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不等关系与不等式(第一课时)


不等关系与不等式(第一课时)
课题:3.1.1 不等关系与不等式(第一课时)

教学目标: 1.了解不等式(组)的实际背景,掌握比较实数大小的方法; 2. 经历从实际情境中抽象出不等式模型的过程,体会不等式、方程以及函数 之间的联系; 3. 通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,培 养学生对客观世界的认识能力;体会不等式组对于刻画不等关系的意义和价值. 教学重点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系; 教学难点:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系; 教学方法:启发式教学,讲解法 教学用具:多媒体 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教学过程: 1、创设情境引入课题: 问题 1 请同学们看这几幅图片,能感觉到美吗?请同学们欣赏美,感受美. 【设计意图】选用几幅重叠起伏的壮丽画图(章头图)让学生自由的展开联想, 把学生引入到“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”的大自然中,让学生感受在 现实世界和日常生活中存在着大量的数量关系,了解不等式的实际背景,唤起 学生的学习热情. (教师:该山具有雄山的刚毅,秀山的温柔,灵山的潇洒,此山是以自然景观为 载体,人文景观为内涵的庐山.正因为庐山之美,古往今来,多少文人墨客到此 为庐山题诗作画,同学们记得大诗人苏轼为庐山题写的《题西林壁》吗(学生 回答)?正如诗中所提到的“高”与“低”,“远”与“近”描述的是庐山在数量上的一 些不等关系,谈到不等关系,同学们会想到我们非常熟悉的不等关系,相等关 系体现的是整齐划一之美,不等关系体现的是错落有致之美) 问题 2 庐山为什么美?请同学们思考.

【设计意图】通过《题西林壁》中所提到的“高”与“低”,“远”与“近”让学生感受 庐山的美丽,进而把这种“美”上升到一个高度---不等关系,引出课题. 在引出 不等关系的定义之后,教师指出:在现实世界和日常生活中,既有相等关系, 又存在着大量的不等关系. 2、具体情境感受不等关系: 问题:请同学们从下列情境中感受不等关系,并说出每幅图片中都有哪些不等 关系? 1)古代文明代表作之一----金字塔 2)现代化大都市 3)股票 K 线图 4)宇宙空间 5)科幻中的星球人 归纳总结(师生探讨):人们经常用长与短、高与矮、轻与重、大与小、不超 过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 【设计意图】课程标准明确提出:通过具体情境,感受在现实世界和日常生活 中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.该问题的设计,通 过大量的学生感兴趣的和富有时代感的素材,让学生感受不等关系,使学生认 识到不等关系是客观存在的广泛的数量关系. 3、不等关系的数学表示: 通过大量事实,在学生感受完不等关系之后,教师指出不等关系与我们生活息 息相关,同时提出如下问题: 问题 1 数学来源于生活,并应用于生活,生活中的不等关系该如何研究? 在数学上,我们常运用不等式来研究不等关系的问题. 问题 2 什么是不等式? 不等式的定义:我们用数学符号 ,连接两个数或不等式,以表示他们之间的不 等关系,含有这些符号的式子叫做不等式 问题 3 不等式是刻画现实世界和日常生活中数量之间差异的一种工具,用不等 式如何刻画生活中的不等式关系呢? 实例 1 如下两个图标,请同学说出不等关系和不等式.

限速标志 限高标志 实例 2 该酸奶中脂肪的含量 f 不少于 2.5%,蛋白质的含量 p 不少于 2.3%, 写成不等式组为: 实例 3 如图所示,准备了三张大小相同的纸片,其中两张纸片上各画一个半径 相等的半圆,另一张纸片上画一个正方形.将这三张纸片放在一个盒子里摇匀, 随机地抽取一张纸片,若抽到的是一个半圆则甲方赢;若抽到的是个一个正方形 则乙方赢。你认为这个游戏对双方是公平的吗?为什么?怎么用不等式表示呢? (甲赢) > (乙赢) 【设计意图】实例 3 的设计,其意图是使学生认识到现实世界和日常生活中大 量的数量关系是可以通过不等式来表示的,不等式是研究不等关系的数学工具, 从而理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值. 学生讨论 同学们挖掘现实世界和日常生活中的不等关系,并通过分析其中的基 本数量关系,用不等式把这种不等关系表示出来. 4、几种重要的不等模型: 问题 1 已知三角形的两边分别为 =2cm, =5cm,怎样用不等式表示第三边 c 的 取值范围呢? 模型一:一元一次不等式组: 问题 2 某人为自己制定的月支出的计划中,规定手机话费不超过 150 元,他所 选用的中国电信卡的收费标准为: 月租费
中国电信卡 30 元

