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山东省各地市2012年高考数学(文科)最新试题分类大汇编7:导数(1)


【山东省日照市 2012 届高三 12 月月考文】 (2) 设函数 f ( x ) = x ? 6 x , f ( x ) 在 x = 0 则
2

处的切线斜率为 A.0 B.—1

C.3

D.—6
x =0

【答案】 (2)答案:D 解析: f ( x ) 在 x = 0 处的切线斜率为 f ′ ( 0 ) = ( 2x ? 6 )
【山东省日照市 2012 届高三 12 月月考文】 6)函数 y = x ? 2 sin x, x ∈ ?? ( 致图象是

= ?6.

? π π? , ? 的大 ? 2 2?

【 答 案 】 6 ) 答 案 : D 解 析 : 因 为 y = x ? 2 sin x 是 奇 函 数 , 可 排 除 A 、 B , 由 (

y′ = 1 ? 2 cos x = 0 得 x = ±
【山东 青岛 2012 届高

π 时函数取得极值,故选 D. 3
检测 】21. 本小题满分 12 分) 21. 21 (本小 (

1 2 已知函数 f ( x ) = ax + 2 x , g ( x ) = lnx . 2
(Ⅰ)如果函数 y = f ( x) 在 [1, +∞ ) 上是单调 (Ⅱ)是否存在正实数 a ,使得函数 Γ ( x ) = ? ,请求
数,求 a 的取值 围;

g ( x) 1 ? f ′( x) + (2a + 1) 在区间 ( , e) 内 两个 x e
,请说 .
数, 题

a 的取值 围;

【答案】解: (Ⅰ)当 a = 0 时, f ( x ) = 2 x 在 [1, +∞ ) 上是单调
当 a ≠ 0 时, y = f ( x ) 的对称轴 为x =?

.……1 分

由于 y = f ( x ) 在 [1, +∞ ) 上是单调 数,


2 , a 2 ? ≤ 1 ,解得 a ≤ ?2 或 a > 0 , a
…………………………4 分

, a 的取值 围

a ≥ 0 ,或 a ≤ ?2 .

lnx ? ( ax + 2) + (2a + 1) , x 1 因 Γ ( x ) 在区间( , e )内 两个 ,所以 Γ ( x ) = 0 , e 1 2 实 . …………5 分 即方程 ax + (1 ? 2a ) x ? lnx = 0 在区间( , e )内 两个 e
(Ⅱ) Γ ( x ) = 设 H ( x) = ax + (1 ? 2a ) x ? lnx ( x > 0) ,
2

1 2ax 2 + (1 ? 2a ) x ? 1 (2ax + 1)( x ? 1) = H ′( x) = 2ax + (1 ? 2a ) ? = x x x
令 H ′( x) = 0 ,因为 a 为 数, 当 x ∈ ( ,1) 时, H ′( x) < 0 ,

………7 分

x =1或 x = ?

1 (舍) 2a

1 e

H ( x ) 是减 数;
…………………………8 分 , 故

当 x ∈ (1, e) 时, H ′( x) > 0 , H ( x ) 是增函数. 为满 题 ,

1 H ( x ) 在( , e )内 两个 e

? 1 ? H ( e ) > 0, ? ? H ( x) min = H (1) < 0, ? H (e) > 0, ? ?
解得 1 < a <

e2 + e 2e ? 1

……………………………12 分

【山东省济宁市 2012 届高三上学期期末检测文】2.函数 f ( x ) = ax 3 + x + 1 有极值的充要条件 是 A. a ≥ 0 【答案】D B. a >0 C. a ≤ 0 D. a <0

【山东省济南一中 2012 届高三上学期期末文】21. (本小题满分 12 分)定义在 R 上的函数 21. 21

f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + 3 同时满足以下条件:
① f (x ) 在 ( 0,1) 上是减函数,在 (1, +∞ ) 上是增函数; ② ③ f (x ) 在 x = 0 处的切线与直线 y = x + 2 垂直. (Ⅰ)求函数 y = f (x ) 的解析式; (Ⅱ)设 g ( x ) = 4 ln x ? m ,若存在 x ∈ [1, e] ,使 g ( x ) < f ′( x ) ,求实数 m 的取值范围.

f / ( x) 是偶函数;

【答案】21. 解: (Ⅰ) f ′( x) = 3ax 2 + 2bx + c ∵ f (x ) 在 ( 0,1) 上是减函数,在 (1, +∞ ) 上 是增函数, ∴ f / (1) = 3a + 2b + c = 0 由 f ( x) 是偶函数得: b = 0
/

……①

……………(1 分)



……………(2 分)

又 f (x ) 在 x = 0 处的切线与直线 y = x + 2 垂直, f ′(0) = c = ?1 ③ 由①②③得: a =

……………(3 分)

1 1 , b = 0, c = ?1 ,即 f ( x) = x 3 ? x + 3 3 3

……………(4 分)

