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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 3.4 导数在实际生活中的应用课后知能检测 苏教版选修1-1


【课堂新坐标】 (教师用书)2013-2014 学年高中数学 3.4 导数在实 际生活中的应用课后知能检测 苏教版选修 1-1

一、填空题 1.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y 1 3 =- x +81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________. 3 【解析】 y′=-x +81,令 y′=0,得 x=9,故 x=9 是函数的极大值点,所以厂 家获得最大年利润的年产量是 9 万件. 【答案】 9 万件 2.某商品一件的成本为 30 元,在某段时间内,若以每件 x 元出售,可卖出(200-x) 件,当每件商品的定价为________元时,利润最大. 【解析】 利润为 S(x)=(x-30)(200-x) =-x +230x-6 000,S′(x)=-2x+230, 由 S′(x)=0 得 x=115,这时利润达到最大. 【答案】 115 3.已知某矩形广场面积为 4 万平方米,则其周长至少为________米. 40 000 40 000 【解析】 设广场的长为 x 米,则宽为 米,于是其周长为 y=2(x+ )(x>
2 2

x

x

40 000 0),所以 y′=2(1- ),令 y′=0,得 x=200 或 x=-200(舍去),当 0<x<200 时, 2

x

y′<0;当 x>200 时,y′>0,故当 x=200 时,y 取得最小值 800,即矩形广场的周长至
少为 800 米. 【答案】 800 4.某厂要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他 三边要砌新墙,当砌新墙所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为________. 【解析】 设需建的矩形堆料场与原墙平行的一边边长为 x 米,其他两边边长为 y 米, 512 512 则 xy=512, 所砌新墙的长 L=x+2y= +2y(y>0), 令 L′=- 2 +2=0, 解得 y=16(另

y

y

一负根舍去),当 0<y<16 时,L′<0;当 y>16 时,L′>0,所以当 y=16 时,函数取得极小 512 值,也就是最小值,此时 x= =32. 16
1

【答案】 32 米,16 米 5.(2013·江阴高二检测)某公司生产一种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位 的产品, 成本增加 100 元, 若总收入 R 与年产量 x(0≤x≤390)的关系是 R(x)=- +400x, 900 0≤x≤390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是________. 【解析】 由题意可得总利润 P(x)=- +300x-20 000, 0≤x≤390, 由 P′(x)=0, 900 得 x=300.当 0≤x<300 时,P′(x)>0;当 300<x≤390 时,P′(x)<0,所以当 x=300 时,

x3

x3

P(x)最大.
【答案】 300 6.已知某商品的生产成本 C 与产量 q 的函数关系式为 C=100+4q,价格 P 与产量 q 的 1 函数关系式为 P=25- q,则利润 L 最大时,产量 q 等于________. 8 1 1 2 1 2 【解析】 收入 R=q·P=q(25- q)=25q- q ,利润 L=R-C=(25q- q )-(100+ 8 8 8 1 2 1 1 4q)=- q +21q-100(0<q<200),则 L′=- q+21.令 L′=0,即- q+21=0,解得 q 8 4 4 =84.当 0<q<84 时,L′>0;当 84<q<200 时,L′<0,所以当 q=84 时,L 取得最大 值. 【答案】 84 7.用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒,在铁皮的四角各截去一个面积相 等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当所做的铁盒容积最大时,在四角截去的 正方形的边长为________. 【解析】 设截去的小正方形的边长为 x cm,铁盒的容积为 V cm ,由题意,得 V=x(48 -2x) (0<x<24),V′=12(24-x)·(8-x),令 V′=0,则在(0,24)内有 x=8,故当 x =8 时,V 有最大值. 【答案】 8 cm 2 3 8.某厂生产某种产品 x 件的总成本 c(x)=1 200+ x (万元),已知产品单价的平方与 75 产品件数 x 成反比,生产 100 件这样的产品单价为 50 万元,则产量定为________件时,总 利润最大. k 2 【解析】 设产品的单价为 P 万元,根据已知,可设 P = ,其中 k 为比例系数.
2 3

x

因为当 x=100 时,P=50,所以 k=250 000, 250 000 500 2 所以 P = ,P= ,x>0.

