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2017-2018学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 第21课时 复数的几何意义 新人教A版选修2-2_图文

目标导航 1.了解复平面的概念. 2.掌握复数的几何意义及应用. 3.理解复数模的概念及运算性质. 4.掌握复数模的几何意义及应用.

1 新知识·预习探究 知识点一 复平面 1.根据复数相等的定义,任何一个复数 z=a+bi(a,b∈R)都可 以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数对(a,b)与平面直 角坐标系中的点一一对应,因此复数集与平面直角坐标系中的点集之 间可以建立一一对应的关系.

如图,点 Z 的横坐标是 a,纵坐标是 b,复数 z=a+bi 可用点 Z(a, b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫 做实轴,y 轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外, 虚轴上的点都表示纯虚数.

2.由复平面内适合某种条件的点的集合求其对应的复数时,通常 是由对应关系列出方程或不等式(方程组),求得复数的实部(横坐标) 和虚部(纵坐标)的取值(范围)来确定所求的复数.

【练习 1】 在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,

B.若 C 为线段 AB 的中点,则点 C 对应的复数是( )

A.4+80i

B.8+2i

C.2+4i

D.4+i

解析:两个复数对应的点分别为 A(6,5),B(-2,3),则 C(2,4).故 其对应的复数为 2+4i.
答案:C

知识点二 复数的几何意义 1.复数与点的对应 对每一个复数,在复平面内有唯一的一个点和它对应;反过来, 复平面内的每一个点,有唯一的一个复数和它对应.由此可知,复数 集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即: 复数 z=a+bi一一对应复平面内的点 Z(a,b),这是复数的另一种 几何意义,因而也常把复数 z=a+bi 说成点 Z(a,b).

2.复数与向量的对应
如图,设复平面内的点 Z 表示复数 z=a+bi,连结 OZ,显然向量 O→Z由点 Z 唯一确定;反过来,点 Z(相对于原点来说)也可以由向量O→Z唯 一确定.因此,复数集 C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应 的(实数 0 与零向量对应),即复数 z=a+bi一一对应平面向量O→Z,这 是复数的另一种几何意义.因而也常把复数 z=a+bi 说成向量O→Z.

【练习 2】 已知平面直角坐标系中 O 是原点,向量O→A,O→B对 应的复数分别为 2-3i,-3+2i,那么向量B→A对应的复数是( )
A.-5+5i B.5-5i C.5+5i D.-5-5i 解析:向量O→A,O→B对应的复数分别为 2-3i,-3+2i,根据复数 与复平面内的点一一对应,可得向量O→A=(2,-3),O→B=(-3,2). 由向量减法的坐标运算可得向量B→A=O→A-O→B=(2+3,-3-2) =(5,-5), 根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量B→A对应的复数是 5 -5i. 答案:B

知识点三 复数的模 1.定义:向量O→Z的模 r 叫做复数 z=a+bi 的模,记作|z|或|a+bi|. 如果 b=0,那么 z=a+bi 是一个实数 a,其模为|a|.由模的定义可 知:|z|=|O→Z|= a2+b2.显然,复数 z 的模表示复数 z 对应的点 Z 到坐 标原点的距离. 2.模的几何意义:复数模的几何意义就是复数 z=a+bi 所对应 的点 Z(a,b)到原点(0,0)的距离.

3.复数 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)所对应的复平面上 的点为 Z1(a,b),Z2(c,d),则
(1)两个复数的和 z1+z2 表示以 OZ1 和 OZ2 为邻边的平行四边形的 一条以 O 为端点到另一端点的对角线对应的复数;
(2)两个复数的差 z1-z2 表示向量Z→2Z1表示的复数.故|z1-z2|表示 Z2 与 Z1 两点间的距离.

【练习 3】 已知 0<a<2,复数 z 的实部为 a,虚部为 1,则|z| 的取值范围是( )
A.(1,5) B.(1,3) C.(1, 5) D.(1, 3)
解析:∵|z|= a2+1,而 0<a<2,∴1<a2+1<5,∴1<|z|< 5. 答案:C

2 新视点·名师博客 1.复数的模有以下运算性质: ①|z|≥0,当且仅当 z=0 时等号成立; ②||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|; ③|z|=| z |= a2+b2(设 z=a+bi,a,b∈R);
④z·z =|z|2=| z |2;
⑤|z1·z2|=|z1|·|z2|; ⑥???zz12???=||zz12||(z2≠0); ⑦|zn|=|z|n(n∈N+).

2.复平面上点的轨迹 (1)|z|表示 Z 对应的点到原点的距离,|z1-z2|表示复平面内两点间 的距离.
(2)|Z-Z0|=a(a∈R)表示以点 Z0 为圆心,半径为 a 的圆的方程. (3)|z-z1|=|z-z2|表示线段 Z1Z2 的中垂线的方程. (4)复数 z1,z2,z3 对应点分别为 A、B、C,则 AB 的中点对应的复 数为z1+2 z2,△ABC 的重心所对应的复数为z1+z32+z3.

3 新课堂·互动探究 考点一 复数的几何意义 例 1 在复平面上,复数 i,1,4+2i 对应的点分别是 A,B,C.求平 行四边形 ABCD 的 D 点所对应的复数.

解析:方法一:由已知得 A(0,1),B(1,0),C(4,2),
则 AC 的中点 E???2,32???, 由平行四边形的性质知 E 也是 BD 的中点, 设 D(x,y)

则?????xy++22 10==223,,

∴?????yx==33.,

即 D(3,3),

∴D 点对应复数为 3+3i.

