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【创新设计】(江苏专用)2014届高考数学二轮总复习 等差数列、等比数列训练试题 文


常考问题 8 等差数列、等比数列

(建议用时:50 分钟) 1.设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13= ________. 解析 a1+a2+a3=15?3a2=15?a2=5,a1a2a3=80?(a2-d)a2(a2+d)=80,将 a2=5

代入,得 d=3(舍去 d=-3),从而 a11+a12+a13=3a12=3(a2+10d)=3×(5+30)=105. 答案 105 a13 2.(2013· 泰州期中)已知等比数列{an}为递增数列,且 a3+a7=3,a2a8=2,则 =________. a11 解析 根据等比数列的性质建立方程组求解.因为数列{an}是递增等比数列,所以 a2a8 a13 =a3a7=2,又 a3+a7=3,且 a3<a7,解得 a3=1,a7=2,所以 q4=2,故 =q2= 2. a11 答案 2

S3 1 S6 3.(2013· 南京二模)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 = ,则 =________. S6 3 S7 S3 3a1+3d 1 S6 6a1+15d 27 解析 设等差数列{an}的公差为 d, 则 = = ?a1=2d, 所以 = = . S6 6a1+15d 3 S7 7a1+21d 35 答案 27 35

4.数列{an}为正项等比数列,若 a2=1,且 an+an+1=6an-1(n∈N*,n≥2),则此数列的前 4 项和 S4=________. 6 解析 设{an}的公比为 q(q>0),当 n=2 时,a2+a3=6a1,从而 1+q= ,∴q=2 或 q q 1 ×?1-24? 2 1 15 =-3(舍去),a1= ,代入可有 S4= = . 2 2 1-2 答案 15 2

1 5 . (2012· 南京学情调研 ) 在等比数列 {an} 中,若 a1 = , a4 =- 4 ,则 |a1|+ |a2| +…+ |a6|= 2 ________. 1 解析 求出等比数列的通项公式,再求和.由等比数列{an}中,若 a1= ,a4=-4,得 2 1 1 1 - - 公比为-2,所以 an= ×(-2)n 1,|an|= ×2n 1,所以|a1|+|a2|+…+|a6|= (1+2+22 2 2 2
6 1 1-2 63 +…+25)= × = . 2 1-2 2

1

答案

63 2

6.(2013· 新课标全国Ⅰ卷改编)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1 =3,则 m 等于________. 解析 am=2,am+1=3,故 d=1, m?m-1? 因为 Sm=0,故 ma1+ d=0, 2 m-1 故 a1=- , 2 因为 am+am+1=5, 故 am+am+1=2a1+(2m-1)d =-(m-1)+2m-1=5, 即 m=5. 答案 5 7.在等差数列{an}中,a10<0,a11>0,且 a11>|a10|,则{an}的前 n 项和 Sn 中最大的负数为 前______项的和. 解析 因为 S19=19a10<0,而由 a11>|a10|得 a11+a10>0,所以 S20=10(a11+a10)>0,故 Sn 中最大的负数为前 19 项的和. 答案 19 8.(2012· 江苏卷改编)各项均为正数的等比数列{an}满足 a1a7=4,a6=8,若函数 f(x)=a1x 1? +a2x2+a3x3+…+a10x10 的导数为 f′(x),则 f′? ?2?=________. 解析 因为各项均为正数的等比数列{an}满足 a1a7=4,a6=8,所以 a4=2,q=2,故

1? - -2 -2 -2 an=2n 3,又 f′(x)=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9,所以 f′? ?2?=2 +2×2 +3×2 10×11 55 - - +…+10×2 2=2 2× = . 2 4 答案 55 4

9.已知公差不为零的等差数列{an}的前 4 项和为 10,且 a2,a3,a7 成等比数列. (1)求通项公式 an; (2)设 bn=2an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解
? ?4a1+6d=10, (1)由题意知? 2 ??a1+2d? =?a1+d??a1+6d?, ?

?a1=-2, ? 解得? 所以 an=3n-5(n∈N*). ?d=3, ?

2

1 n-1 1 - (2)∵bn=2an=23n 5= · 8 ,∴数列{bn}是首项为 ,公比为 8 的等比数列,所以 Sn= 4 4 1 ?1-8n? n 4 8 -1 = . 28 1-8 10.(2013· 杭州模拟)已知数列{an}是首项为 常数 t∈N*. (1)求证:{bn}为等差数列; (2)设数列{cn}满足 cn=anbn,是否存在正整数 k,使 ck,ck+1,ck+2 按某种次序排列后成 等比数列?若存在,求 k,t 的值;若不存在,请说明理由. an+1? n (1)证明 an=3- ,bn+1-bn=-15log3? 3 ? an ?=5, ∴{bn}是首项为 b1=t+5,公差为 5 的等差数列. (2)解 n cn=(5n+t) · 3- , 3 1 3 ,公比为 1 3 3 的等比数列,设 bn+15log3an=t,

3

k 则 ck=(5k+t)· 3- , 3 k+1 k+2 k 令 5k+t=x(x>0),则 ck=x· 3- ,ck+1=(x+5)· 3- ,ck+2=(x+10)· 3- . 3 3 3 ①若 c2 k =ck+1ck+2,则 k ?2 k+1 k+2 ?x· 3- · (x+10)· 3- . ? 3-3? =(x+5)· 3 3 化简得 2x2-15x-50=0,解得 x=10; 进而求得 k=1,t=5; ②若 c2 k+1=ckck+2, 同理可得(x+5)2=x(x+10), 显然无解; 1 2 ③若 c2 k+2=ckck+1,同理可得 (x+10) =x(x+5), 3 方程无整数根. 综上所述,存在 k=1,t=5 适合题意. 11.(2013· 南通调研)已知数列{an}成等比数列,且 an>0. (1)若 a2-a1=8, a3=m.①当 m=48 时, 求数列{an}的通项公式; ②若数列{an}是唯一的, 求 m 的值; (2)若 a2k+a2k-1+…+ak+1-(ak+ak-1+…+a1)=8,k∈N*,求 a2k+1+a2k+2+…+a3k 的 最小值.

3



设公比为 q,则由题意,得 q>0.

? ?a1q-a1=8, (1)①由 a2-a1=8,a3=m=48,得? 2 ?a1q =48. ?

?a1=8?2- 3?, ?a1=8?2+ 3?, 解之,得? 或? ?q=3+ 3; ?q=3- 3.
所以数列{an}的通项公式为 an=8(2- 3)(3+ 3)n 1,或 an=8(2+ 3)(3- 3)n 1.
- -

? ?a1q-a1=8, ②要使满足条件的数列{an}是唯一的,即关于 a1 与 q 的方程组? 2 有唯一正 ?a1q =m. ?

数解,即方程 8q2-mq+m=0 有唯一解. 由 Δ=m2-32m=0,a3=m>0,所以 m=32,此时 q=2. 经检验,当 m=32 时,数列{an}唯一,其通项公式是 an=2n 2.


(2)由 a2k+a2k-1+…+ak+1-(ak+ak-1+…+a1)=8, 得 a1(qk-1)(qk 1+qk 2+…+1)=8,且 q>1.
- -

1 8q2k k - - a2k+1+a2k+2+…+a3k=a1q2k(qk 1+qk 2+…+1)= k =8?q -1+qk-1+2?≥32, ? q -1 ? 1 k k 当且仅当 qk-1= k ,即 q= 2,a1=8( 2-1)时, q -1 a2k+1+a2k+2+…+a3k 的最小值为 32.

4


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