( Ⅱ ) 由 已 知 得 : 若 存 在 x ∈ [1, e] , 使 4 ln x ? m < x 2 ? 1 , 即 存 在 x ∈ [1, e] , 使

m > 4 ln x ? x 2 + 1 ,
设 M ( x) = 4 ln x ? x + 1
2

x ∈ [1, e] ,则 M ′( x) =

4 4 ? 2x2 ? 2x = x x

……………(6 分)

令 M ′( x ) =0,∵ x ∈ [1, e] ,∴ x = 当x≥

2

……………(7 分)

2 时, M ′( x ) ≤ 0 ,∴ M ( x) 在 ( 2, e] 上为减函数 2 时, M ′( x ) > 0 ,∴ M ( x) 在 [1, 2] 上为增函数

当1 ≤ x <

∴ M ( x) 在 [1, e] 上有最大值。……………(9 分) 又 M (1) = 1 ? 1 = 0, M (e) = 2 ? e 2 < 0 ,∴ M ( x) 最小值为 2 ? e 2 于是有 m > 2 ? e 2 为所求 ……………(12 分) 【山东省济南一中 2012 届高三上学期期末文】 12. 已知 y = f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 且 当

……………(11 分)

x>0

时 不

等 式

f ( x ) + xf ' ( x ) < 0 成 立 , 若

a = 30.3 ? f ( 30.3 )



, b = logπ 3 ? f ( logπ 3) , c = log3 1 ? f ? log 3 1 ? ,则 a , ? ?
9 ? 9?

b , c 大小关系是

A. a > b > c
【答案】D

B. c > a > b

C. a > c > b

D. c > b > a
x +1 在点(3,2)处的切线与 x ?1

【山东省济南一中 2012 届高三上学期期末文】11. 设曲线 y = 直线 ax + y + 1 = 0 垂直,则 a =

A.2
【答案】B

B. ?2

C. ?

1 2

D.

1 2

【山东省莱芜市 2012 届高三上学期期末文】 已知曲线 f ( x ) = x + ax + bx + 1 在点 1, f (1) ) (
3 2

处的切线斜率为 3,且 x =

2 是 y = f ( x) 的极值点,则 a+b= 3

.

【答案】-2 (本小题满分 12 分) 【山东省莱芜市 2012 届高三上学期期末文】 已知函数 f ( x ) = ln x ? 2 x , 常数) (K (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f ( x ) < x + ln x 恒成立,求 K 的取值范围。
3

【答案】解: (1)由 f ( x ) = ln x ? 2kx 可得, f ' ( x ) = , ∵ f (x ) 的定义域为(0,+ ∞ )

1 ? 2k x

………1 分

1 ? 2k > 0 , f (x ) 在(0,+ ∞ )是增函数。 …………4 分 x 1 1 当 k>0 时,由 ? 2k > 0 可得 x < , x 2k 1 1 ∴f(x)在(0, )是增函数,在( ,+ ∞ )是减函数。 ……………7 分 2k 2k 综上,当 k ≤ 0 时,f(x)的单调增区间是(0,+ ∞ ) ; 1 1 ) ,单调减区间是( ,+ ∞ ).…8 分 当 K>0 时,f(x)的单调增区间是(0, 2k 2k
∴当 k ≤ 0 时, f ' ( x ) = (2)由 f ( x ) < x 3 + ln x 恒成立,可得 x + 2kx > 0 恒成立, x ∈ (0,+∞ ) .
3

即 2kx > ? x ,∴ 2k > ? x 恒成立。
3 3

……………10 分

∵ ? x 2 ?0 ∵ 2 k ≥ 0, k ≥ 0 ………………11 分

∴K 的取值范围是[0,+ ∞ ) ………………12 分 【山东省冠县武训高中 2012 届高三第二次质量检测文】22.(本小题满分 14 分) 设函数 f (x) = x 3 ? ax 2 ? ax, g(x) = 2x 2 + 4x + c . (1) 试问函数 f (x) 能否在 x = ?1 时取得极值?说明理由; (2) 若 a=-1,当 x ∈ [?3, 4] 时,函数 f (x) 与 g(x) 的图像有两个公共点,求 c 的取值范围. 【答案】22.解: (1)由题意 f '(x) = x 2 ? 2ax ? a , 假设在 x = ?1 时 f (x) 取得极值,则有 f '(?1) = 1 + 2a ? a = 0,∴ a = ?1 ………………4 分
1 3

而此时, f '(x) = x 2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ≥ 0 ,函数 f (x) 在 R 上为增函数,无极值. 这与 f (x) 在 x=-1 有极值矛盾,所以 f (x) 在 x=-1 处无极值.……………………6 分 (2)设 f (x) = g(x) ,则有 x 3 ? x 2 ? 3x ? c = 0,∴ c = x 3 ? x 2 ? 3x 设 F(x) = x 3 ? x 2 ? 3x, G(x) = c ,令 F '(x) = x 2 ? 2x ? 3 = 0 .解得 x1 = ?1 或 x = 3 .…8 分 列表如下: X
F '(x)
1 3 1 3 1 3

-3

(-3,-1) +

-1 0
5 3

(-1,3) 减

3 0 -9

(3,4) + 增
?

