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必修一第三章函数的应用


第三章 函数的应用 【3.1】函数图像的应用问题 (1)结论 1. 函数 y=f(x)的零点就是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标, 也就是方程 f(x)=0 的解. 2.研究函数性质时一般要借助于函数图象,体现了数形结合思想. 3.有些不等式问题常转化为两个函数图象的上、下关系来解决. 4.方程解的的个数问题常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题来解决. 5 利用函数图象判断函数的奇偶性、确定单调区间:图象关于原点对称是奇函数,图象 关于 y 轴对称是偶函数.图象从左到右上升段对应的 x 的取值范围是增区间,下降对应 的 x 的取值范围是减区间. 6 方程 f(x)=g(x)的根就是函数 y=f(x)与函数 y=g(x)图象交点的横坐标. 7 不等式 f(x)>g(x)的解集是函数 y=f(x)的图象在函数 y=g(x)图象上方的一段对应的 x 的取值范围(交点坐标要通过解方程求得) (2) 【技能方法】 1. 利用函数图象解方程或确定方程解得个数 对所给的方程进行变形,转化为两个熟悉的函数的交点问题,作出这两个函数的图 象,观察出交点个数即为方程解的个数,或找出解所在的区间或结合图象由解的个数找 出参数满足的条件,从而求出参数的范围或参数的值. x 例1 【2015 届陕西省教学质量检测】 已知函数 f(x)=π 和函数 g(x)=sin4x, 若 f(x) 的反函数为 h(x),则方程 h(x)=g(x)解的的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 【答案】C x 【解析】f(x)=π 的反函数 h(x)=㏒πx,在同一坐标系内画出 h(x)=㏒πx,g(x)=sin4x 的图象,由于 g(x)=sin4x∈[-1,1],所以 0<x≤π时,两图的交点个数为 3,故选 C.

【点评】本题将方程解的问题转化为函数 h(x)=㏒πx 与 g(x)=sin4x∈[-1,1]的交点个 数问题,再利用函数图象来解,准确画出函数图象,观察出函数性质是解题的关键. 2. 利用函数图象确定零点的范围或零点个数 利用函数的零点就是函数与 x 轴交点的横坐标, 将函数的零点问题转化为方程解得 问题, 再将方程进行变形, 转化为两个熟悉的函数的交点问题, 作出这两个函数的图象, 观察出交点个数即为方程解的个数, 或找出解所在的区间或结合图象由解的个数找出参 数满足的条件,从而求出参数的范围或参数的值. 例 2 已知函数 零点,则实数 k 的取值范围为______. 【答案】 【解析】 f (x)<0, (2,+∞)上是减函数,在区间 时,f(x)→-∞.如图是 f(x)的图象,
'

,若函数 g(x)恰有两个不同的

,f (x)=0 的解为 f (x)>0,从而 f(x)在区间 和(0,2)上是减函数,
'

'

和 当 x→+∞

,f(x)极大值=f(2)=7,方

程 g(x)=f(x)+2k 的解就是函数 f(x)的图象与直线 y=-2k 的交点的横坐标, 当 3<-2k< 7 或-2k=0 或 时,有两个交点,即方程有两个解,或称 g(x)有两个零点,

【点评】本题关键是利用导数研究函数的性质,再根据函数的性质作出函数的图象,再 通过数形结合求出参数的范围. 3. 运用函数图象解超越不等式 例3当 【答案】D 【解析】 作出函数 图象下方,由图可知, 选 D. ,由 4 <㏒ ax 知,在 ,解得
x

时,4 <㏒ ax,则实数 a 的取值范围是(

x



上函数 y=4 图象在 y=㏒ ax ,故

x

,所以实数 a 的取值范围是

【点评】本题作出函数函数 的图象和函数 y=㏒ ax 图象,观察图象即可 找出参数 a 满足的条件. 4.运用函数图象求参数范围 例 4 已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根, 则实数 k 的取值范围是( ) 【答案】B 【解析】由已知,函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx 的图象有两个公共点,画图可知当直线 介于 之间时,符合题意,故选 B.

