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【志鸿优化设计—赢在高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第九章 平面解析几何9.7


第7讲

双曲线

基础巩固 1.(2012· 福建卷,5)已知双曲线-=1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于(

)

A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由双曲线的右焦点为(3,0)知 c=3,即 c2=9,又∵c2=a2+b2,∴9=a2+5,即 a2=4,a=2. 故所求离心率 e==. 2.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于 ( ) A.B.-4 C.4 D. 【答案】A 【解析】∵mx2+y2=1 可化为+y2=1, 即 y2-=1,∴a2=1,b2=-. 由题意,2b=2· (2a),∴b2=4a2,即-=4.∴m=-. 3.已知双曲线与椭圆+=1 的焦点相同,且它们的离心率之和等于,则此双曲线的方程为 ( ) A.-=1 B.x2-=1 C.-=1 D.y2-=1 【答案】C 【解析】由于 在椭圆+=1 中,a2=25 ,b2=9,所以 c2=16,即 c=4.又椭圆的焦点在 y 轴上,所以 其焦点坐标为(0,± 4),离心率 e=.根据题意知,双曲线的焦点也应在 y 轴上,坐标为(0,± 4),且 其离心率等于-=2.故 设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),且 c=4,所以 a=c=2,a2=4,b2=c2a2=12,于是双曲线的方程为-=1. 4.已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),点 A,B 在双曲线的右支上,线段 AB 经过双曲线的右 焦点 F2,|AB|=m,F1 为左焦点,则△ ABF1 的周长为( ) A.2a+2m B.4 a+2m C.a+m D.2a+4m 【答案】B 【解析】由双曲线的定义可知 |AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a, 从而|AF1|+|BF1|-(| AF2|+|BF2|)=4a. 又∵|AF2|+|BF2|=|AB|=m, ∴△ABF1 的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2m. 5.(2012· 山东临沂月考)若椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则双曲线-=1 的渐近线方程为 ( ) A.y=± x B.y=± 2x C.y=± 4x D.y=± x

【答案】A 【解析】由题意=,所以 a2=4b2. 故双曲线的方程可化为-=1, 故其渐近线方程为 y=± x. 6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲线的右 支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A. (1,2) B.(-1,2) C.(2,+∞) D.[2,+∞) 【答案】D 【解析】过 F 的直线 l 与双曲线的右支有且只有一个交点,则其斜率为正的渐近线的倾 斜角应不小于直线 l 的倾斜角,已知直线 l 的倾斜角是 60° ,从而,故≥2. 7.(2012· 浙江卷,8)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两 顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )

A.3 B.2 C. D. 【答案】B 【解析】由题意可知椭圆的长轴长 2a1 是双曲线实轴长 2a2 的 2 倍,即 a1=2a2,而椭圆与 双曲线有相 同的焦点, 故离心率之比为==2. 8.已知过点 P(-2,0)的双曲线 C 与椭圆+=1 有相同的焦点,则双曲线 C 的渐近线方程 是 . 【答案】y=± x 【解析】由题意,双曲线 C 的焦点在 x 轴上且为 F1(-4,0),F2(4,0),∴c=4. 又∵双曲线过点 P(-2,0),∴a=2.∴b==2.∴其渐近线方程为 y=± x. x=± 9.(2012· 江苏卷,8)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线-=1 的离心率为,则 m 的值 为 . 【答案】2 【解析】根据双曲线方程的结构形式可知,此双曲线的焦点在 x 轴上,且 a2=m,b2=m2+4, 故 c2=m2+m+4,于是 e2===()2,解得 m=2,经检验符合题意. 10.已知圆 C:x2+y2-6x-4y+8=0.以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶 点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为 . 【答案】-=1 【解析】圆 C:x2+y2-6x-4y+8=0 与 y 轴没有交点. 由 y=0?x2-6x+8=0,得圆 C 与坐标轴的交点分别为(2,0),(4,0),则 a=2,c=4,b2=12,所以双曲 线的标准方程为-=1. 11.若双曲线的渐近线方程为 y=± x,求双曲线的离心率.

【解】设双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距、离心率分别为 a,b,c,e. (1)若双曲线的焦点在 x 轴上,则=,b=a,c===a.故 e===. (2)若双曲线的焦点在 y 轴上,则=,b=a,c===a. 故 e===. 综上可知,双曲线的离心率为或.

12.如图所示,一双曲线的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,F1,F2 分别为其左、右焦点.双 曲线的左支上有一点 P,∠F1PF2=,且△ PF1F2 的面积为 2,又双曲线的离心率为 2,求该双 曲线的方程. 【解】设此双曲线方程为-=1(a>0,b>0), F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0). 在△ PF1F2 中,由余弦定理,得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|· cos =(|PF1|-| PF2|)2+|PF1|· |PF2|, 即 4c2=4a2+|PF1|· |PF2|. 又∵=2, ∴|PF1|· |PF2|· sin=2. ∴|PF1|· |PF2|=8. ∴4c2=4a2+8,即 b2=2. 又∵e==2,∴a2=. ∴双曲线的方程为-=1. 13.已知双曲线 C:-=1(0<λ<1)的右焦点为 B,过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M,N 两 点,试确定 λ 的范围,使· =0,点 O 为坐标原点. 【解】设 M(x1,y1),N(x2,y2).由已知易求 B(1,0), ①当 MN 垂直于 x 轴时,MN 的方程为 x=1, 设 M(1,y0),N(1,-y0)(y0>0), 由· =0,得 y0=1, ∴M(1,1),N(1 ,-1). 又 ∵M(1,1),N(1,-1)在双曲线上, ∴-=1?λ2+λ-1=0?λ=. ∵0<λ<1, ∴λ=. ②当 MN 不垂直于 x 轴时,设 MN 的方程为 y=k(x-1). 由 得[λ-(1-λ)k2]x2+2(1-λ)k2x-(1-λ)(k2+λ)=0. 由题意知 λ-(1-λ)k2≠0, ∴x1+x2=,x1x2=. 于是 y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=,

∵· =0,且 M,N 在双曲线右支上, ∴ ?<λ<. 由①②,知≤λ<. 拓展延伸 14.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率 e=,直线 l 过 A(a,0),B(0,-b)两点,原点 O 到 l 的距离 是. (1)求双曲线的方程; (2)过点 B 作直线 m 交双曲线于 M,N 两点,若· =-23,求直线 m 的方程. 【解】(1)依题意,直线 l 的方程为+=1, 即 bx-ay-ab=0, 由原点 O 到直线 l 的距离为,得==. 又 e==,∴b=1,a=. 故所求双曲线的方程为-y2=1. (2)显然直线 m 不与 x 轴垂直,设 m 的方程为 y=kx-1,则点 M,N 的坐标(x1,y1),(x2,y2)是 方程组的解.消去 y,得(1-3k2)x2+6kx-6=0,① 依题设,1-3k2≠0,由 根与系数的关系,知 x1+x2=,x1x2=, · =(x1,y1)· (x2,y2)=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1-1)(kx2-1)=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+1=-+1=+1. ∵· =-23,∴+1=-23,即 k=± . 当 k=± 时,方程①有两个不等的实数根,故直线 m 的方程为 y=x-1 或 y=-x-1.



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