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2017_2018学年高中数学第2章统计2.3总体特征数的估计2.3.2方差与标准差课件苏教版必修3_图文

2.3.2 方差与标准差 预习课本 P69~71,思考并完成以下问题 1.什么叫一组数据的极差、方差、标准差? 2.一组数据的方差和标准差具有什么作用? [新知初探] 1.极差、方差、标准差 (1)极差:一组数据的 最大值 与 最小值 的差. (2)方差与标准差: 设一组样本数据 x1,x2,…,xn,其平均数为 x ,则称 s2 = 1n 2 ( x - x ) ? ni=1 i 为这个样本的方差,其算术平方根 s= 为样本的标准差. 2.方差与标准差的作用 标准差与方差描述一组数据围绕平均数波动的大小,标准 差、方差越大, 数据的离散程度 越大;标准差、方差越小, 数据的离散程度 越小.方差、 标准差 刻画了一组数据的稳定程 度. [小试身手] 1.数据0,1,3,4,7的极差为________,方差为________. 答案:7 6 2.一组数据1,2,3,4,a的平均数是3,则数据的方差为_______, 标准差为________. 答案:2 2 3.若1,2,3,x的平均数是5,而1,3,3,x,y的平均数是 6,则1,2,3,x,y的方差是________. 1+2+3+x 解析:由5= 得x=14. 4 同理y=9. 1 2 由s = (1 +22+32+142+92)-5.82=24.56. 5 2 答案:24.56 方差、标准差的计算及应 [典例] 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件,为 检验质量,各从中抽取6件测量,数据(单位:cm)为: 甲:99 乙:99 100 100 98 102 100 99 100 100 103; 100. (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. [ 解] 1 (1) x 甲= (99+100+98+100+100+103)=100, 6 1 x 乙= (99+100+102+99+100+100)=100. 6 1 2 s 甲 = [(99-100)2+(100-100)2+(98-100)2+(100-100)2+ 6 7 2 2 (100-100) +(103-100) ]= . 3 1 2 s 乙 = [(99-100)2+(100-100)2+(102-100)2+(99-100)2+ 6 (100-100)2+(100-100)2]=1. 2 (2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同,又s2 甲>s乙, 所以乙机床加工零件的质量更稳定. (1)方差常用计算公式有两个 1 2 ①基本公式s = n [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2]. 1 2 2 2 2 ②简单计算公式:s = n [(x 1 +x 2 + … + x ) - n x ]或 2 n 1 2 2 2 2 写成s = n (x 1+x2 + …+ x 2 ) - x ,即方差等于原数据平方 n 和的平均数减去平均数的平方. (2)在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题, 因此还要研究样本数据偏离平均数的离散程度(即方差或 标准差),标准差大说明样本数据分散性大,标准差小说 明样本数据分散性小或者样本数据集中稳定. [活学活用] 某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品,在自动包装传送带 上每隔一小时抽一包产品,称其重量(单位:g)是否合格,分别 记录抽查数据,获得重量数据茎叶图如下图: 根据样本数据,计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方 差,并说明哪个车间的产品的重量相对稳定. 解:设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为 x 甲、 x 乙,方 2 差分别为s甲 、 s2 乙, 122+114+113+111+111+107 则 x 甲= =113, 6 124+110+112+115+108+109 x 乙= =113, 6 1 2 s 甲 = [(122-113)2+(114-113)2+(113-113)2+(111-113)2 6 +(111-113)2+(107-113)2]=21, 1 2 s 乙 = [(124-113)2+(110-113)2+(112-113)2+(115-113)2 6 1 2 2 +(108-113) +(109-113) ]=29 , 3 2 2 由于s甲<s乙,所以甲车间的产品的重量相对稳定. 方差的性质 [典例] 设数据x1,x2,…,xn的方差为s2,求下列各组数 据的方差. (1) x1+b,x2+b,…,xn+b; (2)ax1, ax2,…,axn; (3)ax1+b, ax2+b,…,axn+b. [解] 设数据x1,x2,…,xn的平均数为 x , 则数据x1+b,x2+b,… ,xn+b的平均数为 x +b, 数据ax1,ax2,…,axn的平均数为a x , 数据ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为a x +b, 设数据x1+b,x2+b,…, xn+b的方差为s2 1, 数据ax1,ax2,…,axn的方差为s2 2, 数据ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为s2 3, 1 2 (1) s 1 = n [(x1+b- x -b)2+(x2+b- x -b)2+…+(xn+b- x 1 2 -b) ]=n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2]=s2, 1 2 2 2 (2)s2 = [( ax 2 1-a x ) +(ax2-a x ) +…+(axn-a x ) ] n 2 1 2 2 2 2 2 =a · [( x - x ) + ( x - x ) + … + ( x - x ) ] = a s, 2 n n 1 1 2 (3)s 3 = n [(ax1+b-a x -b)2+(ax2+b-a x -b)2+…+(axn+b -a x -b)2] 1 =n[(ax1-a x )2+(ax2-a


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