【点评】 本题作出函数 y=f(x)的图象,作出直线 y=kx,利用 k 的几何意义,结合图象 即可找出函数有两个交点时,实数 k 的取值范围.

【3.2】函数与方程 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函 数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数

y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即: 方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的 图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点.
3、函数零点的判断 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有 f(a)?f(b) <0.那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 4、函数零点的求法:求函数 y ? f ( x) 的零点: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来, ○ 并利用函数的性质找出零点. 1)应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后 数形结合求解. 2)在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时,数形结 合是基本的解题方法,即把方程分拆为一个等式,使两端都转化为我们所熟悉的函数的 解析式,然后构造两个函数 y=f(x),y=g(x),即把方程写成 f(x)=g(x)的形式,这时方 程根的个数就是两个函数图象交点的个数, 可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参 数所满足的各种关系. 5、二次函数的零点:二次函数 y
2

? ax2 ? bx ? c(a ? 0) .

1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个 交点,二次函数有两个零点. 2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. 2 3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 6、二分法的定义 对于在[a,b]上连续不断,且 f(a)?f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的 零点所在的区间一分为二, 使区间的两端点逐步逼近零点, 进而得到零点近似值的方法叫做 二分法. 7、用二分法求函数 f(x)零点近似值 (1)确定区间[a,b],验证 f(a)?f(b)<0,给定精确度ε; (2)求区间(a,b)的中点 x1; (3)计算 f(x1):①若 f(x1)=0,则 x1 就是函数的零点; ②若 f(a)?f(b)<0,则令 b=x1,(此时零点 x0∈(a,x1)); ③若 f(a)?f(b)<0,则令 a=x1,(此时零点 x0∈(x1,b)). (4)判断是否达到精确度ε: 即若|a-b|<ε, 则得到零点近似值 a(或 b); 否则重复(2)-(4). 二、结论 (1)若连续不断的函数 f(x)是定义域上的单调函数,则 f(x)至多有一个零点; (2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号; (3)连续不断的函数图像通过一重零点时(不是二重零点),函数值变号;通过二重零点时, 函数值可能不变号. (4)三个等价关系:
2

①函数 y=f(x)的零点 方程 f(x)=0 函数 y=f(x)与 x 轴交点的横坐标; ②函数 y=f(x)有 n 个零点 方程 f(x)=0 有 n 个实数根 函数 y=f(x)与 x 轴有有 n 个交点; ③函数 F(x)=f(x)-g(x)有零点 方程 F(x)=0 有实数根 函数 y=f(x)与 y=g(x)有交点; ④函数 F(x)=f(x)-a 有零点 方程 F(x)=0 有实数根 函数 y=f(x)与 y=a 有交点 a∈ {y|y=f(x)},其中 a 为常数; ⑤函数 F(x)=f(x)-a 没有零点 方程 F(x)=0 没有实数根 函数 y=f(x)与 y=a 没有交 点,其中 a 为常数.

(5)
三、【技能方法】 1.函数零点的判定及求解 函数零点的判定有以下三种方法: (1)零点存在性定理; (2)图像法; (3)解方程.利用解方程求解时,方程 f(x)=0 的实数解即为函数的零点. 例 1 判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出. (1)f(x)=-8x2+7x+1; (2)f(x)=x2+x+2; (3) 【答案】 (1)存在, 和 1; (2)不存在; (3)存在,-6. 或 x=1,所以函数

【解析】(1)由 f(x)=-8x2+7x+1=-(8x+1)(x-1),令 f(x)=0 可解得 的零点存在,零点为 和 1;