4
20 3

F(x)

-9



【 山 东 省 冠 县 武 训 高 中 2012 届 高 三 第 二 次 质 量 检 测 文 】 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f (? x) = ? f ( x), g (? x) = g ( x), 且 x > 0 时, f ' ( x) > 0, g ' ( x) > 0 ,则 x < 0 时( ) A. f ' ( x) > 0, g ' ( x) > 0 C. f ' ( x) < 0, g ' ( x) > 0 【答案】B 【山东省德州市 2012 届高三上学期期末考试文】12.函数 f (x ) 的图像如图, f ' ( x) 是 f (x) 的 B. f ' ( x) > 0, g ' ( x) < 0 D. f ' ( x) < 0, g ' ( x) < 0

导函数,则下列数值排列正确的是() A. B. C.

0 < f ' (2) < f ' (3) < f (3) ? f (2) 0 < f ' (3) < f (3) ? f (2) < f ' (2) 0 < f ' (3) < f ' (2) < f (3) ? f (2)

D.

0 < f (3) ? f (2) < f ' (2) < f ' (3)

【答案】A 【山东省德州市 2012 届高三上学期期末考试文】21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = kx, g ( x ) = (Ⅰ)求函数 g ( x ) =

ln x x

ln x 的单调区间; x

(Ⅱ)若不等式 f ( x ) ≥ g ( x ) 在区间 (0,+∞) 上恒成立,求实数 k 的取值范围; 【答案】解: (Ⅰ)Q g ( x ) =
‘ ∴ g ( x) =

ln x ,故其定义域为 (0,+∞ ) ,(x > 0) x

1 - ln x x2

‘ 令 g (x ) >0,得 0 < x < e ‘ 令 g (x ) <0,得 x > e

ln x 的单调递增区间为 (0, e) 单调递减区间为 (e,+∞ ) x ln x ln x (Ⅱ)Q x > 0, kx ≥ , ∴k ≥ 2 x x ln x 令 h( x) = 2 x 1 - 2 ln x ‘ 又 h ( x) = x3
故函数 g ( x ) =
‘ 令 h ( x ) = 0 解得 x =

e

‘ 当 x 在 (0,+∞ ) 内变化时, h (x ) , h(x) 变化如下表

x
‘ h (x )

(0, e )
+

e
0

( e ,+∞ )
-

h(x)
由表知,当 x = 所以, k ≥



1 2e



e 时函数 h(x) 有最大值,且最大值为

1 2e

1 2e

【山东省滨州市沾化一中 2012 届高三上学期期末文】21. (本题满分 12 分)已知 a 是实数, 2 函数 f(x)=x (x- a ) . (1)若 f
/

(1) = 3 ,求 a 的值及曲线 y =

f (x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;

(2)求 f (x) 在区间[0,2]上的最大值。 【答案】21. (本小题满分 12 分) 解: (1) f '( x ) = 3 x ? 2ax .因为 f '(I) = 3 ? 2a = 3 ,所以
2

a = 0 .……2 分

又当 a = 0 时, f(1)=1,f' (1)=3, 所以曲线 y = f ( x)在(1, f (I)) 处的切线方程为 (2)解:令 f '( x ) = 0 ,解得 x1 = 0, x2 = 当

3x- y- 2= 0 .…………5 分
…………7 分

2a . 3

2a ≤ 0 ,即 a≤0 时, f ( x ) 在[0,2]上单调递增,从而 f max = f (2) = 8 ? 4a . 3 2a 当 ≥ 2 时,即 a≥3 时, f ( x ) 在[0,2]上单调递减,从而 f max = f (0) = 0 . 3
当0 < 增。

2a ? 2a ? ? 2a ? < 2 ,即 0 < a < 3 , f ( x ) 在 ?0, ? 上单调递减,在 ? , 2 ? 上单调递 3 ? 3 ? ? 3 ?

从而

?8 ? 4a, 0 < a ≤ 2. ? f max = ? 2 < a < 3. ?0, ?

…………11 分

故函数 f ( x ) 的最大值为 8 ? 4a 或 0.

…………12 分

【山东省滨州市沾化一中 2012 届高三上学期期末文】8.曲线 y = 4 x ? x 3 在点(-1,-3) 处的切线方程是 A. y = 7 x + 4 【答案】D 【山东聊城莘县一中 2012 届高三 1 月摸底文】13. 曲线 y = 程为 . B. y = x ? 4 ( ) D. y = x ? 2

C. y = 7 x + 2

x 在点(-1,-1)处的切线方 x+2

【答案】 y = 2 x + 1 【 山 东 聊 城 莘 县 一 中 2 0 1 2 届 高 三 1 月 摸 底 文 】 2 2 . 已 知

f ( x) = ax ? ln x, x ∈ (0, e], g ( x) =

ln x ,其中 e 是自然常数, a ∈ R x
w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

(1) 讨论 a = 1 时, f ( x ) 的单调性、 极值; (2) 求证: (1) 在 的条件下, f ( x ) > g ( x ) +

1 ; 2

(3)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 【答案】22.解:(1)Q f ( x ) = x ? ln x, f ' ( x ) = 1 ? :

