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2013年高考数列练习题及答案(理科)


2013 年全国各地高考试题汇编 (理科) 1.(本小题满分 12 分)(2013 湖北.理) 已知等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? 10, a1a2 a3 ? 125. (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II) 是否存在正整数 m, 使得 存在,说明理由.
1 1 1 ? ? ?????? ? ? 1? 若存在,求 m 的最小值;若不 a1 a2 an

2. (本小题满分 16 分)(2013 江苏卷) 设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列 (d ? 0) , S n 是其前 n 项和.记
bn ? nSn , n2 ? c
n ? N * ,其中 c 为实数.

(1)若 c ? 0 ,且 b1,b2,b4 成等比数列,证明: S nk ? n 2 S k ( k , n ? N * ) ; (2)若 {bn } 是等差数列,证明: c ? 0 .

1

3.(本题满分 14 分)(2013 浙江.理) 在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (Ⅰ)求 d,an; (Ⅱ) 若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| .

4. (本小题满分 12 分) (2013 陕西.理) 设 {an } 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 推导 {an } 的前 n 项和公式; (Ⅱ) 设 q ? 1 , 证明数列 {an ? 1} 不是等比数列.

2

6.(本小题满分 13 分)(2013 安徽.理) 设函数 f n ( x) ? ?1 ? x ?
x2 x2 xn ? ? ? ? ( x ? R, n ? N n ) ,证明: 2 2 2 2 3 n

2 (Ⅰ)对每个 n ? N * ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ; 3

(Ⅱ)对任意 p ? N * ,由(Ⅰ)中 xn 构成的数列 ? xn ? 满足 0 ? xn ? xn ? p ?

1 n

8.(本小题满分 14 分)(2013 广东.理) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 1 , (1)求 a2 的值 (2)求数列 ?an ? 的通项公式 an (3)证明:对一切正整数 n ,有
1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n2 ? n ? , (n ? N * ) . n 3 3

3

11. (本小题满分 12 分)(2013 江西.理) 正项数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 满足: (1) 求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2) 令 bn ?
n ?1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意 n ? N ? , 2 2 (n ? 2) an

都有 Tn ?

5 . 64

23. (本小题满分 14 分) (2013 天津.理) 3 已知首项为 的等比数列 {an } 不是递减数列 , 其前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 2
S3 ? a3 , S5 ? a5 , S4 ? a4 成等差数列.

(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn ? Sn ?
1 (n ? N *) , 求数列 {Tn } 的最大项的值与最小项的值 Sn

4

13.(本小题共 13 分)(2013 北京.理) 已知 {an } 是由非负整数组成的无穷数列, 该数列前 n 项的最大值记为 An , 第

n 项之后各项 an?1 , an? 2 , …的最小值记为 Bn , d n ? An ? Bn .
(Ⅰ)若 {an } 为 2,1, 4, 3, 2,1, 4, 3, …,是一个周期为 4 的数列(即对任意 n ? N? ,
an ? 4 ? an ) ,写出 d1 , d 2 , d3 , d 4 的值;

(Ⅱ)设 d 是非负整数,证明:dn ? ?d (n ? 1,2,3, … ) 的充分必要条件为 {an } 是公差 为 d 的等差数列; (Ⅲ)证明:若 a1 ? 2 , d n ? 1(n ? 1,2,3, … ) ,则 {an } 的项只能是 1 或者 2 ,且有无穷多 项为 1.

5

15. (本小题满分 12 分) (2013 全国卷.理) 设 {an } 是公比为 q 的等比数列. (Ⅰ) 推导 {an } 的前 n 项和公式; (Ⅱ) 设 q ? 1 , 证明数列 {an ? 1} 不是等比数列.

20.(本小题满分 12 分)(2013 四川.理) 在等差数列 ?a n ?中, a1 ? a3 ? 8 ,且 a4 为 a2 和 a9 的等比中项,求数列 ?a n ?的首项, 公差及前 n 项和。

6

1.(本小题满分 12 分)(2013 湖北.理) 解(1) an ? (2)若 an ?

5 n ?1 ? 3 或 an ? (?5) ? (?1) n ?1 3

?1? 1 3 1 5 n ?1 3 1 ? 3 ,则 ? ? ( ) n ?1 ,故 ? ? 是首项为 ,公比为 的等比数列. an 5 3 5 3 3 ? an ?

3 1 [1 ? ( )m ] 1 5 9 1 9 3 从而 ? ? ? ? [1 ? ( )m ] ? ? 1 1 10 3 10 n ?1 an 1? 3
m

若 an ? (?5) ? (?1)

n ?1

,则

?1? 1 1 1 ? ? ? (?1)n ?1 ,故 ? ? 是首项为 ? ,公比为 ?1 的等比数列. an 5 5 ? an ?