x

x

2

设总利润为 y 万元, 500 2 3 则 y= ·x-1 200- x 75 x 2 3 =500 x- x -1 200, 75 250 2 2 求导数得,y′= - x , x 25 令 y′=0 得 x=25, 故当 x<25 时,y′>0;当 x>25 时,y′<0. 因此当 x=25 时,函数 y 取得极大值,也是最大值. 【答案】 25 二、解答题 9.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩 之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之间 的桥面工程费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其 他因素,记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 【解】 (1)设需要新建 n 个桥墩,(n+1)x=m, 即 n= -1,因此,

m x

y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x
=256( -1)+ (2+ x)x = 256m +m x+2m-256.

m x

m x

x

256m 1 1 (2)由(1)知,f′(x)=- 2 + mx- x 2 2 =

m 2(x2-512), 2x

3

3 令 f′(x)=0,得 x2=512,所以 x=64,当 0<x<64 时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64) 内为减函数; 当 64<x<640 时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数,所以 f(x)在 x=64 处 取得最小值,

3

m 640 此时,n= -1= -1=9. x 64
即需新建 9 个桥墩才能使 y 最小. ︵ 10.两县城 A 和 B 相距 20 km,现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧AB上选择一点 C 建造垃圾处理厂, 其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关, 对城 A 和城 B 的总影响 度为对城 A 与对城 B 的影响度之和,记 C 点到城 A 的距离为 x km,建在 C 处的垃圾处理厂 对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明:垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城

A 的距离的平方成反比,比例系数为 4;对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成
︵ 反比,比例系数为 k.当垃圾处理厂建在AB的中点时,对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065. (1)将 y 表示成 x 的函数; ︵ (2)讨论(1)中函数的单调性, 并判断AB上是否存在一点, 使建在此处的垃圾处理厂对城

A 和城 B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城 A 的距离;若不存在,说明理由.
【解】 (1)如图所示,由题意知 AC⊥BC,BC =400-x ,
2 2

4 k y= 2+ (0<x<20), x 400-x2 由题意知当 x=10 2时,y=0.065, 所以 k=9. 4 所以 y 表示成 x 的函数为 y= 2+

x

9 2(0<x<20). 400-x

4 9 (2)由 y= 2+ x 400-x2 8 9×(-2x) 得 y′=- 3- x (400-x2)2 18x -8(400-x ) = , x3(400-x2)2 令 y′=0,得 18x =8(400-x ) , 所以 x =160,即 x=4 10或 x=-4 10(舍去). 当 0<x<4 10时,18x <8(400-x ) ,即 y′<0, 所以函数在(0,4 10)内为单调递减函数. 当 4 10<x<20 时,18x >8(400-x ) ,即 y′>0, 所以函数在(4 10,20)内为单调递增函数.
4 2 2 4 2 2 2 4 2 2 4 2 2

4

4 所以当 x=4 10时, 即当 C 点到城 A 的距离为 4 10 km 时, 函数 y= 2+

x

9 2(0<x<20) 400-x

有最小值. 11.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格

a 2 x(单位:元/千克)满足关系式 y= +10(x-6) ,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价 x-3
格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克, 试确定销售价格 x 的值, 使商场每日销售该商品所获 得的利润最大. 【解】 (1)因为 x=5 时,y=11, 所以 +10=11,a=2. 2 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= 2 2 +10(x-6) . x-3 2

a

所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3)[ 3)(x-6) ,3<x<6,
2

x-3

+10(x-6) ]=2+10(x-

2

从而,f′(x)=10[(x-6) +2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6). 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

2

x f′(x) f(x)

(3,4) +

4 0 极大值 42

(4,6) - ?

?

由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点, 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 故当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.

5



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