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高二数学人教A必修5练习:3.1 不等关系与不等式 Word版含解析

第三章 § 3.1 不等式 不等关系与不等式 课时目标 1.初步学会作差法比较两实数的大小. 2.掌握不等式的基本性质,并能运用这些性质解决有关问题. 1.比较实数 a,b 的大小 (1)文字叙述 如果 a-b 是正数,那么 a>b; 如果 a-b 等于 0,那么 a=b; 如果 a-b 是负数,那么 a<b,反之也成立. (2)符号表示 a-b>0?a>b; a-b=0?a=b; a-b<0?a<b. 2.常用的不等式的基本性质 (1)a>b?b<a(对称性); (2)a>b,b>c?a>c(传递性); (3)a>b?a+c>b+c(可加性); (4)a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc; (5)a>b,c>d?a+c>b+d; (6)a>b>0,c>d>0?ac>bd; (7)a>b>0,n∈N,n≥2?an>bn; n n (8)a>b>0,n∈N,n≥2? a> b. 一、选择题 1.若 a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( ) 1 1 2 2 A. < B.a >b a b a b C. 2 > 2 D.a|c|>b|c| c +1 c +1 答案 C 1 1 1 1 解析 对 A,若 a>0>b,则 >0, <0,此时 > ,∴A 不成立; a b a b 2 2 对 B,若 a=1,b=-2,则 a <b ,∴B 不成立; a b 对 C,∵c2+1≥1,且 a>b,∴ 2 > 2 恒成立, c +1 c +1 ∴C 正确; 对 D,当 c=0 时,a|c|=b|c|,∴D 不成立. 2.已知 a<0,b<-1,则下列不等式成立的是( ) a a a a A.a> > 2 B. 2> >a b b b b a a a a C. >a> 2D. > 2>a b b b b 答案 D 解析 a a 1 取 a=-2,b=-2,则 =1, 2=- , b b 2 a a ∴ > 2>a. b b 3.已知 a、b 为非零实数,且 a<b,则下列命题成立的是( ) 2 2 2 2 A.a <b B.a b<ab 1 1 b a C. 2< 2 D. < ab a b a b 答案 C 解析 对于 A,当 a<0,b<0 时,a2<b2 不成立; 对于 B,当 a<0,b>0 时,a2b>0,ab2<0,a2b<ab2 不成立; 1 1 1 对于 C,∵a<b, 2 2>0,∴ 2< 2 ; ab ab a b b a 对于 D,当 a=-1,b=1 时, = =-1. a b - 4.若 x∈(e 1,1),a=ln x,b=2ln x,c=ln3x,则( ) A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<cD.b<c<a 答案 C 1 解析 ∵ <x<1,∴-1<ln x<0. e 令 t=ln x,则-1<t<0. ∴a-b=t-2t=-t>0,∴a>b. c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1), 又∵-1<t<0,∴0<t+1<1,-2<t-1<-1, ∴c-a>0,∴c>a.∴c>a>b. 5.设 a,b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( ) A.b-a>0 B.a3+b3<0 C.a2-b2<0 D.b+a>0 答案 D 解析 由 a>|b|得-a<b<a, ∴a+b>0,且 a-b>0.∴b-a<0,A 错,D 对. 可取特值,如 a=2,b=-1, a3+b3=7>0,故 B 错. 而 a2-b2=(a-b)(a+b)>0,∴C 错. 6.若 a>b>c 且 a+b+c=0,则下列不等式中正确的是( ) A.ab>ac B.ac>bc C.a|b|>c|b| D.a2>b2>c2 答案 A 解析 由 a>b>c 及 a+b+c=0 知 a>0,c<0, 又∵a>0,b>c,∴ab>ac.故选 A. 二、填空题 7.若 1≤a≤5,-1≤b≤2,则 a-b 的取值范围为________. 答案 [-1,6] 解析 ∵-1≤b≤2,∴-2≤-b≤1,又 1≤a≤5, ∴-1≤a-b≤6. 8.若 f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则 f(x)与 g(x)的大小关系是________. 答案 f(x)>g(x) 解析 ∵f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1>0, ∴f(x)>g(x). x 1 9.若 x∈R,则 与 的大小关系为________. 1+x2 2 x 1 2≤ 1+x 2 2 2 x 1 2x-1-x -?x-1? 解析 ∵ 2- = 2 = 2 ≤0, 1+x 2 2?1+x ? 2?1+x ? x 1 ∴ ≤ . 1+x2 2 答案 10. 设 n>1, n∈N, A= n- n-1, B= n+1- n, 则 A 与 B 的大小关系为________. 答案 A>B 1 1 解析 A= ,B= . n+ n-1 n+1+ n ∵ n+ n-1< n+1+ n,并且都为正数,∴A>B. 三、解答题 a2-b2 a-b 11.设 a>b>0,试比较 2 与 的大小. a +b2 a+b 解 方法一 作差法 a2-b2 a-b ?a+b??a2-b2?-?a-b??a2+b2? - = a2+b2 a+b ?a2+b2??a+b? ?a-b?[?a+b?2-?a2+b2?] 2ab?a-b? = = 2 2 ?a +b ??a+b? ?a+b??a2+b2? ∵a>b>0,∴a+b>0,a-b>0,2ab>0. 2ab?a-b? a2-b2 a-b ∴ >0,∴ 2 > . ?a+b??a2+b2? a +b2 a+b 方法二 作商法 a2-b2 a-b ∵a>b>0,∴ 2 >0. 2>0, a +b a+b a2-b2 a2+b2 ?a+b?2 a2+b2+2ab 2ab ∴ = = =1+ 2 2>1. a-b a2+b2 a2+b2 a +b a+b a2-


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