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高一数学等差数列前n项和教案


高一数学等差数列前 n 项和教案
教学目的:要求学生掌握等差数列的求和公式,并且能够较熟练地运用解决问题。 教学重点:等差数列的前 n 项和公式. (1) 当已知等差数列的首项和末项,则前 n 项和公式:Sn=
n (a1 ? a n ) 2
n ( n ? 1) d 2

(2) 当已知等差数列的首项和公差,则前 n 项和公式为:Sn= na 1 ?

(3) 设数列{an}是等差数列其奇数项之和为 S 奇偶数项之和为 S 偶,那么当项数为偶数 2n 时, S 奇-S 偶=nd,S 奇/S 偶=an/an+1;当项数为奇数 2n+1 时,S 奇-S 偶=an+1, S 奇/S 偶=n+1/n. 教学难点:推导等差数列前 n 项和公式的思路。 等差数列求和公式的推导,采用了倒序相加法,思路的获得得益于等到差数列任意的第 k 项与 倒数第 k 项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现。 教学过程: 一、引言: 泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建,它宏伟壮 观,纯白大理石砌建而成,陵寝以宝石镶饰,图案之细致令人叫绝。属于世界七大奇迹之一。传说 陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成(如右图) ,共有 120 层,奢靡之程度可 见一斑。你知道这个图案一共花了多少颗宝石吗? 著名的数学家高斯(德国 1777-1855)十岁时计算 1+2+3+…+100 的故事 归纳: 1.这是求等差数列 1,2,3,…,100 前 100 项和 2.高斯的解法是:前 100 项和 S 100 ? 二、新授: 1.证明公式 1: S n ? 证明:
n (a1 ? a n ) 2

100 ? (1 ? 100 ) 2

即Sn ?

n (a1 ? a n ) 2

S n ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ? a n S n ? a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 ? a 1

① ②

①+②: 2 S n ? ( a 1 ? a n ) ? ( a 2 ? a n ? 1 ) ? ( a 3 ? a n ? 2 ) ? ? ? ( a n ? a n ) ∵ a 1 ? a n ? a 2 ? a n ?1 ? a 3 ? a n ? 2 ? ? ? ∴ 2 S n ? n (a1 ? a n ) 三.例题讲解: 例 1 : 、利用上述公式求 1+2+3+…+120=? (1) 由此得: S n ?
n (a1 ? a n ) 2

(2) 、已知:梯子的最高一级宽 33cm,共 12 级,且各级宽度构成公差为 7 的等差数列,计算各 级宽度的和? 推导公式 2 用上述公式要求 S n 必须具备三个条件: n , a 1 , a n ,
能否由 a 1、 n 、 d 直接求 S n ?
a n ? a 1 ? ( n ? 1) d

代入公式 1 即得: S n ? na 1 ?

n ( n ? 1) d 2

此公式要求 S n 必须具备三个条件: n , a 1 , d 总之:两个公式都表明要求 S n 必须已知 n , a 1 , d , a n 中三个。 选用公式 根据下列条件,求相应的等差数列{an}的 Sn (1)、a1=5 an=95 n=10

(2) 1=100 d=-2 n=5 、a (3) 1= 、a
3 2

an= ?

2 3

n=14

(4) 1=14.5 d=0.7 an=32 、a 变用公式 等差数列-10,-6,-2,2,…的前多少项的和为 54? 解:设题中的等差数列为{an} ,前 n 项和为 Sn,由题意可知:a1=-10 d=4 Sn=54 由等差数列前 n 项和公式可得: ? 10 n ?
n ( n ? 1) 2 ? 4 ? 54

解之得:n=9 , n=-3(舍去) 故等差数列-10,-6,-2,2,…前 9 项的和为 54。 变式练习
在 等 差 数 列 ? a n ? 中 , a 1 ? 2 0, a n ? 5 4, s n ? 9 9 9, 求 n .

知三求二

在 等 差 数 列 ?an ?中 , 已 知 d ? 20, n ? 37, sn ? 629, 求 a1 及 a n .

实战演练

某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:m)是: 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500

这位长跑运动员7天共跑了多少米? 四:课堂小结: 1、一种方法——倒序相加法

2、两个公式 3、三个条件 五:思考题: 已知梯子的各级宽度成等差数列,且最上面一级为 33cm,公差为 7(从上到下)则此梯子的前 4 级,中 4 级,后 4 级的和各是多少?你能发现什么规律吗?


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