1 x ?1 , = x x

……1 分

' ∴当 0 < x < 1 时, f ( x) < 0 ,此时 f ( x ) 单调递减 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当 1 < x < e 时, f ' ( x) > 0 ,此时 f ( x ) 单调递增 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) = 1 ……………………4 分

…………3 分

(2)Q f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 (0, e] 上的最小值为 1, ∴ f ( x) > 0, f ( x) min = 1 ,…………………………5 分 令 h( x) = g ( x) +

1 ln x 1 1 ? ln x , …………6 分 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m = + , h ' ( x) = 2 x 2 x2
'

当 0 < x < e 时, h ( x ) > 0 , h( x) 在 (0, e] 上单调递增 ………7 分 ∴ h( x ) max = h(e) =

1 1 1 1 + < + = 1 = f ( x) min e 2 2 2 1 ……………………………9 分 2

∴在(1)的条件下, f ( x) > g ( x ) +

(3)假设存在实数 a ,使 f ( x ) = ax ? ln x, x ∈ (0, e] 有最小值 3,

f ' ( x) = a ?

1 ax ? 1 = x x

' ① 当 a ≤ 0 时,Q x ∈ (0, e] ∴ f ( x ) < 0 , 所以 f ( x ) 在 (0, e] 上单调递减,

f ( x ) min = f (e) = ae ? 1 = 3, 解得a =

4 (舍去) e

所以,此时 f ( x ) 无最小值. ……10 分 ②当 0 <

1 1 1 < e 时, f ( x ) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a

1 f ( x ) min = f ( ) = 1 + ln a = 3 , a = e 2 ,满足条件. ……11 分 a
③ 当

1 ≥ e 时,Q x ∈ (0, e],∴ f ' ( x ) < 0 , a 4 (舍去) , e

所以 f ( x ) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x ) min = f (e) = ae ? 1 = 3, 解得a = 所以,此时 f ( x ) 无最小值.

综上,存在实数 a = e 2 ,使得当 x ∈ (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3.……14 分 w.w.w.k.s.5. 【山东聊城莘县一中 2012 届高三 1 月摸底文】8. 已知函数 f ( x ) = 3 x 3 ? ax 2 + x ? 5 在区间

[1, 2] 上单调递增,则 a 的取值范围是( )
A. (?∞,5) 【答案】B B. (?∞,5] C. ( ?∞,

37 ) 4

D. ( ?∞,3]

【山东聊城莘县实验高中 2012 届高三第三次月考文】 (12 分)为了在如图所示的直河道旁建 20.
2

造一个面积为 5000m 的矩形堆物场,需砌三面砖墙 BC、CD、DE,出于安全原因,沿着河道 两边需向外各砌 10m 长的防护砖墙 AB、EF,若当 BC 的长为 xm

河河
时,所砌砖墙的总长度为 ym,且在计算时,不计砖墙的厚度,
A B C E j D F

求 (1)y 关于 x 的函数解析式 y=f(x); (2)若 BC 的长不得超过 40m,则当 BC 为何值时,y 有最 小值,并求出这个最小值. 【答案】20.解: (1) y = f ( x ) = 2x + (2)令 2x =

5000 + 20 x

(x > 0 )

5000 得 x = 50 ? 0, ] ( 40 x 5000 在 (0, 40] 恒小于 0 因为 y / = 2 ? x2 5000 所以 y = 2x + + 20 在(0,40]内递减 x

故当 x=40m 时.y 取理最小值 225m.

河河
A B C E j D F

【山东聊城莘县实验高中 2012 届高三第三次月考文】22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) = ax 3 + bx ( x ∈ R ) , (1)若函数 f (x ) 的图象在点 x = 3 处的切线与直线 24 x ? y + 1 = 0 平行,函数 f (x ) 在

x = 1 处取得极值,求函数 f (x) 的解析式,并确定函数的单调递减区间;
(2)若 a = 1 ,且函数 f (x ) 在 [ ?1,1] 上是减函数,求 b 的取值范围. 【答案】22.解: (1)已知函数 f ( x ) = ax 3 + bx ( x ∈ R ) ,

∴ f / ( x) = 3ax 2 + b
又函数 f (x ) 图象在点 x = 3 处的切线与直线 24 x ? y + 1 = 0 平行,且函数 f (x ) 在 x = 1 处取 得极值,∴ f / (3) = 27 a + b = 24 ,且 f / (1) = 3a + b = 0 ,解得 a = 1, b = ?3

∴ f ( x) = x 3 ? 3 x ,且 f / ( x) = 3 x 2 ? 3
令 f / ( x ) = 3 x 2 ? 3 ≤ 0 ? ?1 ≤ x ≤ 1 ,

所以函数的单调递减区间为 [?1,1] (2)当 a = 1 时, f ( x) = x 3 + bx ( x ∈ R ) ,又函数 f (x ) 在 [?1,1] 上是减函数