(2)令 x2+x+2=0,因为△=12-1×1×2=-7<0,所以方程无实数解,即函数 f(x)=x2+x+2 不存在零点; (3)因为 ,令 f(x)=0 即 ,解得 x=-6,所以所以

函数的零点存在,零点为-6. 【点评】一般求函数的零点时,可优先选择令 f(x)=0,通过解方程的方法求解函数的零点; 若是二次函数可以通过根的判别式判断函数的零点是否存在; 若是分式方程不要忘记验证增 根的存在. 2. 确定函数的零点所在区间 解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判断或数形结合法. 例 2 设函数 A.在区间 B.在区间 C.在区间 D.在区间 ,则函数 y=f(x)( 内均有零点 内均无零点 内有零点,在区间(1,e)内无零点 内无零点,在区间(1,e)内有零点 )

【答案】D 【解析】 方法一: 令 f(x)=0 得 .作出函数 和 y=lnx 的图像, 如图, 显然 y=f(x)

在(1/e,1)内无零点,在(1,e)内有零点,故选 D. 方法二:当 在 时,函数图像是连续的,且 ,所以函数 f(x) ,所以函数有唯一的零

上单调递减.又

点在区间(1,e)内.故选 D. 【点评】在方法一中,求函数 f(x)的零点关键是把问题转化成两个函数的图像交点的问题; 方法二中,先利用导函数求出函数的单调区间,再通过零点存在性定理判断零点是否存在. 3.由零点求参数的取值范围 已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路: (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后观察 求解. 例 3 方程 2a? 9sinx+4a? 3sinx+a-8=0 有解,则 a 的取值范围是( )

【答案】A. sinx sinx sinx 2 sinx sinx 2 【解析】 可化为 2a? 9 +4a? 3 +a-8=0 可化为 2a(3 ) +4a? 3 +a-8=0, 即 2a(3 +1) =a+8, 当 a=0 时,方程显然无解;当 a≠0 时,方程化为 , 【点评】本题在使用主参分离时要把 a 分成 a=0 和 a≠0 两种情况讨论,当 时,方程显然无 解;当 a=0 时,方程化为,此时函数 y=(3sinx+1)2 的值域即为的范围. 4.利用二分法求函数零点的近似值 定区间,找中点,中值计算两边看; 同号去,异号算,零点落在异号间; 周而复始怎么办? 依据精度来判断. 例 4.用二分法研究函数 f(x)=x3+3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0, 可得其中一个零点 x0∈______,第二次应计算______. 【答案】(0,0.5) f(0.25) 【解析】 因为 f(0)<0, f(0.5)>0, 由二分法原理得一个零点 x0∈(0,0.5); 第二次应计算. 【点评】能够使用二分法求零点一定是变号零点. 5.函数零点的个数的求解方法 (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则 有几个解就有几个零点; (2)零点存在性定理: 利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线, 且 f(a)? f(b) <0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点; (3)利用图像交点的个数:画出两个函数的图像,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几 个不同的值,就有几个不同的零点. 例 1.函数 y=lnx+2x-1 零点个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 ,∵-1≤sinx≤1,

【答案】D 【解析】在同一坐标系内分别作出函数 y=lnx,y=1-2x 的图像,易知两函数图像有且只有 1 个交点,即函数 y=lnx+2x-1 只有 1 个交点.故选 D. 【点评】有些函数的零点问题,有时不易甚至不可能解出,而转化为构造两函数图像交点求 解,画出两函数的图像,看其交点的个数,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不 同的零点. 6.复合函数的零点个数 求解复合函数 y=g(f(x))的零点个数问题,即复合方程 g(f(x))=0 的问题,令 u=f(x) (内层方程) ,这样 g(f(x))=0 就转化为 g(u)=0,当外层方程 g(u)=0 任意求解时,可以先 解方程 g(u)=0,再解内层方程 u=f(x),这样方程解的总个数即为复合函数的 y=g(f(x))的 零点个数. 3 2 例 2.若函数 f(x)=x +ax +bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 2 3(f(x)) +2af(x)+b=0 的不同实根个数是( ). A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 2 2 【解析】由 f'(x)=3x +2ax+b=0 得,x=x1 或 x=x2,即 2(f(x)) +2af(x)+b=0 的根为 f(x)=x1 或 f(x)=x2 的解.如图所示,

