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第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数


第三章

三角函数、三角恒等变换及解三角形第 1 课时
意角和弧度制及任意角的三角函数



考情分析 ① 了解任意角的概念;了解终边相同的角的 意义. ② 了解弧度的意义,并能进行弧度与角度的 互化. ③ 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义;初步了解有向线段的概念,会利用 单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、 余弦、正切.

考点新知

① 能准确进行角度与弧度的互化. ② 准确理解任意角三角函数的定义,并能准 确判断三角函数的符号.

1. (必修 4P15 练习 6 改编)若角 θ 同时满足 sinθ <0 且 tanθ <0, 则角 θ 的终边一定落在第 ________象限. 答案:四 解析:由 sinθ<0,可知 θ 的终边可能位于第三或第四象限,也可能与 y 轴的非正半轴 重合.由 tanθ<0,可知 θ 的终边可能位于第二象限或第四象限,可知 θ 的终边只能位于第 四象限. 2. 角 α 终边过点(-1,2),则 cosα =________. 答案:- 5 5

3. 已知扇形的周长是 6cm,面积是 2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是________. 答案:1 或 4 4. 已知角 α 终边上一点 P(-4a,3a)(a<0),则 sinα =________. 3 答案:- 5 5 5. (必修 4P15 练习 2 改编)已知角 θ 的终边经过点 P(-x,-6),且 cosθ =- ,则 sin 13 θ =____________,tanθ =____________. 12 12 答案:- 13 5 解析:cosθ= 5 5 =- ,解得 x= .sinθ= 13 2 x +36
2

-x

-6

?-5? +(-6) ? 2?

2

12 =- ,tanθ= 13 2

12 . 5

1. 任意角 (1) 角的概念的推广 ① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角. (2) 终边相同的角 终边与角 α 相同的角可写成 α+k· 360°(k∈Z). (3) 弧度制 ① 1 弧度的角:长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. l ② 规定:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零,|α|= ,l r 是以角 α 作为圆心角时所对圆弧的长,r 为半径. ③ 弧度与角度的换算:360°=2π 弧度;180°=π 弧度. ④ 弧长公式:l=|α|r. 1 1 扇形面积公式:S 扇形= lr= |α |r2. 2 2 2. 任意角的三角函数 (1) 任意角的三角函数定义 y x y 设 P(x,y)是角 α 终边上任一点,且|PO|=r(r>0),则有 sinα = ,cosα = ,tanα = , r r x 它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数. (2) 三角函数在各象限内的正值口诀是:Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦. 3. 三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 P,过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M,则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影.由三角函数的定义知,点 P 的 坐标为(cosα ,sinα ),即 P(cosα ,sinα ),其中 cosα =OM,sinα =MP,单位圆与 x 轴的 正半轴交于点 A,单位圆在 A 点的切线与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T,则 tanα = AT.我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 α 的余弦线、正弦线、正切线.

三角函数线

[备课札记]

题型 1 三角函数的定义 例 1 α 是第二象限角,P(x, 5)为其终边上一点,且 cosα = 解:∵ OP= x2+5,∴ cosα= x = x +5
2

2 x,求 sinα 的值. 4

2 x.又 α 是第二象限角,∴ x<0,得 x=- 3, 4 ∴ sinα= 变式训练 已知角 α 终边上一点 P(- 3,y),且 sinα = 2 y,求 cosα 和 tanα 的值. 4 5 10 = . 4 x +5
2

y y 2 解:r2=x2+y2=y2+3,由 sinα= = 2 = y, r 4 y +3 ∴ x 6 15 y=± 5或 y=0.当 y= 5即 α 是第二象限角时,cosα= =- ,tanα=- ; r 4 3

当 y=- 5即 α 是第三象限角时, x 6 15 cosα= =- ,tanα= ;当 y=0 时,P(- 3,0), r 4 3 cosα=-1,tanα=0. 题型 2 三角函数值的符号及判定 例 2 (1) 如果点 P(sinθ ·cosθ ,2cosθ )位于第三象限,试判断角 θ 所在的象限; (2) 若 θ 是第二象限角,试判断 sin(cosθ )的符号. 解:(1) 因为点 P(sinθ·cosθ,2cosθ)位于第三象限, 所以 sinθ·cosθ<0,2cosθ<0,
? ?sinθ>0, 即? 所以 θ 为第二象限角. ?cosθ<0, ?

(2) ∵

π 2kπ+ <θ<2kπ+π(k∈Z),∴ 2

-1<cosθ<0,

∴ sin(cosθ)<0.∴ sin(cosθ)的符号是负号. 备选变式(教师专享) 已知点 P(tanα ,cosα )在第二象限,则角 α 的终边在第________象限. 答案:四 解析:由题意,得 tanα<0 且 cosα>0,所以角 α 的终边在第四象限. 题型 3 弧长公式与扇形面积公式 例 3 已知一扇形的中心角是 α,所在圆的半径是 R. (1) 若 α=60°,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积; (2) 若扇形的周长是一定值 C(C>0),当 α 为多少弧度时,该扇形有最大面积? 解:(1) 设弧长为 l,弓形面积为 S 弓. ∵ π α=60°= ,R=10,∴ 3 10 l= π(cm). 3

1 10 1 π 3 S 弓=S 扇-S△= × π×10- ×102·sin60°=50? - ? cm2. 2 3 2 ?3 2 ?