? 1 ? m 1 1 ?? (m ? 2k ? 1, k ? N ) ?1 ?? 5 从而 ? 故? n ?1 an n ?1 an ?0(m ? 2k , k ? N ? ) ?
m

综上,对任何正整数 m ,总有

?a
n ?1

m

1
n

?1

故不存在正整数 m ,使得

1 1 1 ? ?? ? ? 1 成立. a1 a2 am

2. (本小题满分 16 分)(2013 江苏卷) 证: (1)若 c ? 0 ,则 a n ? a ? (n ? 1)d , S n ?
2

n[( n ? 1)d ? 2a] (n ? 1)d ? 2a , bn ? . 2 2

当 b1,b2,b4 成等比数列, b2 ? b1b4 , 即: ? a ?

? ?

d? 3d ? ? 2 ? ? a? a ? ? ,得: d ? 2ad ,又 d ? 0 ,故 d ? 2a . 2? 2 ? ?

2

2 由此: S n ? n a , S nk ? (nk ) 2 a ? n 2 k 2 a , n 2 S k ? n 2 k 2 a .

2 故: S nk ? n S k ( k , n ? N ) .

*

(n ? 1)d ? 2a n2 nSn 2 (2) bn ? 2 , ? 2 n ?c n ?c (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a n2 ?c ?c 2 2 2 ? n2 ? c
7

(n ? 1)d ? 2a ? ? 2

c

(n ? 1)d ? 2a 2 . n2 ? c

(※)

若 {bn } 是等差数列,则 bn ? An ? Bn 型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

(n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a (n ? 1)d ? 2a 2 故有: ? 0 ,而 ? 0, ? 0 ,即 c 2 2 2 n ?c 故c ? 0. c
经检验,当 c ? 0 时 {bn } 是等差数列.

3.(本题满分 14 分)(2013 浙江.理) 解.本题主要考查等差数列、等比数列的概念,等差数列通项公式、求和公式等基础知识, 同时考查运算求解能力。满分 14 分。 2 (I)由题意得 a1·5a3=(2a2+2) 2 即 d -3d-4=0 故 d=-1 或 d=4 所以 an=-n+11,n∈N*或 an=4n+6,n∈N* (II)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.因为 d<0,由(I)得 d=-1, an=-n+11。则 当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn= ? 1 n2 ? 21 n

2

2

当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn +2S11= 1 n2 ? 21 n +110

2

2

?? 1 n 2 ? 21 n, n ? 11 ? 2 综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= ? 2 1 n 2 ? 21 n ? 110, n ? 12 ? ?2 2

4. (本小题满分 12 分) (2013 陕西.理) 【解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论。

{an }是首项为a1的常数数列,所以S n ? a1 ? a1 ? ? ? a1 ? na1 . ① 当q ? 1时,数列
② 当q ? 1时,S n ? a1 ? a2 ? ? ? a n ?1 ? a n ? qSn ? qa1 ? qa2 ? ? ? qan ?1 ? qan . 上面两式错位相减:

( 1 - q)S n ? a1 ? (a2 ? qa1 ) ? (a3 ? qa2 )? ? (an ? qan?1 ) ? qan ? a1 ? qan .

? Sn ?

a1 ? qan a (1 ? q n ) ?. 1 。 1- q 1- q

8

?na1 , ? ③综上, S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , ?
(Ⅱ) (用反证法)

(q ? 1) (q ? 1)

设 {an } 是公比 q ? 1 的等比数列, 假设数列 {an ? 1} 是等比数列.则 ①当 ?n ? N , 使得 an ? 1 ? 0 成立,则 {an ? 1} 不是等比数列。
*

②当 ?n ? N ,使得a n ? 1 ? 0 成立,则
*

a n ?1 ? 1 a1 q n ? 1 ? ? 恒为常数 a n ? 1 a1 q n ?1 ? 1

? a1q n ? 1 ? a1q n?1 ? 1 ? 当a1 ? 0时, q ? 1 。这与题目条件 q≠1 矛盾。
③综上两种情况,假设数列 {an ? 1} 是等比数列均不成立,所以当 q ? 1 时, 数列 {an ? 1} 不是 等比数列。 (证毕) 6.(本小题满分 13 分)(2013 安徽.理) 证明(1) 对每个 n ? N ,当 x ? 0 时, f n?( x) ? 1 ?
*

x x n ?1 ??? ? 0, 2 n

故 f n ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增. 由于 f1 (1) ? 0 ,当 n ? 2 时, f n (1) ?

