第 24 项 D.第 28 项 ). 满分:60 分)

解析 3 5= 45= 2×23-1. 答案 B 2.(2011· 福州一模)把 1,3,6,10,15,21 这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的 点子可以排成一个正三角形(如图所示).

则第七个三角形数是( A.27 B.28 C.29

). D.30

解析 观察三角形数的增长规律, 可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是 本身的序号, 所以根据这个规律计算即可.根据三角形数的增长规律可知第七个 三角形数是 1+2+3+4+5+6+7=28. 答案 B 3.(2011· 四川)数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6= ( A.3×44 B.3×44+1 C.45 D.45+1 ).

解析 a1=1,a2=3S1=3,a3=3S2=12=3×41,a4=3S3=48=3×42,a5=3S4 =3×43,a6=3S5=3×44. 答案 A 4.对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,?)”是“{an}为递增数列”的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 ).

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C.必要条件 解析 当 an+1>|an|(n=1,2,?)时,∵|an|≥an,

D.既不充分也不必要条件

∴an+1>an,∴{an}为递增数列.当{an}为递增数列时,若该数列为- 2,0,1,则 a2>|a1|不成立, 即知: an+1>|an|(n=1,2, ?)不一定成立. 故综上知, “an+1>|an|(n =1,2,?)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件. 答案 B 5.(2011· 绵阳模拟)在数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是 ( 865 A.103 B. 8 825 C. 8 D.108 ).

29 ? ? 解析 根据题意并结合二次函数的性质可得:an=-2n2+29n+3=-2?n2- 2 n? ? ? 29? 841 ? +3=-2?n- 4 ?2+3+ 8 , ? ? ∴n=7 时,an 取得最大值,最大项 a7 的值为 108. 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.在函数 f(x)= x中,令 x=1,2,3,?,得到一个数列,则这个数列的前 5 项是 ________. 答案 1, 2, 3,2, 5 7.数列 1,2,4,7,11,16,?的一个通项公式 an=________. 解析 通过观察得知 an+1-an=n,利用累差叠加法,可求出 an=1+2+?+(n n2-n+2 -1)+1= . 2 n2-n+2 答案 2 8.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-9n,第 k 项满足 5<ak<8,则 k 的值为 ________. 解析 ∵Sn=n2-9n, ∴n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-10, a1=S1=-8 适合上式,∴an=2n-10(n∈N*),
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∴5<2k-10<8,得 7.5<k<9.∴k=8. 答案 8 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)已知数列{an}的通项公式为 an=n2-5n+4. (1)数列中有多少项是负数? (2)n 为何值时,an 有最小值?并求出最小值. 解 (1)由 n2-5n+4<0,解得 1<n<4. ∵n∈N*,∴n=2,3.∴数列中有两项是负数,即为 a2,a3. 5? 9 ? (2)∵an=n2-5n+4=?n-2?2-4.又 n∈N*,∴n=2 或 n=3 时,an 有最小值,其 ? ? 最小值为 a2=a3=-2. 10.(★)(12 分)已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和满足 Sn>1,且 6Sn=(an +1)(an+2),n∈N*.求{an}的通项公式. 1 解 由 a1=S1=6(a1+1)(a1+2), 解得 a1=1 或 a1=2,由已知 a1=S1>1,因此 a1=2. 又由 an+1=Sn+1-Sn 1 1 =6(an+1+1)(an+1+2)-6(an+1)(an+2), 得 an+1-an-3=0 或 an+1=-an. 因 an>0,故 an+1=-an 不成立,舍去. 因此 an+1-an-3=0. 即 an+1-an=3,从而{an}是公差为 3,首项为 2 的等差数列,故{an}的通项为 an =3n-1. 【点评】 解决已知数列的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系,求通项 an 的问题,步 骤主要有:,第一步:令 n=1,由 Sn=f?an?求出 a1;,第二步:令 n≥2,构造 an =Sn-Sn-1,用 an 代换 Sn-Sn-1?或用 Sn-Sn-1 代换 an,这要结合题目的特点?, 由递推关系求通项;,第三步:验证当 n=1 时的结论是否适合当 n≥2 时的结论. 如果适合,则统一“合写”;如果不适合,则应分段表示;,第四步:明确规范 表述结论.
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B级 (时间:30 分钟 满分:40 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1. (2011· 惠州二模)已知整数按如下规律排成一列: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),?,则第 60 个数对是( A.(5,5) B.(5,6) C.(5,7) D.(5,8) ).

解析 按规律分组 第一组(1,1) 第二组(1,2),(2,1) 第三组(1,3),(2,2),(3,1) 则前 10 组共有 10×11 2 =55 个有序实数对.

第 60 项应在第 11 组中即(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),?,(11,1)因此第 60 项为(5,7). 答案 C 2.已知数列{an}的通项公式是 an=n2+kn+2,若对所有的 n∈N*,都有 an+1> an 成立,则实数 k 的取值范围是( A.(0,+∞) B.(-1,+∞) ).

C.(-2,+∞) D.(-3,+∞) 解析 an+1>an, 即(n+1)2+k(n+1)+2>n2+kn+2, 则 k>-(2n+1)对所有的 n ∈N*都成立,而当 n=1 时,-(2n+1)取得最大值-3,所以 k>-3. 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 1 1 3.(2011· 合肥三检)在数列{an}中,a1=2,an+1=1-a (n≥2),则 a16=________.
n

1 1 1 1 解析 由题可知 a2=1-a =-1,a3=1-a =2,a4=1-a =2,∴此数列是以 3
1 2 3

1 为周期的周期数列,a16=a3×5+1=a1=2. 1 答案 2
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4.已知{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 log2(Sn+1)=n+1,则 an=________. 解析 由已知条件可得 Sn+1=2n+1. ∴Sn=2n+1-1, 当 n=1 时,a1=S1=3, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1-1-2n+1=2n, ?3,n=1, n=1 时不适合 an,∴an=? n ?2 ,n≥2. ?3,n=1 答案 ? n ?2 ,n≥2 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n-1,求 an. 解 由 an+1=an+2n-1,得 an+1-an=2n-1. 所以 a2-a1=1,a3-a2=2, a4-a3=22, a5-a4=23, ? an-an-1=2n-2(n≥2), 将以上各式左右两端分别相加,得 an-a1=1+2+22+?+2n-2=2n-1-1, 所以 an=2n-1(n≥2),又因为 a1=1 适合上式,故 an=2n-1(n≥1). 2 6.(12 分)已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}满足 bn= ,且前 an+1 n 项和为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性. 解 (1)a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2). 1 ? ?n ∴bn=? 2 ? ?3 ?n≥2?, ?n=1?.

(2)∵cn=bn+1+bn+2+?+b2n+1
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1 1 1 = + +?+ , n+1 n+2 2n+1 1 1 1 ∴cn+1-cn= + - 2n+2 2n+3 n+1 -n-1 = <0, ?2n+2??2n+3??n+1? ∴{cn}是递减数列.

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