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高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.6圆锥曲线的综合问题课件

第十章 圆锥曲线与方程 §10.6 圆锥曲线的综合问题 五年高考 考点 圆锥曲线的综合问题 x2 2 1.(2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆? 10 +y =1上的点,则P,Q两点间的最大距离是 ?( ) A.5?2 答案 D B.?46 +?2 C.7+?2 D.6?2 10 cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6), 设Q(? ( 10 cos θ ? 0) 2 ? (sin θ ? 6) 2 则|MQ|=? 10cos 2θ ? sin 2θ ? 12sin θ ? 36 =? ?9sin 2θ ? 12sin θ ? 46 =? 2 2? ? ? ? = ?9 ? sin θ ? ? ? 50 ≤5? 2 ? ? 当sin θ ? ? 时取等号 ? , 3? 3 ? ? ? ? 2 故|PQ|max=5?2 +?2 =6?2 . ? 2.(2014湖北,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=? , 3 ? 则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为? ( A.? 4 3 3 ) B.? 2 3 3 C.3 D.2 答案 A x2 y 2 x2 y 2 解法一:设椭圆方程为 2 + 2 =1(a1>b1>0),离心率为e1,双曲线的方程为 2 - 2 =1(a2>0, a1 b1 a2 b2 ?? ?? b2>0),离心率为e2,它们的焦距为2c,不妨设P为两曲线在第一象限的交点,F1,F2分别为左、右焦 点,则易知? ? 解得? ? ?| PF1 | ? | PF2 |? 2a1 , ?| PF1 | ? | PF2 |? 2a2 , ?| PF1 |? a1 ? a2 , ?| PF2 |? a1 ? a2 . 在△F1PF2中,由余弦定理得(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)· (a1-a2)cos 60°=4c2, 2 整理得? =4c2, a12 +3? a2 2 1 3 a12 3a2 所以? +? =4,即 2 + 2 =4. 2 2 c c e1 e2 ?? 设a=? ? , ? 1 3? ? 3? ? ,b= ?1, ?, ? e1 e2 ? ? 3 ? ? 4 4 3 1 1 1 1 4 3 ,故选A. 1 3 ×? 1 =? ×? ∴? +? =a· b≤|a|· |b|=? =? ,故? +? 的最大值是? 1? 4 ? 2 2 e1 e2 e1 e2 3 3 3 e1 e2 3 解法二:不妨设P在第一象限,|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中,由余弦定理得m2+n2-mn=4c2.设椭圆的 a1 ? a2 = 1 +? 1 =? 长轴长为2a1,离心率为e1,双曲线的实轴长为2a2,离心率为e2,它们的焦距为2c,则? e1 e2 c ? ? e1 m?n m?n 2 2 ? 4 ? 1 1 ? m2 m 3 4m 2 ?n? n 2 2 =? .∴ ? ? ? =? = ? = , 易知 ? ? +1 的最小值为 ? .故 2 ? ? 2 c m 2 ? n 2 ? mn ? n ? ? n ? 1 c 4 ?m? m ? e1 e2 ? c ? ? ? ? ?m? m ?1 1? ? ? ? ? e2 ?max 4 3 .故选A. =? 3 评析 本题考查了椭圆、双曲线的定义、方程和性质;考查了利用不等式和函数求最值的基本 方法.本题对运算能力的要求较高. ? ? ? ? ? ? 3.(2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线x2=y,点A? ? ? , ? ,B? ? , ? ,抛物线上的点P(x,y)? ? ? ? x ? ?. 2 4 2 4 2 2 1 1 3 9 1 3 ? ? ? ? ? ? 过点B作直线AP的垂线,垂足为Q. (1)求直线AP斜率的取值范围; (2)求|PA|· |PQ|的最大值. ? 解析 本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基 本思想方法和运算求解能力. 1 1 4 =x-? (1)设直线AP的斜率为k,k= , 1 2 x? 2 1 3 因为-? <x<? ,所以直线AP斜率的取值范围是(-1,1). 2 2 ? x2 ? 1 1 ? kx ? y ? k ? ? 0, ? ? 2 4 (2)解法一:联立直线AP与BQ的方程 ? ? x ? ky ? 9 k ? 3 ? 0, ? ? 4 2 2 ? k ? 4k ? 3 解得点Q的横坐标是xQ= . 2(k 2 ? 1) ? ? 1? ? 2 因为|PA|=?1 ? k 2 ? ? x ? ? =?1 ? k (k+1), ? 2? (k ? 1)(k ? 1) , |PQ|=?1 ? k 2 (xQ-x)=-? 2 所以|PA|· |PQ|=-(k-1)(k+1)3, k2 ?1 令f(k)=-(k-1)(k+1)3.因为f '(k)=-(4k-2)(k+1)2, 所以f(k)在区间? 时,|PA|· |PQ|取得最大值?. ? ?1, ? 上单调递增,? ? ,1? 上单调递减,因此当k=? 2 16 2 2 ? ? ? 1? ?1 ? ? ? 1 27 ? 解法二:如图,连接BP,|AP|· |PQ|=|AP|· |PB|· cos∠BPQ=? (AB ? -AP ? )=AP ? · ? -AP ? . AP · AB 3? ? 1 易知P(x,x2)? ?? ? x ? ?, ? 2 2? 1 2 1? ? 2 1? 2 2 则? ? =2x2+2x+? ,? ? ? +x4-? x2+?=x4+? x2+x+?. AP · AB =2x+1+2x -?


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