1 1 1 ? 2 ? ? ? 2 ? 0 故 f n (1) ? 0 2 2 3 n

2 ( )k 2 2 n 3 1 1 n 2 k 又 f n ( ) ? ?1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ( ) 3 3 k ?2 k 3 4 k ?2 3

2 2 ( ) 2 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 1 3 1 2 3 ?? ? ? ? ? ? ( ) n ?1 ? 0 2 3 4 3 3 1? 3 2 所以存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 3
x n ?1 ? f n ( x) , (2)当 x ? 0 时, f n ?1 ( x) ? f n ( x) ? (n ? 1) 2
故 f n ?1 ( xn ) ? f n ( xn ) ? f n ?1 ( xn ?1 ) ? 0 由 f n ?1 ( x) 在 (0, ??) 上单调递增知, xn ?1 ? xn ,故 ? xn ? 为单调递减数列.

9

* 从而对任意 p ? N , xn ? p ? xn .

对任意 p ? N ,由于
*

f n ( xn ) ? ?1 ? xn ?

2 n xn xn ? ? ? ?0 22 n2
2 xn ?p

…………①
n? p xn ?p

f n ? p ( xn ? p ) ? ?1 ? xn ? p ?

22

???

(n ? p) 2

? 0 ……②

①-②并移项,利用 0 ? xn ? p ? xn ? 1 得

xn ? xn ? p ? ?
k ?2

n

k k xn ? p ? xn

k2

?

k ? n ?1

?

n? p

k xn ?p

k2

?

k ? n ?1

?

n? p

k xn ?p

k2

n? p 1 1 1 1 1 ? ? 2? ? ? ? ? n n? p n k ? n ?1 k k ? n ?1 k ( k ? 1)

n? p

因此对任意的 p ? N ,都有 0 ? xn ? xn ? p ?
*

1 n

8.(本小题满分 14 分)(2013 广东.理)

解(Ⅰ) 依题意, 2S1 ? a2 ?

1 2 ? 1 ? ,又 S1 ? a1 ? 1 ,所以 a2 ? 4 ; 3 3

(Ⅱ) 当 n ? 2 时, 2Sn ? nan ?1 ?

1 3 2 n ? n2 ? n , 3 3
1 2 3 2 ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? 3 3

2Sn?1 ? ? n ? 1? an ?
两式相减得 2an 整理得

? nan?1 ? ? n ? 1? an ?

1 2 3n 2 ? 3n ? 1? ? ? 2n ? 1? ? ? 3 3
an ? 1 ,又 a2 ? a1 ? 1 n ?1 n 2 1
n ?1

? n ? 1? an ? nan?1 ? n ? n ? 1? ,即 a
?n?

?

an ? 故数列 ? ? ? 是首项为

a1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列, 1

an ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n ,所以 an ? n 2 . n 1 1 1 5 7 1 7 ? 1? ? ? ; (Ⅲ) 当 n ? 1 时, ? 1 ? ;当 n ? 2 时, ? a1 a2 4 4 4 a1 4
所以 当 n ? 3 时,

1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ,此时 an n ? n ? 1? n n ? 1 n

1 1 1 1 1 1 1 1 ?1 1? ?1 1 ? 1? ? 1 ? ?? ? ? 1? ? 2 ? 2 ?? ? 2 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a1 a2 an 4 3 4 n 4 ? 2 3? ?3 4? ? n ?1 n ?
10

? 1?

1 1 1 7 1 7 ? ? ? ? ? 4 2 n 4 n 4
1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

综上,对一切正整数 n ,有

11. (本小题满分 12 分)(2013 江西.理) 解(1)由 Sn ? (n ? n ? 1) Sn ? (n ? n) ? 0 ? [ Sn ? (n ? n)](S n ? 1) ? 0
2 2 2 2

由于 ?an ? 是正项数列,所以 S n ? 1 ? 0,? S n ? n ? n .
2

于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? (n ? n) ? (n ? 1) ? (n ? 1) ? 2n
2 2

综上数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n . (2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 1 1 1 ? [ 2? ] 2 2 (n ? 2) an 16 n ( n ? 2) 2

Tn ?

1 1 1 1 1 1 [(1 ? 2 ) ? ( 2 ? 2 ) ? ? ? ( 2 ? )] 16 3 2 4 n (n ? 2) 2 1 1 1 1 1 1 5 [1 ? 2 ? ? ] ? (1 ? 2 ) ? 2 2 16 2 (n ? 1) (n ? 2) 16 2 64

?

