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【数学】3.2《复数代数形式的四则运算》课件2(新人教A版选修1—2)


3 .2 .2

复数代数形式的乘除运



我们规定 ,复数乘法法则如下 : 设 z 1 ? a ? bi , z 2 ? c ? di 是任意两个复数

, 那么它
2

们的积 ?a ? bi ??c ? di ? ? ac ? bci ? adi ? bdi ? ?ac ? bd ? ? ?ad ? bc ? i.

可以看出 , 两个复数相乘 只要在所得的结果中把 虚部分别合并即可 .

, 类似于两个多项式相乘 i 换成 ? 1, 并且把实部与
2

,

两个复数的积是一个确

定的复数 .

探究

复数的乘法是否满足交 换律、结合律 ?

乘法对加法满足分配律 ? 吗

?z 1 ? z 2 ? ? z 3

容易得到 , 对于任意 z 1, z 2 , z 3 ? C , 有 z 1 ? z 2 ? z 2 ? z 1,
? z 1 ? ? z 2 ? z 3 ?, z 1 ? z 2 ? z 3 ? ? z 1 z 2 ? z 1z 3 .

例2

计算?1 ? 2i??3 ? 4i??? 2 ? i?.


例3
分析

?1? 2i??3 ? 4i??? 2 ? i? ? ?11? 2i??? 2 ? i? ? ?20 ? 15i.
计算 : ?1??3 ? 4i??3 ? 4i?;
?? ?

?2??1 ? i?

2

.

本例可以用复数乘法法 则计算 也可以用乘法 ,

公式 计算.

???指的是与实数系中的乘 法公式相对应的公式 .


?1??3 ? 4i??3 ? 4i? ? 3
2

2

? ?4i? ? 9 ? ?? 16? ? 25.
2

?2??1 ? i? ? 1 ? 2i ? i2 ? 1 ? 2i ? 1 ? 2i. 本例?1? 中的两个复数3 ? 4i,3 ? 4i称为共轭复数.

一般地 , 当两个复数的实部相等 时 , 这两个复数叫做互为 叫做共轭虚数
思考

, 虚部互为相反数 co
?

共轭复数( conjugate

mplex number ). 虚部不等于 0的两个共轭复数也 .

若z1, z 2 是共轭复数 那么 ,

?1?在复平面内它们所对应的点有怎样 , 的位置关系 ? ?2?z1 ? z 2是一个怎样的数?
探究 类比实数的除法是乘法 的逆运算 我们规定复 , 数的除法是乘法的逆运 .试探求复数除法的法则 算 .

复数除法的法则是

: ac ? bd c ?d
2 2

?a ? bi ? ? ?c

? di ? ?

?

bc ? ad c ?d
2 2

i ?c ? di ? 0 ?.

由此可见

, 两个复数相除 .

?除数不为

0 ? , 所得的商

是一个确定的复数

在进行复数除法运算时通常先把 ?a ? bi? ? ?c ? di? , 写成 a ? bi c ? di 的形式, 再把分子与分母都乘于 分母的

共轭复数 c ? di , 化简后就可得到上面的 结果.这与 作根式除法时的处理是 很类似的在作根式除法时 . , 分子分母都乘以分母的有理化因式 , 从而使分母 " " " 有理化 " .这里分子分母都乘以分 母的 " 实数化因 式" ( 共轭复数), 从而使分母 实数化". "

例4


计算 ?1 ? 2i? ? ?3 ? 4i?.

?1 ? 2i? ? ?3 ? 4i? ?
?

1 ? 2i 3 ? 4i

?1 ? 2i??3 ? 4i? ? ?3 ? 4i??3 ? 4i?
? ? 5 ? 10i 25 ?? 1 5

3 ? 8 ? 6i ? 4i 3 ?4
2 2

?

2 5

i.


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