每分钟通话费
0.4 元

设这个人每月通话时间为 x 分钟,怎样用不等式表示 x 满足的关系? 模型二:一元一次不等式: 问题 3 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售,可以售出 8 万本.据市场调查, 若单价每提高 0.1 元,销售量就可能相应减少 2000 本.若把提价后杂志的定 价设为 x 元,怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢? 模型三:一元二次不等式: 问题 4 某钢铁厂要把长度为 40dm 的钢管截成 5 dm 和 6 dm 种.按照生产的要 求,6dm 的数量不能超过 5dm 钢管的 3 倍.怎样写出满足所有上述不等关系的 不等式呢?

模型四:二元一次不等式组: 方法总结:不等式可以看成是表示不等关系、处理优化问题的一种数学模型, 建立不等式模型的步骤为:1)问题分析;2)变量的确定;3)建立模型;4) 模型求解;5)还原问题. 【设计意图】在感受不等关系实例的基础上,设计了四个问题,每一个问题对 应一种数学模型,每一个问题都是在学生独立思考的基础上经小组充分的讨论, 建立起来的一个不等模型.《课标》对“不等式”的定位是:刻画现实世界和日 常生活中数量之间差异的一种工具,把不等式看成是表示不等关系、处理优化 问题的一种数学模型.因此,学生经历这样的建模过程是必要的,让学生在充 分审题的基础上,确定变量并理解变量的实际意义,初步学会用不等式表示不 等关系的方法.鉴于不等模型的重要性,笔者认为有必要将这四种重要的不等 模型归类整理,让学生头脑中形成一个知识体系,模型一和模型二是初中学习 过的两种不等模型,而模型三和模型四是必修 5《不等式》这一章要研究的三 种重要模型中两种. 5.不等式基本事实: 利用不等式研究不等关系,需要对不等式的性质有必要的了解,下面我们来研究 不等式的性质: 思考 1 任给两个实数 ,它们之间有什么关系? 两个实数 有三种关系, , , ,它们有且仅有一个关系成立,这是由实数的有 序性决定的. 思考 2 如何比较两个实数 的大小? 几何角度:通过数轴,实数集与数轴上的点集之间可以建立一一对应关系,那 些表示实数的点在数轴上有次序地排列.数轴上的任意两点中,右边点对应的 实数比左边点对应的实数大 代数角度:作差法 如果 是正数,则 ;如果 ,则 是正数; 如果 是负数,则 ;如果 ,则 是负数; 如果 等于零,则 ;如果 ,则 等于零. 基本事实: ; 不等式的基本事实为我们比较大小提供了依据,通过利用差与零比较大小,得 到两个数的大小关系

6.例题讲解: 例 1、比较 的大小. 解: 【设计意图】初步体会作差比较大小的方法. 例 2、比较 的大小 【设计意图】从“数”和“形”两个角度去思考该问题,以进一步巩固作差比较大小 的方法,同时培养学生数形结合的意识. 【预设】1) ,可以说明 2) ,构造函数 ,并画其函数图像,由于 ,所以 ,可以说明 3)构造函数 和 ,并在同一坐标系下作图,发现 的图像在 的图像上方,可以说 明 (由下图可以说明) 例 3、当 ,比较 的大小 【设计意图】从“数”和“形”两个角度去思考该问题,以进一步巩固作差比较大小 的方法,同时培养学生数形结合的意识. 练习:已知 ,比较 的大小. 【设计意图】该题用作差法比较很容易得到 ,此时引导学生从“几何”的角度去 思考该问题,并解释为什么 .从代数”和“几何”两个角度去思考该问题,让学生 体会不等式和函数是密切相关的,同时培养学生数形结合的意识. 方法归纳:做差比较法的一般步骤为:(教师引导,学生回答) (1)作差;(2) 变形;(3) 定号;(4)得出结论. 7.课堂小结: 1)知识总结:通过具体情境,感受了在现实世界和日常生活中存在存在着大量 的不等关系,了解了不等式(组)的实际背景; 2)方法总结:掌握了作差法比较两个实数大小的方法;学习了用不等式表示实 际问题中的不等关系的方法. 8.板书设计:

3.1.1 不等关系与不等式 1、几种重要的不等模型 2、基本事实: 例 1、



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