13.(本小题共 13 分)(2013 北京.理) 解(1) d1 ? d 2 ? 1, d3 ? d 4 ? 3 (2)(充分性)因为 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,且 d ? 0 ,所以

a1 ? a2 ? ? ? an ? ? 因此 An ? an , Bn ? an?1 , d n ? an ? an?1 ? d (n ? 1, 2,3,?)
(必要性)因为 d n ? ?d ? 0(n ? 1, 2,3, ?) ,所以 An ? Bn ? d n ? Bn . 又因为 an ? An , an ?1 ? Bn ? an ? an ?1 于是 An ? an , Bn ? an ?1 ? an ?1 ? an ? Bn ? An ? ?d n ? d 即 ?an ? 是公差为 d 的等差数列; (3)因为 a1 ? 2, d1 ? 1 所以 A1 ? a1 ? 2, B1 ? A1 ? d1 ? 1 故对任意 n ? 1, an ? B1 ? 1
11

假设 ?an ? (n ? 2) 中存在大于 2 的项 设 m 为满足 am

? 2 的最小正整数

则 m ? 2 ,并且对任意 1 ? k ? m, ak ? 2 又因为 a1 ? 2 ,所以 Am ?1 ? 2 ,且 Am ? am ? 2 ,于是

Bm ? Am ? d m ? 2 ? 1 ? 1, Bm?1 ? min ?am , Bm ? ? 2
故 d m?1 ? Am?1 ? Bm?1 ? 2 ? 2 ? 0 与 d m ?1 ? 0 矛盾. 所以对于任意 n ? 1,有 an ? 2 ,即非负整数列 ?an ? 的各项只能为 1, 因为对任意 n ? 1, an ? 2 ? a1 ,所以 An ? 2 . 故 Bn ? An ? d n ? 2 ? 1 ? 1 ,因此对于任意正整数 n ,存在 m 满足 m ? n ,且 am ? 1 ,即数列

?am ? 的项为 1.
15. (本小题满分 12 分) (2013 全国卷.理) 解(1)设 {an } 的前 n 项和为 S n , 当 q ? 1 时, Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? na1 当 q ? 1 时, Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q
2 n ?1

……………①

qSn ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n ?1 ? a1q n ………②
①-②得 (1 ? q) S n ? a1 (1 ? q ) ? S n
n

a1 (1 ? q n ) 1? q

? na1 (q ? 1) ? ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1 ? q (q ? 1) ?
(2)假设 ?an ? 1? 是等比数列,则对任意的 k ? N * ,

(ak ?1 ? 1)2 ? (ak ? 1)(ak ? 2 ? 1)
2 ak ?1 ? 2ak ?1 ? 1 ? ak ak ? 2 ? ak ? ak ? 2 ? 1

a12 q 2 k ? 2a1q k ? a1q k ?1 ? a1q k ?1 ? a12 q 2 k
12

? a1 ? 0 ? 2q k ? q k ?1 ? q k ?1 ,? q ? 0 ? q 2 ? 2q ? 1 ? 0 ? q ? 1
这与已知矛盾.所以假设不成立.故 ?an ? 1? 不是等比数列. 20.(本小题满分 12 分)(2013 四川.理) 解:设等差数列 ?a n ?的公差为 d ,前 n 项和为 S n , 由已知得 2a1 ? 2d ? 8, (a1 ? 3d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 8d )
2

解得 a1 ? 4, d ? 0 或 a1 ? 1, d ? 3 所以数列 ?a n ?的通项公式为 an ? 4 或 an ? 3n ? 2 所以数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 4n 或 Sn ?

3n 2 ? n 2

23. (本小题满分 14 分) (2013 天津.理) 解(1)设等比数列 {an } 的公比为 q ,因为 S3 ? a3 , S5 ? a5 , S4 ? a4 成等差数列, 所以 ( S3 ? a3 ) ? ( S4 ? a4 ) ? 2( S5 ? a5 ) ? 4a5 ? a3 ? q ?
2

a5 1 ? a3 4

又 {an } 不是递减数列,且 a1 ?

3 1 3 1 3 ? q ? ? ? an ? ? (? )n?1 ? (?1) n?1 ? n 2 2 2 2 2

1 ? 1 ? n , n为奇数 ? 1 n ? 2 (2)由(1)得 S n ? 1 ? (? ) ? ? 2 ?1 ? 1 , n为偶数 ? ? 2n
当 n 为奇数时, S n 随 n 的增大而减小,所以 1 ? Sn ? S1 ? 故 0 ? Sn ?

3 2

1 1 3 2 5 ? S1 ? ? ? ? . Sn S1 2 3 6

当 n 为偶数时, S n 随 n 的增大而减大,所以 故 0 ? Sn ?

3 ? S2 ? Sn ? 1 , 4

1 1 3 4 7 ? S2 ? ? ? ?? . Sn S2 4 3 12

所以数列 {Tn } 的最大项的值为

5 7 ;最小项的值为 ? . 6 12

13


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