由图象可知 f(x)=x1 有 2 个解,f(x)=x2 有 1 个解,因此 2(f(x))2+2af(x)+b=0 的不同 实根个数为 3. 【点评】本题的关键是把求方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的个数转化成求解成方程 f(x)=x1 或 f(x)=x2 的个数. 7.由函数零点求参数的取值范围 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后 数形结合求解. 例 3.已知函数 函数 g(x)=b-f(2-x),其中 b∈R,若函数 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是( )

【答案】D 【解析】

y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b,所以 y=f(x)-g(x)恰有 4 个零点等价于方程 f(x)+f(2-x)-b=0 有 4 个不同的解,即函数 y=b 与函数 y=f(x)+f(2-x)的图象的 4 个公共点,由图象可知

.

【点评】本题主要考查求函数解析、函数与方程思、数形结合思想以及学生的作图能力.将 求函数解析式、函数零点、方程的解等知识结合在一起,利用等价转换、数形结合思想等方 法,体现数学思想与方法,考查学生的运算能力、动手作图能力以及观察能力.是提高题. 8.判断方程实数根的个数 一般情况下,把此问题转化为求两函数图像的交点问题. x 2 例 1 讨论方程 3 +x +2x-1=0 的实数根的个数. 【答案】2. x 2 x 2 x 2 【解析】3 +x +2x-1=0→3 =-x -2x+1,所以求方程 3 +x +2x-1=0 的实数根的个数等价于求函 数 y=3x 和函数 y=-x2-2x+1 的交点个数,

如上图所示,两函数的交点个数是 2,所以方程 3 +x +2x-1=0 的实数根的个数 2. 【点评】利用数形结合、化归思想将方程实数根个数问题转化为函数零点个数问题,进而转 化为两个函数交点个数问题. 9.求参数的取值范围 已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路: (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,再观察求解. 例 2 已知 ,若存在实数 b,使函数 g(x)=f(x)-b 有两个零点,则 a 的取 值范围是______. 【答案】(-∞,0)∪(1,+∞). 3 2 【解析】分析题意可知,问题等价于方程 x =b(x≤a)与方程 x =b(x>a)的根的个数和为 2,

x

2

若两个方程各有一个根:则可知关于 b 的不等式组

有解,∴a <b<a ,从而 a>1;

2

3

若方程 x =b(x≤a)无解,方程 x =b(x>a)有 2 个根:则可知关于 b 的不等式组 解,从而 a<0,综上,实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).

3

2



【点评】本题主要考查了函数的零点,函数与方程等知识点,属于较难题,表面上是函数的 零点问题, 实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题, 结合函数与方程思想和转化思 想求解函数综合问题, 将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数, 从而得到关于 参数 a 的不等式, 此题是创新题, 区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点 的解法,从另一个层面将问题进行转化,综合考查学生的逻辑推理能力. 【3.3】函数模型及其应用
1.三种增长型函数模型的图象与性质

2.三种增长型函数之间增长速度的比较 x n (1)指数函数 y=a (a>1)与幂函数 y=x (n>0) x n x 在区间(0,+∞)上,无论 n 比 a 大多少,尽管在 x 的一定范围内 a 会小于 x ,但由于 y=a n x n 的增长速度快于 y=x 的增长速度,因而总存在一个 x0,当 x>x0 时有 a >x . n (2)对数函数 y=㏒ ax(a>1)与幂函数 y=x (n>0) n 对数函数 y=㏒ ax(a>1)的增长速度,不论 a 与 n 值的大小如何总会慢于 y=x (n>0)的增长 n 速度,因而在定义域内总存在一个实数 x0,使 x>x0 时有㏒ ax<x . 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数, 但它们的增长速度不同, 且不在同一 n x 个档次上,因此在(0,+∞)上,总会存在一个 x0,使 x>x0 时有㏒ ax<x <a . 3.函数模型的应用实例的基本题型 (1)给定函数模型解决实际问题; (2)建立确定性的函数模型解决问题; (3)建立拟合函数模型解决实际问题. 4.函数建模的基本程序

