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高中数学函数单调性第一课时课件人教版A必修一1.3.1_图文

函数的单调性
人教版必修一1.3.1

函数模型
?

函数是描述事物运动变化规律的数学模型

?

研究函数的性质,把握相应事物的变化规 律

三维目标
?

体会单调性的研究从直观到抽象,以图识数的过 程,学会运用函数图象理解和研究函数的性质

? ? ?

理解增、减函数的定义(重点、难点) 掌握定义法判断函数单调性的步骤(重点) 掌握函数单调区间的表示方法(易错点)

教法与学法
? ? ?

合作交流、探究学习 从特殊到一般,归纳总结 数形结合,自然语言与数学符号的相互转化

数形结合方法
? ? ? ? ? ? ? ?

华 罗 庚

永 一切 隔 数 形 数 焉 数 远 体莫 离 形 少 无 能 与 联 忘 分 结 数 形 分 形 系 几 家 合 时 时 作 本 莫 何 万 百 难 少 两 是 分 代 事 般 入 直 边 相 离 数 休 好 微 觉 飞 倚 统 依 , ,

观察第一组函数图象,指出其变化趋势.

y
y=x+1
1

y
1

y
1
1

O 1

x

O

x

O

1

x

上升 趋势. 从左至右图象呈______ 蒸蒸日上

观察第二组函数图象,指出其变化趋势.

y=-x+1

y
1

y
1 1

y
1

O

x

O 1

x

O

1

x

下降 趋势. 从左至右图象呈______ 每况愈下

观察第三组函数图象,指出其变化趋势.

y
-1

y
1 1

y=x2

y
1

O

1

-1

x

O

1

x

O

1

x

局部上升或下降趋势. 从左至右图象呈______________ 波澜起伏 在定义域内的某个区间上
图像从左到右逐渐上升 图像从左到右逐渐下降 自变量x增大, 函数值y也增大 自变量x增大, 函数值y反而减小

思考
x 的增大, 如何利用函数解析式 y ? f ( x)描述“随着 f ( x) 也随着增大;随着 f ( x) x 的增大,相应的 相应的 随着减小?”

y

区间I上图象从左到右逐渐上升 区间I内随着x的增大,y也增大

f(x2)
f(x1) O
M

N


对区间I内

x1,x2 ,
有f(x1)<f(x2)

I

当x1<x2时,

x1

x2

x

y

区间D上图象从左到右逐渐上升 区间D内随着x的增大,y也增大

f(x2)
f(x1) O
M

N


对区间I内 任意 x1,x2 ,

D x 1

当x1<x2时,

有f(x1)<f(x2)

x2

x

y

区间I上从左到右图象逐渐上升 区间I内随着x的增大,y也增大

f(x2)
f(x1) O
M

N
对区间I内 任意 x1,x2 ,

I x1

都 有f(x1)<f(x2) 当x1<x2时,

x2

x

定 义 那么就说 f (x)在区间D上是单调增函数,D称为
增区间.

设函数y=f(x)的定义域为I,区间D ? I. 如果对于区间D上的任意 两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1 ) < f(x2 ), f (x)的单调

类比增函数的研究方法定义减函数. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)

x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为I,区间D ?I. I.

O

x1

x2

x

如果对于属于定义域 I内某个区间 D 上 如果对于属于定义域 I内某个区间 D 上 的任意两个自变量的值 xx x2, 的任意两个自变量的值 1, 1,x 2,

当x1<x2时,都有f(x1 ) < f(x2 ),
那么就说在f(x)这个区间上是 增函数, D称为f(x)的单调增 区间. 单调区间 减

>


(1)函数单调性是针对定义域A内的某个子区间I而言的, 是一个局部性质,在整个定义域上不一定具有单调性;

x2 在区间I内取任意值,不能用特殊值来代替. (2)x1 、
判断1:函数 f (x)= x2 在

? ??, ?? ? 是单调增函数;(× )
×)
y
f(2)

判断2:函数 f (x)在区间[1,2]上满足 f (1)<f(2),则函数 f (x)在[1,2]上是增函数.(
y

y ? x2
o x

f(1) O 1 2x

例1 下图是定义在闭区间[-5,5]上的函 数 y ? f ( x ) 的图象,根据图象说出 y ? f ( x ) 的单调区间,以及在每一区间上, y ? f ( x ) 是增函数还是减函数.

y

3
2 1 -1 O1 -1 -2 2 3 4 5

-2

-5 -4 -3

x

解:函数 y ? f ( x) 的单调区间有 [-5,-2), [-2,1), [1,3), [3,5], 在区间[-5,-2), [1,3)上是减函数 在区间[-2,1), [3,5)上是增函数.

y

3 2 1

-2 -5 -4 -3

-1

O1 2 3 -1 -2

4

5

x

如图,已知 y ? f ( x ) 的图象(包括端点), 根据图象说出函数的单调区间,以及 在每一区间上,函数是增函数还是减 函数. y

y ? f ( x)
??
?

?
2

1

o
-1

?
2

?

x

单调区间的书写:
函数在其定义域内某一点处的函数值 是确定的,讨论函数在某点处的单调 性无意义。若函数在区间端点处有定 义,则写成闭区间,当然写成开区间 也可以,若函数在区间端点处无定于, 则必须写成开区间。

y
o y x x

y

在(-∞,+∞) 是减函数 在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数
b ? ? - ?, - ? 在? 2a ? ?

在(o y x x

∞,+∞)是
增函数
在(-∞,0) 和(0,+∞) 是增函数
? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ?

o
y o

o
y o

x

增函数 ? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ? 减函数

增函数 b ? x 在? - ? ? - ?, 2a ? ? 减函数

例3 是减函数.

1 证明函数 f ( x) ? 在(-∞,0)上 x

判断函数单调性的方法步骤
? ? ? ? ? ?

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单 调性的一般步骤: ①任取x1,x2∈D,且x1<x2; ②作差f(x1)-f(x2); ③变形 (通常是因式分解和配方); ④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上 的单调性).

1 练习: 证明f ( x) ? ( x ? 0)在(0, ? ?) x 上为减函数。
思考:能否说该函数在区间
(-∞,0)∪(0,+ ∞) 上是单调减函数?

不能

练习
1、判断f(x)=x2-1在(0,+ ∞)
上是增函数还是减函数?

增函数 增函数
y ? ? x 2 ? 2x
2 x

2、判断f(x)=-x2+2x在(- ∞,0)
上是增函数还是减函数?
O

y

1

课堂小结,知识再现

1、函数单调性是对定义域的某个区间而言 的,反映的是在这一区间上函数值随自变量变 化的性质.



2、判断函数单调性的方法: (1)利用图象:



在单调区间上,增函数图象从左向右是 上升的,减函数图象是下降的.
(2)利用定义: 用定义证明函数单调性的一般步骤: 任意取值→作差变形→判断符号→ 得出结论.

教材P39 习题 1A 1、2、3

谢谢指导 再见!



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