C 2 C 1 1 (2) ∵ 扇形周长 C=2R+l=2R+αR,∴ R= ,∴ S 扇= α·R2= α?2+α? = 2 2 ? ? 2+α C2 α C2 1 C2 4 · = · ≤ ,当且仅当 α= ,即α=2(α=-2 舍去)时,扇形面积有 2 4+4α+α2 2 4 16 α 4+α+ α C2 最大值 . 16 备选变式(教师专享) 已知 2rad 的圆心角所对的弦长为 2,求这个圆心角所对的弧长.

︵ 解: 如图, ∠AOB=2rad, 过 O 点作 OC⊥AB 于 C, 并延长 OC 交AB于 D.∠AOD=∠BOD 1 AC 1 =1rad, 且 AC= AB=1.在 Rt△AOC 中, AO= = , 从而弧 AB 的长为 l=|α|· r 2 sin∠AOC sin1 = 2 . sin1

8π α 1. 若 α 角与 角终边相同,则在[0,2π ]内终边与 角终边相同的角是________. 5 4 2π 9π 7π 19π 答案: , , , 5 10 5 10 8π α 2π kπ α 解析:由题意,得 α= +2kπ(k∈Z), = + (k∈Z).又 ∈[0,2π],所以 k 5 4 5 2 4 α 2π 9π 7π 19π =0,1,2,3, = , , , . 4 5 10 5 10 2. 已知角 α(0≤α≤2π )的终边过点 P?sin

?

2π 2π ,cos ?,则α =__________. 3 3 ?

11π 答案: 6 解析: 将点 P 的坐标化简得? 11π 又 0≤α≤2π,所以 α= . 6 3. 已知扇形的周长为 8 cm,则该扇形面积的最大值为________cm2. 答案:4 1 1 解析:设扇形半径为 r cm,弧长为 l cm,则 2r+l=8,S= rl= r×(8-2r)=-r2+4r 2 2 x 3 3 1? 它是第四象限的点, r=|OP|=1, cosα= = . ,- , r 2 2 2 ? ?

=-(r-2)2+4,所以 Smax=4(cm2). 4. 若角 α 的终边与直线 y=3x 重合且 sinα <0,又 P(m,n)是角 α 终边上一点,且|OP| = 10,则 m-n=________. 答案:2 解析:依题意知?
?n=3m, ? ?m +n =10. ?
2 2

解得 m=1,n=3 或 m=-1,n=-3. 又 sinα<0,∴ α的终边在第三象限, ∴ n<0,∴ m=-1,n=-3,∴ m-n=2.

kπ π ? ? α= - ,k∈Z?,N={α|-π<α<π},则 M∩N=________. 1. 设集合 M=?α? 2 3 ?
? ? ? 5 π π 2 ? 答案:?- π,- , , π? 6 3 6 3 ? ?

kπ π 4 8 解析:由-π< - <π,得- <k< .∵ k∈Z, 2 3 3 3
? 5 π π 2 ? ∴ k=-1,0,1,2,故 M∩N=?- π,- , , π?. 3 6 3 ? ? 6

π 2. 已知 α= ,回答下列问题. 3 (1) 写出所有与 α 终边相同的角; (2) 写出在(-4π,2π )内与α 终边相同的角; β (3) 若角 β 与 α 终边相同,则 是第几象限的角? 2 解: (1) 所有与 α 终边相同的角可表示为 π ? ? ? ?θ θ=2kπ+ ,k∈Z?. 3 ? ? ? π (2) 由(1) 令-4π<2kπ+ <2π(k∈Z), 3 1 1 则有-2- <k<1- . 6 6 ∵ k∈Z,∴ 取 k=-2、-1、0. 11π 5π π 故在(-4π,2π)内与 α 终边相同的角是- 、- 、 . 3 3 3 π β π (3) 由(1) 有 β=2kπ+ (k∈Z),则 =kπ+ (k∈Z). 3 2 6 ∴ β 是第一、三象限的角. 2

x 3. 已知角 α 的终边经过点 P(x,-2),且 cos α = ,求 sin α 和 tan α . 3

x x x 解:因为 r=|OP|= x2+(-2)2,所以由 cos α= ,得 2 2=3,解得 x 3 x +(-2) 2 =0 或 x=± 5. 当 x=0 时,sin α=-1,tan α不存在;当 x= 5时,sin α=- ,tan α 3 2 5 2 2 5 =- ;当 x=- 5时,sin α=- ,tan α= . 5 3 5 4. 已知在半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10. (1) 求弦 AB 所对的圆心角 α 的大小; (2) 求 α 所在的扇形的弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S. 解:(1) 由圆 O 的半径 r=10=AB,知△AOB 是等边三角形,∴ α=∠AOB= π . 3

π π 10π 1 1 10π (2) 由(1)可知 α= ,r=10,∴ 弧长 l=α·r= ×10= ,∴ S 扇形= lr= × 3 3 3 2 2 3 × 10 = 50? 50π 1 10 3 1 10 3 50 3 ,而 S △ AOB = · AB · = × 10 × = ,∴ S = S 3 2 2 2 2 2
扇形

- S △ AOB =

π 3? . - ?3 2?

1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同,其方法是先求出与已知角终边相同的角 的一般形式,再根据条件解方程或不等式. (2) 已知角 α 的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点 的距离, 然后用三角函数的定义来求相关问题. 若直线的倾斜角为特殊角, 也可直接写出角. 2. 已知角 α 终边上一点 P 的坐标, 则可先求出点 P 到原点的距离 r, 然后用三角函数的 定义求解 α 的三角函数值. 3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式,比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得 多,用起来也方便得多.因此,我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式. 4. 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤 (1) 用边界值定出角的终边位置. (2) 根据不等式(组)定出角的范围. (3) 求交集,找单位圆中公共的部分. (4) 写出角的表达式. [备课札记]


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