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全国版2017版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.11.2利用导数研究函数的极值最值课件理_图文

第二课时 利用导数研究函数的极值、最值 【知识梳理】 1.函数的极值与导数的关系 (1)函数的极小值与极小值点: 若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近 其他点的函数值_____,f′(a)=0,而且在点x=a附近的 都小 左侧_________,右侧 _________,则点a叫做函数的极小 值点,f(a) 叫做函数的极小值 . f′(x)<0 f′(x)>0 (2)函数的极大值与极大值点: 若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近 其他点的函数值_____,f′(b)=0,而且在点x=b附近的 都大 左侧_________,右侧_________,则点b叫做函数的极大 f′(x)>0 f′(x)<0 值点,f(b)叫做函数的极大值. 2.函数的最值与导数的关系 (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件: 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条_________ 连续不断 的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤: ①求函数y=f(x)在(a,b)内的_____. 极值 ②将函数y=f(x)的各极值与____________________ 端点处的函数值f(a), _____比较,其中_____的一个是最大值,_____的一个 f(b) 是最小值. 最大 最小 【特别提醒】 1.f′(x0)=0与x0是f(x)极值点的关系 f′(x0)=0是x0为f(x)的极值点的既不充分也不必要条 件.例如,f(x)=x3,f′(0)=0,但x=0不是极值点;又如 f(x)=|x|,x=0是它的极小值点,但f′(0)不存在. 2.极值与最值的关系 极值只能在定义域内取得(不包括端点),最值却可以在 端点处取得,有极值的不一定有最值,有最值的也未必 有极值;极值有可能成为最值,非常数可导函数最值只 要不在端点处取,则必定在极值处取. 【小题快练】 链接教材 练一练 1.(选修2-2P29T1改编)函数f(x)的 定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】选A.导函数f′(x)的图象与x轴的交点中,左 侧图象在x轴下方,右侧图象在x轴上方的只有一个. 所以f(x)在区间(a,b)内有一个极小值点. 2.(选修2-2P30例5改编)函数y=x+2cos x在区间 上的最大值是_______. ? [0, ] 2 【解析】y′=1-2sin x,令y′=0, 又因为x∈ ? ,解得 ? [0, ] x? , 2时,y′>0;当x∈ 6 则当x∈ 时,y′<0, ? ? ? [0, ) ( , ] 6 6 2 故函数y=x+2cos x在 时取最大值 ? ? ? 3. x? 答案: 6 6 ? ? 3 6 感悟考题 试一试 ) 3.(2016·保定模拟)设函数f(x)=xex,则 ( A.x=1为f(x)的极大值点 B.x=1为f(x)的极小值点 C.x=-1为f(x)的极大值点 D.x=-1为f(x)的极小值点 【解析】选D.因为f(x)=xex, 所以f′(x)=ex+xex=ex(1+x), 当f′(x)≥0时,ex(1+x)≥0,即x≥-1, 所以x≥-1时函数y=f(x)为增函数, 同理可求,x<-1时函数f(x)为减函数, 所以x=-1时,函数f(x)取得极小值. 4.(2016·泉州模拟)函数f(x)= ln x 的最大值为____. x 【解析】f′(x)= 1 ? ln x 由f′(x)=0,得x=e. , 2 x 因为x∈(0,+≦),当x∈(0,e)时,f′(x)>0, 当x∈(e,+≦)时,f′(x)<0, 所以f(x)的极大值为f(e)= 即f(x)max= 答案: 1 , e 1 . e 1 e 5.(2016·衡阳模拟)函数f(x)= 1 e x (sin x ? cos x) 在区间 2 ? 上的最小值是________. [0, ] 2 【解析】f′(x)= 1 e x sin x ? cos x ? 1 e x (cos x ? sin x) ? ? 2 2 =excos x. 当x∈ 时,f′(x)>0,f(x)在 上是增函数, ? ? [0, ] [0, ] 所以f(x) 2min=f(0)= 2 1 0 1 ? e ? ? 0 ? 1? ? . 答案: 2 2 1 2 考向一 运用导数解决函数的极值问题 【考情快递】 命题方向 已知函数求极值 命题视角 给出函数,利用函数的单调性及极值 的概念确定函数的极值,属较难题 已知函数的极值求 给出函数的极值,利用导数及函数的 参数的值或范围 单调性确定参数的值,属中档题 【考题例析】 命题方向1:已知函数求极值 【典例1】(2015·安徽高考)已知函数f(x)= (a>0,r>0), (1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性. (2)若 =400,求f(x)在(0,+∞)内的极值. ax 2 (x ? r) a r 【解题导引】(1)令分母不等于0即可得函数的定义域, 并结合导数讨论函数的单调性. (2)利用(1)中的结论,找出极值点从而求出极值. 【规范解答】(1)由题意知x≠-r, 所以定义域为(-≦,-r)∪(-r,+≦), f(x)= ax ax ? 2 , 2 2 (x ? r) x ? 2rx ? r f′(x)= a(x 2 ? 2rx ? r 2 ) ? ax(2x ? 2r) a(r ? x)(x ? r) ? , 4 2 时,f′(x)<0, 2 2 所以当x<-r或x>r (x ? r) (x ? 2rx ? r ) 当-


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