∴ f / ( x) = 3 x 2 + b ≤ 0 在 [?1,1] 上恒成立,
即 b ≤ ?3 x 在 [?1,1] 上恒成立∴b ≤ ?3 。
2

【山东济宁汶上一中 2012 届高三 12 月月考文】17. (10 分)函数 f ( x) = ? x + 3 x ,设
3 2

g ( x) = 6 ln x ? f ′( x) ( 其 中 f ′(x) 为 f (x) 的 导 函 数 ) 若 曲 线 y = g ( x) 在 不 同 两 点 , A( x1 , g ( x1 )) 、 B ( x2 , g ( x2 )) 处的切线互相平行,且
最大值. 【答案】17.解:Q g ( x ) = 6 ln x + 3 x 2 ? 6 x 依题意有

g ( x1 ) + g ( x2 ) ≥ m 恒成立,求实数 m 的 x1 + x2
6 + 6x ? 6 x

∴ g ′( x ) =

g ′( x1 ) = g ′( x2 ) ,且 x1 ≠ x2



6 6 + 6 x1 ? 6 = + 6 x2 ? 6 ,∴ x1 x2 = 1 x1 x2

2 3( x1 + x2 ) 2 ? 6( x1 + x2 ) ? 6 g ( x1 ) + g ( x2 ) 6 ln( x1 x2 ) + 3( x12 + x2 ) ? 6( x1 + x2 ) = = x1 + x2 x1 + x2 x1 + x2

= 3( x1 + x2 ) ?
令 x1 + x2 = t ,则 t > 2

6 ?6 x1 + x2

6 Q ? (t ) = 3t ? ? 6 在 (2, +∞ ) 上单调递增 t ∴ g ( x1 ) + g ( x2 ) > ?3 x1 + x2

∴? (t ) > ? (2) = ?3

∴ m ≤ ?3 ∴ 实数 m 的最大值为 ?3 。
【山东济宁微山一中 2012 届高三第二次质量检测文】 设 a ∈ R , 13. 若函数 y = e x + ax, x ∈ R 有大于零的极值点,则实数 a 的取值范围是 【答案】 a < ?1 【山东济宁微山一中 2012 届高三第二次质量检测文】16.方程 4 ? x = x + b 有实根,则实数
2



b 的取值范围是
【答案】 [ ?2, 2 2]

.

【 山 东 济 宁 微 山 一 中 2012 届 高 三 第 二 次 质 量 检 测 文 】 18.(12 分 ) 已 知 函 数

1 m f ( x) = mx3 ? (2 + ) x 2 + 4 x + 1, g ( x) = mx + 5 . 3 2
(1)当 m ≥ 4 时,求 f ( x ) 的单调递增区间; (2)是否存在 m < 0 ,使得对任意的 x1 , x2 ∈ [2,3] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≤ 1 恒成立.若存在,求 出 m 的取值范围; 若不存在,请说明理由.
2 【答案】18. (1) f ′( x) = m x ? (4 + m) x + 4 = ( x ? 1)( mx ? 4)

当 m = 4 时, f ′( x) = 4( x ? 1) ≥ 0 , ∴ f ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 上单增,
2

4 4 < 1 , ∴ f ( x ) 的递增区间为 (?∞, ), (1, +∞) . m m 4 (2)假设存在 m < 0 ,使得命题成立,此时 f ′( x) = m( x ? 1)( x ? ) . m 4 ∵m < 0, ∴ < 1. m 4 4 则 f ( x ) 在 ( ?∞, ) 和 (1, +∞ ) 递减,在 ( ,1) 递增. m m
当 m >4 时, ∴ f ( x ) 在[2,3]上单减,又 g ( x ) 在[2,3]单减. ∴ f ( x ) max = f (2) =

2 m + 1, g ( x ) min = g (3) = 3m + 5 . 3

因此,对 x1 , x2 ∈ [2,3], f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≤ 1 恒成立. 即 [ f ( x1 ) ? g ( x2 )]max ≤ 1 , 亦即 f ( x1 ) max ? g ( x2 ) min ≤ 1 恒成立. ∴

2 m + 1 ? (3m + 5) ≤ 1 3

∴m ≥ ?

15 . 又m < 0 7

故 m 的范围为 [ ?

15 , 0) . 7

【山东济宁梁山二中 2012 届高三 12 月月考文】22.(本小题满分 12 分)已知 ( )

f ( x ) = x ln x, g ( x ) =

1 2 x ?x+a. 2

(1)当 a = 2 时,求 函数y = g ( x)在[0,3] 上的值域; (2) 求函数 f ( x) 在 [t , t + 2](t > 0) 上的最小值; (3) 证明: 对一切 x ∈ (0, +∞) ,都有 x ln x > 【答案】22.解: (1)∵ g (x ) = 1分 当 x = 1 时, g min ( x ) = g (1) =

g ′( x) + 1 2 ? 成立 ex e
…………..

