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专题1-2 充分条件与必要条件-试题君之K三关2017-2018学年高二数学选修1-1 含解析 精品

1.2 充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件 一般地, “若 p,则 q”为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q.这时,我们就说,由 p 可 推出 q,记作_____,并且说 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. 如果“若 p,则 q”为假命题,那么由 p 推不出 q,记作 p ? / q.此时,p 不是 q 的充分条件, q 不是 p 的必要条件. 2.充要条件 一般地,如果既有 p ? q ,又有 q ? p ,就记作_______.此时,我们说,p 是 q 的充分必 要条件,简称充要条件.显然,如果 p 是 q 的充要条件,那么 q 也是 p 的充要条件. 概括地说,如果 p ? q ,那么 p 与 q 互为充要条件. 注意: (1)判断 p 是 q 的什么条件,结果只有四种:充分不必要条件、必要不充分条件、充 要条件、既不充分又不必要条件. (2)充分条件、必要条件具有传递性. 3.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 从集合的观点看,设集合 A = {x | x 满足条件 p} , B = {x | x 满足条件 q} , 若 A ? B ,则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必要条件; 若 A ? B ,则 p 是 q 的必要条件或 q 是 p 的充分条件; 若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; ? B ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 若 A ?/ B ,且 A ? K 知识参考答案: 1. p ? q 2. p ? q K—重点 K—难点 K—易错 充分条件、必要条件的判断 充分条件、必要条件概念的理解,充要条件的证明问题 / A) 易忽视 A 是 B 的充分不必要条件 (A? B 且 B ? 与 A 的充分不必 / B)两者的不同 要条件是 B(B? A 且 A ? 充分条件与必要条件的判断 充分条件、必要条件的三种判断方法: (1)定义法:由充分条件、必要条件的概念进行判断,即判断由已知和结论构成的命题及 其逆命题的真假,亦同命题真假的判定方法. (2)等价转化法:利用 p? q 与 ?q ? ?p ,q? p 与 ?p ? ?q ,p?q 与 ?q ? ?p 的等 价关系. (3)集合法:即判断满足条件的对象构成的集合与满足结论的对象构成的集合之间的关 系.当所要研究的 p,q 含有变量,即涉及方程的解集、不等式的解集,或者与集合有关或 所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系,利用 Venn 图或数轴解题. 设 x ? R ,则“ x ? 2 ? 1 ”是“ x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【名师点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件的相关问题,将含绝对值的 不等式与一元二次不等式、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系起来,体现了综 合应用数学知识解决问题的能力,是基础题. 下列各题中, p 是 q 的什么条件? (1) p : α = π 1 ; q : cos α = ; 3 2 (2) p : ( x +1)( x - 2) = 0; q : x +1 = 0 . 【答案】 (1) p 是 q 的充分条件,但 p 不是 q 的必要条件; (2) p 是 q 的必要条件,但 p 不是 q 的充分条件. π 1 1 ? cos α ,但 cos α = ? / α 3 2 2 所以 p 是 q 的充分条件,但 p 不是 q 的必要条件. 【解析】 (1)因为 α = π , 3 (2)因为 ( x +1)( x - 2) = 0 ? / x 1 = 0 ,但 x +1 = 0 ? ( x 1)( x - 2) = 0 , 所以 p 是 q 的必要条件,但 p 不是 q 的充分条件. / p,则 p 是 q 的充分不必要条件; 【名师点睛】从逻辑关系上看, (1)若 p? q,但 q ? (2)若 p ? / q,但 q? p,则 p 是 q 的必要不充分条件; (3)若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 的充要条件; (4)若 p ? / q,且 q ? / p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 充要条件的证明 对于充要条件的证明问题: (1)正确找到题目所包含的条件和结论; (2)证明时结构要清晰,要对充分性和必要性分别进行证明. 证明:一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 有一正根和一负根的充要条件是 ac < 0 . 【答案】见解析. 【名师点睛】在证明时,要注意由“条件 ? 结论”是证明命题的充分性,由“结论 ? 条件” 是证明命题的必要性. 条件的探求 (1)在求某结论的充要条件时,可以从充分性和必要性两方面入手,得到结论的一致性, 即为充要条件;也可以将原命题等价转化,获得充要条件. (2)在求某结论的充分不必要条件或必要不充分条件时,一般是先求出结论的充要条件, 然后将所得条件的范围缩小或扩大即可得到所需要的结论. 下面四个条件中,使 a > b 成立的充分而不必要的条件是 A. a > b +1 C. a 2 > b 2 【答案】A B. a > b - 1 D. a 3 > b3 【解析】由 a > b +1 ,得 a > b ;反之不成立. 【名师点睛】 寻求 q 的必要条件 p , 即以 q 为条件推出结论 p ; 寻求 q 的充分条件 p , 即p能 推出 q . 已知方程 x2 + (2k - 1) x + k 2 = 0 ,求使方程有两个大于 1 的实数根的充要条件. 【答案】充要条件为 k < - 2 . 【解析】设方程 x2 + (2k - 1) x + k 2 = 0 的两根分别为 x1 , x2 , ì 1 ?k? 4 ? ? (2 k - 1) - 2 > 0 ,解得 k < - 2 .


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