5.结论 解答应用问题的程序概括为“四步八字” (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相 应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义. 6.【技能方法】 1.二次函数模型 例 1 某租赁公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3000 元时,可全部租出.当每辆车 的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费 150 元,未 租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 【答案】 (1)88; (2)当每辆车月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大为 307050. 【解析】 (1)租金增加了 600 元,所以未租出的车有 12 辆,一共租出了 88 辆.

(2)设每辆车的月租金为 x 元(x≥3000),租赁公司的月收益为 y 元, 则 , 当 x=4050 时,ymax=307050. 综上所述,当每辆车月租金定为 4050 元时,租赁公司的月收益最大,最大为 307050. 【点评】二次函数是常用的函数模型,建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值.解决实际 中的优化问题时,一定要分析自变量的取值范围.利用配方法求最值时,一定要注意对称轴与给 定区间的关系:若对称轴在给定的区间内,可在对称轴处取最值,在离对称轴较远的端点处取另 一最值;若对称轴不在给定的区间内,最值都在区间的端点处取得. 2. 分段函数模型 例 2 有一批影碟机(VCD)原销售价为每台 800 元,在甲、乙两家电商场均有销售. 甲商场 用如下的方法促销,买一台单价为 780 元,买二台单价为 760 元,依次类推,每多买一台单价均 减少 20 元,但每台最低不低于 440 元;乙商场一律按原价的 75%销售,某单位需购买一批此类 影碟机,问去哪家商场购买花费最小. 【答案】若购买小于 10 台,去乙商场购买;若购买 10 台,在甲商场或在乙商场费用一样多;若 购买多于 10 台,在甲商场购买. 【解析】设单位购买 x 台影碟机,在甲商场购买,每台的单价为 800-20x,则总费用

,在乙商场购买,费用 y=600x. (1)当 0<x<10 时,(800x-20x2)>600x ∴购买影碟机低于 10 台,在乙商场购买. (2)当 x=10 时,(800x-20x2)=600x ∴购买 10 台影碟机,在甲商场或在乙商场费用一样. (3)当 10<x≤18 时,(800x-20x2)<600x ∴购买影碟机多于 10 台且不多于 18 台,在甲商场购买. (4)当 x≥18 时,600x>440x ∴购买影碟机多于 18 台,在甲商场购买. 综上所述,若购买小于 10 台,去乙商场购买;若购买 10 台,在甲商场或在乙商场费用一样 多;若购买多于 10 台,在甲商场购买. 【点评】 (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题, 将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是端点值. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理不重不漏 3.指数函数模型 例 3 诺贝尔奖发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成 6 份,奖励给分别在 6 项(物理、 化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金 额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息作基金总额,以便保证奖金数逐年增加.假设基 金平均年利率为 r=6.24%.资料显示:1999 年诺贝尔奖发放后基金总额约为 19800 万美元.设 * f(x)表示第 x(x∈N )年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999 年记为 f(1),2000 年记为 f(2),?, 依次类推) (1)用 f(1)表示 f(2)与 f(3),并根据所求结果归纳出函数 f(x)的表达式; (2)试根据 f(x)的表达式判断网上一则新闻 “2009 年度诺贝尔奖各项奖金高达 150 万美元” 是 9 否为真,并说明理由.(参考数据:1.0312 =1.32) * 【答案】 (1)f(x)=19800(1+3.12%)x-1(x∈N );(2)假的,理由见解析. 【解析】 (1) , ∴f(x)=19800(1+3.12%) (x∈N ). 9 (2)2008 年诺贝尔奖发放后基金总额为 f(10)=19800(1+3.12%) =26136. 故 2009 年度诺贝尔奖各项奖金为 与 150 万美元相比
x-1 *