1 3 ( x ? 1) 2 + , x∈[0,3] 2 2 3 7 ;当 x = 3 时, g max ( x ) = g (3) = 2 2

故 g (x ) 值域为 [ , ]

3 7 2 2

………………. 2 分

(2) f '( x) = ln x + 1 ,当 x ∈ (0, ) , f '( x) < 0 , f ( x) 单调递减,当 x ∈ ( , +∞) , f '( x) > 0 ,

1 e

f ( x) 单调递增.
① 0<t <t+2< ② 0<t <

1 e …………………………. 3 分
6分

1 ,t 无解; e

……………

1 1 1 1 < t + 2 ,即 0 < t < 时, f ( x) min = f ( ) = ? ; ………………. 4 分 e e e e 1 1 ③ ≤ t < t + 2 ,即 t ≥ 时, f ( x) 在 [t , t + 2] 上单调递增, f ( x ) min = f (t ) = t ln t ;………5 分 e e

3 2 11月月考文】 【山东济宁金乡一中 11-12 学年高三 12 月月考文】4.函数 y = ? x + 3x 在点(1,2)处的切

线方程为( A. y = 3 x ? 1 【答案】A 答案】

) B. y = ?3 x + 5 C. y = 3 x + 5 D. y = 2 x

若 则 11月月考文】 5. 【山东济宁金乡一中 11-12 学年高三 12 月月考文】 设 f ( x ) = x ln x , f ′( x0 ) = 2 , x0 = ( ) A. e
2

B. e

C.

ln 2 2

D. ln 2

【答案】B 答案】

1 月月考文】 【山东济宁金乡一中 11-12 学年高三 12 月月考文】22. (本题满分 15 分) 已知函数 f (x)= x3 3
+ax2+bx, a , b ∈ R. (Ⅰ) 曲线 C:y=f (x) 经过点 P (1,2),且曲线 C 在点 P 处的切线平行于直线 y=2x+1, 求 a,b 的值; (Ⅱ) 已知 f (x)在区间 (1,2) 内存在两个极值点,求证:0<a+b<2. 【答案】(Ⅰ)解:
f ′(x ) = x + 2 ax + b ,
2

1 ? ? f (1) = + a + b = 2, 由题设知: ? 3 ? f ′(1) = 1 + 2a + b = 2, ?

2 ? ?a = ? 3, ? 解得 ? ?b = 7. ? 3 ?

…………6 分

(Ⅱ)解:因为 f ( x ) 在区间 (1, 2) 内存在两个极值点 ,

所以 f ′( x ) = 0 ,即 x + 2 ax + b = 0 在 (1, 2) 内有两个不等的实根.
2

? f ′(1) = 1 + 2a + b > 0, ? f ′(2) = 4 + 4a + b > 0, ? 故? ?1 < ?a < 2, ?? = 4(a 2 ? b) > 0. ?
由 (1)+(3)得 a + b > 0 . 由(4)得 a + b < a + a ,
2

(1) (2) (3) (4)

因 ?2 < a < ?1 ,故 a 2 + a = ( a + ) 2 ? 所以 0 < a + b < 2 .

1 2

1 < 2 ,从而 a + b < 2 . 4
…………15 分

【莱州一中 2009 级高三第三次质量检测数学(文科) 】15.已知曲线 y = x ? 1 在 x = x0 处的
2

切线与曲线 y = 1 ? x 3 在 x = x0 处的切线互相平行,则 x0 的值为 【答案】0 或-

.

2 3

【莱州一中 2009 级高三第三次质量检测数学(文科) 】20.(本小题满分 12 分) 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所 示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P,正好 形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点, 设 AE=FB=xcm. 2 (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? 3 (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm )最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值.

20.解:设包装盒的高为 h(cm) ,底面边长为 a(cm) ,由已知得

a = 2 x, h =

60 ? 2 x = 2(30 ? x ),0 p x p 30, 2

2 (1) S = 4ah = 8 x (30 ? x ) = ?8( x ? 15) + 1800,

所以当 x=15 时,S 取得最大值. (2) V = a 2 h = 2 2( ? x 2 + 30 x 2 ),V ' = 6 2 x (20 ? x ) . 由 V ' = 0 得 x=0(舍)或 x=20. 当 x ∈ (0, 20) 时, V ' f 0 ;当 x ∈ (20,30) 时, V ' p 0, 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值. 此时

h 1 1 = ,即包装盒的高与底面边长的比值为 . a 2 2

【莱州一中 2009 级高三第三次质量检测数学(文科) 】21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = mx ?

m , g ( x ) = 2 ln x. x

(1)当 m=2 时,求曲线 y = f ( x ) 在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若 x ∈ (1, e] 时,不等式 f ( x ) ? g ( x ) p 2 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【答案】21.解: (1)m=2 时, f ( x ) = 2 x ?

2 2 , f '( x ) = 2 + 3 , f '(1) = 4, ……………2 分 x x

切点坐标为(1,0) ,∴切线方程为 y = 4 x ? 4 ………2 分

1 1 2 ( x ? 1) (2)m=1 时,令 h ( x ) = f ( x ) ? g ( x ) = x ? ? 21ln x , 则h '( x ) = 1 + 2 ? = ≥0 x x x x2
2

∴ h ( x ) 在(0,+∞)上是增函数. ……………………………4 分 又 h ( e ).h ( ) = ?( ? e + 2) 2 p 0,∴ h ( x ) 在 ( , e ) 上有且只有一个零点……5 分 ∴方程 f ( x ) = g ( x ) 有且仅有一个实数根;…………………5 分 (或说明 h (1) = 0 也可以) ( 3 ) 由 题 意 知 , mx ? `Q x 2 ? 1 f 0 则当 x ∈ (1, e] 时, m p