方法二:由已知O→A=(0,1),O→B=(1,0),O→C=(4,2). ∴B→A=(-1,1),B→C=(3,2), ∴B→D=B→A+B→C=(2,3), ∴O→D=O→B+B→D=(3,3), 即点 D 对应的复数为 3+3i.

点评:复数的几何意义包含两种情况: (1)复数与复平面内点的对应:复数的实、虚部是该点的横、纵坐 标,利用这一点,可把复数问题转化为平面内点的坐标问题. (2)复数与复平面内向量的对应:复数的实、虚部是对应向量的坐 标,利用这一点,可把复数问题转化为向量问题.

变式探究 1 实数 x 分别取什么值时,复数 z=x2+x-6+(x2- 2x-15)i 对应的点 Z 在下列位置?
(1)第三象限;(2)第四象限;(3)直线 x-y-3=0 上.
解析:因为 x 是实数,所以 x2+x-6,x2-2x-15 也是实数. (1)当实数 x 满足?????xx22+ -x2-x-6<150<,0, 即-3<x<2 时,点 Z 在第三 象限. (2)当实数满足?????xx22+-x2-x-6>150<,0, 即 2<x<5 时,点 Z 在第四象限. (3)当实数 x 满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即 3x+6=0,x =-2 时,点 Z 在直线 x-y-3=0 上.

考点二 复数模的计算 例 2 已知复数 z 满足 z+|z|=2+8i,求复数 z.

解析:方法一:设 z=a+bi(a,b∈R),则|z|= a2+b2, 代入方程得 a+bi+ a2+b2=2+8i,
∴???a+ a2+b2=2, ??b=8,
解得?????ab= =- 8. 15, ∴z=-15+8i. 方法二:原式可化为 z=2-|z|+8i, ∵|z|∈R,∴2-|z|是 z 的实部, 于是|z|= ?2-|z|?2+82, 即|z|2=68-4|z|+|z|2,∴|z|=17. 代入 z=2-|z|+8i 得 z=-15+8i.

点评:计算复数的模时,应先找出复数的实部和虚部,然后再利 用模的公式进行计算,两个虚数不能比较大小,但它们的模可以比较 大小.

变式探究 2 已知复数 z=3+ai,且|z|<4,求实数 a 的取值范围.
解析:∵z=3+ai(a∈R),|z|= 32+a2, 由已知得 32+a2<4, ∴a2<7,∴a∈(- 7, 7).

考点三 复数模的几何意义 例 3 设 z∈C,则满足条件|z|=|3+4i|的复数 z 在复平面上对应的 点 Z 的集合是什么图形?
解析:方法一:由|z|=|3+4i|得|z|=5. 这表明向量O→Z的长度等于 5,即点 Z 到原点的距离等于 5. 因此满足条件的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以 5 为半径的圆.

方法二:设 z=x+yi(x,y∈R),则|z|2=x2+y2. ∵|3+4i|=5, ∴由|z|=|3+4i|得 x2+y2=25, ∴点 Z 的集合是以原点为圆心,以 5 为半径的圆. 点评:复数的模的意义是表示复数对应的点到原点的距离,这可
以类比实数的绝对值,也可类比原点为起点的向量的模来加深理解.

变式探究 3 设 z∈C,满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形? (1)|z|=4;(2)2<|z|<4.

解析:(1)复数 z 的模等于 4,就是说,向量O→Z的模等于 4,所以 满足条件|z|=4 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以 4 为半径的圆.
(2)不等式 2<|z|<4 可化为不等式组?????||zz||> <24.,
不等式|z|<4 的解集是圆|z|=4 内部所有的点组成的集合,不等式 |z|>2 的解集是圆|z|=2 外部所有的点组成的集合,这两个集合的交集, 就是上述不等式组的解集,也就是满足条件 2<|z|<4 的点 Z 的集合.容 易看出,点 Z 的集合是以原点 O 为圆心,以 2 及 4 为半径的圆所夹的 圆环,但不包括圆环的边界(如图).

4 新思维·随堂自测

1.当23<m<1 时,复数 z=(3m-2)+(m-1)i 在复平面上对应的点

位于( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

解析:∵23<m<1,∴3m-2>0,m-1<0,∴点(3m-2,m-1) 在第四象限.
答案:D

2.如果复数 z=1+ai 满足条件|z|<2,那么实数 a 的取值范围是

()

A.(-2 2,2 2) B.(-2,2)

C.(-1,1)

D.(- 3, 3)

解析:因为|z|<2,所以 1+a2<2,则 1+a2<4,a2<3,解得- 3<a< 3,故选 D.
答案:D

3.已知复数 z=x-2+yi 的模是 2 2,则点(x,y)的轨迹方程是 __________________________.
解析:由向量模的计算公式得 ?x-2?2+y2=2 2,∴(x-2)2+y2 =8.
答案:(x-2)2+y2=8

4.已知实数 m 满足不等式|log2m+4i|≤5,则 m 的取值范围为 __________.
解析:由题意知(log2m)2+16≤25,即(log2m)2≤9,-3≤log2m≤3, 所以 2-3≤m≤23 即18≤m≤8.
答案:???81,8 ???

5.已知复数 z1=

3-i



z2=-12+

3 2 i.

(1)求|z1|及|z2|的值并比较大小;

(2)设 z∈C,满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点 Z 的轨迹是什么图形?



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