少了约 14 万美元,是假新闻. 【点评】此类增长率问题,在实际问题中常可以用指数函数模型 y=N(1+p)x(其中 N 是基础数,p 为增长率, x 为时间)和幂函数模型 y=a(1+x)n(其中 a 为基础数, x 为增长率, n 为时间)的形式. 解 题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解. 4.函数与方程 方程是含有未知量的等式,方程的价值是表述了已知量和未知量之间的数量关系.利用函数 思想,可以把方程看成是一个已知函数值为零,求其自变量的值的问题,从而实现了将方程问题 转化成函数问题, 也可以将一个方程看成是两函数相等时的情境, 然后把方程问题转化为两函数 图像的交点问题. x 例 1 已知 x1 是方程 x+lgx=3 的根,x2 是方程 x+10 =3 的根,则 x1+x2=______. 【答案】3. x x 【解析】 将方程转化为 lgx=3-x, 10 =3-x, 所以这两个方程的解是函数 y=3-x 与函数 y=lgx, y=10 x 的两个交点 A、B 的横坐标,因为函数 y=lgx 与 y=10 互为反函数,所以两函数图像关于直线 y=x 对称,又因为 y=x 与 y=3-x 两直线互相垂直,且交点坐标为 ,故 A、B 也关于直线 y=x 对 称,所以 xA+xB=3,即 x1+x2=3. 【点评】对于此题,若只想通过解方程的方法把方程的根分别解出来,将很难解决此题,若观察 方程的结构特点,把方程问题转化为函数的交点问题,此题就变得较为容易了. 5. 函数与数列 按照一定顺序排列的一组数叫数列, 数列中的每一个数叫做这个数列的项, 从函数角度上看, 可以将数列看作是项数的函数,数列即可看成是定义域为正整数的函数,因此在一些题目中,我 们可以将数列看作是一类特殊的函数,应用函数的相关性质,来解决数列问题. 例2设 【答案】D 【解析】由 所以故 故答案为 D 【点评】在此题目中,解题的关键是注意 f(n)式子中有多少项,即可求得 f(n+1)-f(n). 6.函数与不等式 由于不等式的工具性地为,故应用广泛,常常与其他章节综合起来考查,此时特别要注意函 数思想作为指导, 尤为是含参的不等式或者直接求解不等式有困难时, 往往将不等式的右边化为 零,左边看作函数的形式,应用函数的图像或性质求解,当遇见不等式中的最值问题时,也常常 要考虑到函数的单调性或有界性. 4 2 例 3 若不等式 8x +8(a-2)x -a+5>0 对任意 x∈R 的恒成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】 2 2 【解析】 设 t=x , 由 x ∈R , 故 t≥0 原题转化为对任意 t∈[0,+∞), f(t)=8t +8(a-2)t-a+5 恒正, 此抛物线的对称轴方程为 <5,故 2≤a<5;当 ,当 ,即 a≥2 时,有 f(x)≥f(0)=-a+5>0,解得 a
2

,那么 f(n+1)-f(n)=(

)

,即 a<2 时,需△=32(2a -7a+3)<0,解得

,故



综上所述,实数 a 的取值范围 . 【点评】对于此类“恒成立” “恒为正” “恒大于零”等问题,不等式可表示为 f(x)>0 或 f(x) <0 的形式,它往往可以看做是关于 x 的一元或二次函数,再利用函数的图像和性质根据具体情 况作出讨论即可解决.另外,此题应该注意的是新元的取值范围不是 R,二是[0,+∞).



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