1 e

1 e

1 e

m ? 2 ln x p 2 恒 成 立 , 即 m( x 2 ? 1) p 2 x + 2 x ln x 恒 成 立 , x

2 x + 2 x ln x 恒成立,……………………7 分 x2 ? 1

?2( x 2 + 1).ln x ? 4 2 x + 2 x ln x p 0, …………9 分 令 G( x) = , 当 x ∈ (1, e] 时, G '( x ) = x2 ? 1 ( x 2 ? 1) 2
则 G ( x ) 在 x ∈ (1, e] 时递减,∴ G ( x ) 在 x ∈ (1, e] 时的最小值为 G ( e) = 则 m 的取值范围是 ( ?∞,

4e ,…11 分 e ?1
2

4e ) ………………………………12 分 e ?1
2

【山东省苍山县 2012 届高三上学期期末检测文】15.若幂函数 f ( x ) 的图象经过点 A(2,4) , 则它在 A 点处的切线方程为 【答案】 4 x ? y ? 4 = 0 【山东省苍山县 2012 届高三上学期期末检测文】20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x + a ln x.
2

。 (结果化为一般式)

(1)当 a = ?2e 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若函数 g ( x ) = f ( x ) ? 2 x 在[1,4]上是减函数,求实数 a 的取值范围。 20.解: (1)函数 f (x ) 的定义域为(0,+∞) 。…………………………1 分 当 a = ?2e 时, f ′( x ) = 2 x ?

2e 2( x ? e )( x + e ) ……………3 分 = x x

当 x 变化时, f ′( x ), f ( x ) 的变化情况如下:

x
f ′(x ) f (x )

(0, e )
0

e

( e ,+∞ )
+

极小值

……………………………………………………5 分

∴ f (x ) 的单调递减区间是 (0, e ) 单调递增区间是 ( e ,+∞ ) 。……………6 分
(2)由 g ( x ) = x 2 + a ln x ? 2 x ,得 g ′( x ) = 2 x +

a ?2 x

………………7 分

又函数 g ( x ) = x 2 + a ln x ? 2 x 为[1,4]上的单调减函数。则 g ′( x ) ≤ 0 在[1,4]上恒成立,所以不等式 2 x +

a ? 2 ≤ 0 在[1,4]上恒成立,………9 分 x

即 a ≤ 2 x ? 2 x 2 在[1,4]上恒成立。 ……………………………10 分 设 ? ( x) = 2 x ? 2 x ,显然 ? (x ) 在[1,4]上为减函数,
2

所以 ? (x ) 的最小值为 ? ( 4) = ?24 ………………………………11 分

∴ a 的取值范围是 a ≤ ?24 ………………………………………12 分
【山东省苍山县 2012 届高三上学期期末检测文】21. (本大题共 12 分) 某食品厂进行蘑菇的深加工,每公斤蘑菇的成本 20 元,并且每公斤蘑菇的加工费为 t 元 ,设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为 x 元( 25 ≤ x ≤ 40 ) ,根 (t 为常数,且 2 ≤ t ≤ 5 )

据市场调查,日销售量 q 与 e 成反比,当每公斤蘑菇的出厂价为 30 元时,且销售量为 100 公斤(每日利润=日销售量×(每公斤出厂价-成本价-加工费)。 ) (1)求该工厂的每日利润 y 元与每公斤蘑菇的出厂价 x 元的函数关系式; (2)若 t=5,当每公斤蘑菇的出厂价 x 为多少元时,该工厂的利润 y 最大,并求最大值。 21 解: (Ⅰ)设日销量 q =

x

k k , 则 30 = 100,∴ k = 100e30 ……………3 分 x e e 30 100e ………………………………4 分 ∴ 日销量 q = ex 100e30 ( x ? 20 ? t ) (25 ≤ x ≤ 40) . ………………6 分 ∴y = ex 100e 30 ( x ? 25) (Ⅱ)当 t = 5 时, y = …………………………7 分 ex 100e30 (26 ? x) y′ = …………………………………………9 分 ex

由y′ ≥ 0得x ≤ 26 ,由y′ ≤ 0得x ≥ 26
∴ y在 [ 25, ] 上单调递增,在 [ 26,40] 上单调递减.……………………10 分 26
∴ 当x = 26时, y max = 100e 4 .
………………11 分

当每公斤蘑菇的出厂价为 26 元时,该工厂的利润最大,最大值为 100e 4 元.……12 分

【山东临沂市临沭一中高三 10 月份阶段测试试题】8.曲线 y = e x 在点 A(0,1)处的切线斜率 为( A.1 ) B.2 C. e D.

1 e

【答案】A 【山东省鄄城一中 2012 届高三上学期期中文】21. (本小题满分 12 分)某地建一座桥,两端 的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测, 一个桥墩的工程费用为 256 万元, 距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 (2 +

x )x 万

元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为 y 万 元。 (Ⅰ)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (Ⅱ)当 m =640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 【答案】21.解 (Ⅰ)设需要新建 n 个桥墩, (n + 1) x = m,即n= 所以

m ?1 x

y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x )x=256(

m m -1)+ (2 + x ) x x x

=

256 x + m x + 2m ? 256. x

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知, f '( x ) = ?
3

256m x
2

3 1 3 m + mx 2 = 2 ( x 2 ? 512). 2 2x

令 f '( x ) = 0 ,得 x 2 = 512 ,所以 x =64 当 0< x <64 时 f '( x ) <0,

f ( x ) 在区间(0,64)内为减函数;

当 64 < x < 640 时, f '( x ) >0. f ( x ) 在区间(64,640)内为增函数, 所以 f ( x ) 在 x =64 处取得最小值,此时, n = 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小
2 【山东省鄄城一中 2012 届高三上学期期中文】5. 已知 f ( x ) = x + 3 xf ′(1) 则 f ′( 2) 为

m 640 ?1 = ? 1 = 9. x 64

(

) B.2 C.4 D.8

A.1 【答案】A

【山东省鄄城一中 2012 届高三上学期期中文】15.已知函数 f ( x) = ?

?ax 2 + bx + c ? f (? x ? 2)

x ≥ ?1 , x < ?1

其 图 象 在 点 (1, f (1) ) 处 的 切 线 方 程 为 y = 2 x + 1 , 则 它 在 点 ( ?3, f ( ?3)) 处 的 切 线 方 程 为 .

【答案】 y = ?2 x ? 3 (本小题满分 12 分) 【山东省济宁市邹城二中 2012 届高三第二次月考文】21、 已知函数 f ( x ) =

1 3 x + ax 2 + 6 x ? 1 .当 x = 2 时,函数 f (x) 取得极值. 3

(I)求实数 a 的值; (II)若 1 ≤ x ≤ 3 时,方程 f ( x ) + m = 0 有两个根,求实数 m 的取值范围. 【答案】21、解:(I)由 f ( x ) =

1 3 x + ax 2 + 6 x ? 1 ,则 f ′( x ) = x 2 + 2ax + 6 3

因在 x = 2 时, f (x ) 取到极值 所以 f ′( 2) = 0 ? 4 + 4a + 6 = 0 解得, a = ?

5 2

5分

(II)由(I)得 f ( x ) =

1 3 5 2 x ? x + 6 x ? 1 且1 ≤ x ≤ 3 3 2

则 f ′( x ) = x 2 ? 5 x + 6 = ( x ? 2)( x ? 3)

由 f ′( x ) = 0 ,解得 x = 2 或 x = 3 ;

f ′( x ) > 0 ,解得 x > 3 或 x < 2 ; f ′( x ) < 0 ,解得 2 < x < 3
∴ f (x ) 的递增区间为: (?∞,2) 和 (3,+∞ ) ; f (x ) 递减区间为: ( 2,3)
又 f (1) =

17 11 7 , f ( 2) = , f (3) = 6 3 2

11 7 ≤m<? 3 2 【山东省济宁市鱼台二中 2012 届高三 11 月月考文】10.已知函数 f ( x ) 在 R 上可导,且 ) f ( x ) = x 2 + 2 x ? f ′( 2 ) ,则 f ( ?1) 与 f (1) 的大小是( A. f ( ?1) = f (1) B. f ( ?1) > f (1) C. f ( ?1) < f (1) D.不确定
要 f ( x ) + m = 0 有两个根,则 f ( x ) = ? m 有两解,由图知 ? 【答案】B 【山东省济宁市鱼台二中2012届高三11月月考文】17.(本小题满分12分) 已知直线

l

与函数

f ( x) = ln x 的 图 象 相 切 于 点 ( 1 , 0 ), 且 l 与 函 数

g ( x) =

1 2 7 x + mx + (m < 0) 的图象也相切。 2 2

(1)求直线 l 的方程及 m 的值; (2)若 h ( x )

= f ( x + 1) ? g ′( x) ,求函数 h (x ) 的最大值.

【答案】17. 解: (1)Q f ′( x ) =

1 , 直线l是函数f ( x) = ln x 的图象在点(1,0)处的切线。 x ∴ 其斜率为k = f ′(1) = 1, ∴ 直线l的方程为y = x ? 1 又因为直线 l与g (x) 的图象相切, ?y = x ?1 1 2 9 ? ∴? 1 2 7 ? x + (m ? 1) x + = 0, 2 2 ? y = 2 x + mx + 2 ? 得? = (m ? 1) 2 ? 9 = 0 ? m = ?2(m = 4不题意, 舍去).LLL 6分 1 7 (2)由(1)知 g ( x ) = x 2 ? 2 x + , 2 2 ∴ h( x ) = f ( x + 1) ? g ′( x ) = ln( x + 1) ? x + 2( x > ?1), 1 ?x ∴ h ′( x) = ?1 = ( x > ?1). x +1 x +1 当 ? 1 < x < 0时, h′( x) > 0;当x > 0时, h′( x) < 0. 于是, h( x)在(?1,0)上单调递增, 在(0,+∞) 上单调递减。 所以,当 x = 0时, h( x)取得最大值h(0) = 2. …………12 分



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